淋雨量数学模型

论文题目 雨中行走淋雨量分析 1 雨中行走淋雨量分析 摘要 本文在给定的降雨条件下 分别建立相应的数学模型 分析人体在雨中奔 跑时淋雨多少与奔跑速度 降雨方向等因素的关系 其中文中所涉及到的降雨 量是指从天空降落到地面上的雨水 未经蒸发 渗透 流失而在水面上积聚的 水层深度 它可以直观地表示降雨的多少 淋雨量 是指人在雨中行走时全身 所接收到得雨的体积 可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面 积和淋雨时间的乘积 利用 MATLAB 软件对各个问题进行了求解 针对问题一 设降雨淋遍全身不考虑雨的方向 经简化假设得人淋雨面积 为前后左右及头顶面积之和 人以最大速度奔跑 1000m 用 MATLAB 求解可得淋 雨量近似为 0 0024 3 m 针对问题二 雨迎面吹来 雨线方向与跑步方向在同一平面 人淋雨面积 为前方和头顶面积之和 因各个方向上降雨速度分量不同 故分别计算头顶和 前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量 据此可列出总淋雨量 W 与跑步速度 v 之 间的函数关系 分析表明当跑步速度为 max v 时 淋雨量最少 并计算出当雨与 人体的夹角 0 时 淋雨量近似为 0 0012 当 30 时 淋雨量近似为 3 m 0 0016 3 m 针对问题三 雨从背面吹来 雨线与跑步方向在同一平面内 人淋雨量与 人和雨相对速度有关 列出函数关系式分析并求解 可知当人速度 v 2时m s 淋雨量最少 30 时的总淋雨量近似为 0 2405556E 03 3 m 针对问题四 列出淋雨量 W 和跑步速度 v 之间的函数关系式 利用 MATLAB 画出 分别为 0 10 90 的曲线图 针对问题五 雨线与人跑步方向不在同一平面内 则考虑人的淋雨面积为 前后左右以及头顶 分别列式表示 总的淋雨量即为三者之和 关键词 淋雨量 降雨的大小 降雨的方向 风 路程的远近 行走的速度 2 一 问题重述 生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻 我们在那时会有很多 选择 其中之一就是淋雨 往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨 量最小化 但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少 反而有时候淋雨量倒有所增加 淋雨量和速度等有关参数的关系如何 让我们 假设一数学模型模拟计算真实情况 当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时 如果雨速为常数 走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着 淋雨的多少 并且行走速度也同样影响着淋雨量 将人体简化成一个长方体 高 a 1 5 米 宽 b 0 5 米 厚 c 0 2m 跑步距离 d 1000m 跑步最大速度 max v 5m s 雨速 u 4m s 降雨量 w 2 h 记跑步速度为 6 5 556 10 m s 1 当我们不考虑雨的方向时 假设降雨会淋遍全身 这时如果我们最大速 度奔跑会淋多少雨 2 雨从迎面吹来 雨线方向与跑步方向在同一平面内 且与人体的夹角为 建立总淋雨量与速度 及参数 a b c d u 之间的关系 问速度 多大 总 淋雨量最少 计算 0 30 时的总淋雨量 3 雨从背面吹来 设雨线方向与跑步方向在同一平面内 且与人体的夹角 为 建立总淋雨量与速度 及参数 a b c d u w 之间的关系 问速度 多大 总淋雨量最少 计算 30 时的总淋雨量 4 以总淋雨量为纵轴 速度 为横轴对第 3 问作图 考虑 的影响 并 解释结果的实际意义 5 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内 模型会有什么变化 二 问题分析 2 1 问题一分析 3 若不考虑雨的方向 雨以降雨量 w 均匀地淋遍全身 将人体简化成长方体 求出人接受雨的总面积 人以最大速度跑步 并计算淋雨时间 单位时间 单 位面积上的降雨量 求出人跑完全程的总淋雨量 W 2 2 问题二分析 雨迎面吹来 雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为 如图 1 所示 根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上 雨迎 面吹来时 由于雨相对于人的速度有变化 因此人单位时间内接收雨量变化 且与相对速度成正比 据此 推算出前后侧上单位时间接受雨量 同理 头顶 部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比 分别计算出头顶侧与前后 侧单位时间接雨量 并分别乘以各自面积以及时间d t 即得到头顶及两侧淋雨的 总量 在人体总的淋雨量 据此可得 W 与 v 之间关系 并能求出 0 和 30 时 的总淋雨量 图 1 2 3 问题三分析 雨从背面吹来 雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为 如图 2 所示 左右方向上淋雨量为 0 头顶上单位时间内接收雨的量与雨速垂直方向上的 1 w 4 分量成正比 为头顶面积 bc 与时间的 d v 以及之积 当时 前 1 W 1 wsinvu 方不受雨 前后方向上单位时间内淋雨量与人前进方向上人相对于雨的速度 2 w usin v 成正比 据此推算出 而当时 后方不受雨 由于人 2 Wsinvu 速已经高于雨速 这时前面会向前撞上雨滴 即与成正比 为 2 wsinvu 2 W 人体前面积 ab 和跑步时间 d v 顶淋雨量以及之积 2 w 由此可计算出总的淋雨量 12 WWW 据此可得 W 与 v 之间关系 并能求出 30 时的总淋雨量 图 2 2 4 问题四分析 以总淋雨量 W 为纵轴 速度 为横 针对问题三的求解 利用 MATLAB 作出当 分别为 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 时的曲线 图并加以分析 2 5 问题五分析 5 csin bcos 图 3 俯视图 如图三 为人体模型的俯视图 需要分三部分计算 在前后面上 雨垂直 方向分速度为 相对速度为 乘上垂直受雨的面积 ab 以cosu sincosvu 及时间即为前后侧受雨量 因为垂直于左右面人的分速度为 0 左右两面 d v 2 W 上相对速度为乘上面积 ac 以及时间极为左右受雨量 而头顶受sinsinu d v 3 W 雨与雨速和人速的夹角大小无关 因此仍按 2 3 问的算法做 由 1 W 可得雨量求法公式 123 WWWW 二 模型假设 1 人在奔跑过程中 大小与方向恒定 即沿直线匀速前进 2 对问题 1 人体各个方向均匀接受雨量 即单位时间 单位面积上接受雨量恒 定 3 对问题 2 3 雨线与跑步方向在同一平面内 并且雨线与人体夹角不变 在 此过程中左右两次因与雨速平行而不沾雨 4 假设雨的密度相同 雨滴大小 形状相同 雨速均匀不变 5 假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比 6 将人体理想化为一个长 宽 高 已知的长方体模型 且人体行走过程中的 震荡引起的误差可忽略不计 6 三 符号说明 a人体高度 b人体宽度 c人体厚度 d跑步距离 u雨速 w 降雨量 雨迎面吹来时与人体的夹角 俯视图中雨速与人速的夹角 max v 跑步最大速度 W总淋雨量 1 s 头顶面积 2 s 人前或后表面积 1 u 雨点相对人头顶速度的垂直分量 2 u 雨点相对人前后面速度的垂直分 量 1 w 头顶单位时间接收雨量 2 w 前后面单位时间接收雨量 1 W 头顶接收雨量 2 W 人体前后面接收雨量 3 W 人体左右面接收雨量 max v 7 五 模型建立与求解 5 1 问题一 不考虑雨的方向 因为降雨量 w 均匀地淋遍全身 所以在将人体简化成长 方体的情况下 忽略次要因素 人以最大速度跑步 根据淋雨时间 单位时间 单位面积上的降雨量等有关条件 列出总淋雨量 W 的求解公式如下 max 22 d Wabbcac w v 利用 MATLAB 编程求解 见附录一 可得 0 0024W 3 m 5 2 问题二 根据题意 将降落在人体上的雨滴分成两部分 顶部 前面 1 s 2 s 人体接收的雨量和头顶面积 头顶部分与雨滴垂直下落方向分量 行走时间 1 u 有关 列式求解如下 头顶 1 1 cosuu sbc 8 假设降雨量 w 与与点密度 均匀不计 淋雨量与人相对速度有关 所以 11 1 11 1 cos coscos wu ww dbcdw Ww stwbc vv 正面 2 sinvvu 而 22 2 2 22 2 12 sin sin sin sin vuu wv ww vu ww u vabd Ww s tw uv bdav WWWw ca vu 1 利用 MATLAB 编程求解 见附录二 可得 当 v 5m s 时 淋雨量 W 最小 当 0 时 W 0 0012 3 m 当 30 时 W 0 0016 3 m 5 3 问题三 根据题意 根据题意 将降落在人体上的雨滴分成两部分 顶部 1 s 前后两面 面积为 假设 与雨点密度 雨点与人的相对速度 2 s 1 s 1 sbc 1 w 成正比而雨点均匀分布 头顶 9 11 11 11 coscos cos wv vuww d s wtbcw v 1 W 正面 当时 人速大于垂直于人前后面的雨速 雨会沾到人的前面sinuv 用 lingo 编程 见附录三 求解可得 当v 2m s 时 总淋雨量最少 雨线方向与人体夹角为 30 时 淋雨量为 0 2405556E 03 3 m 10 图 4 5 4 问题四 根据问题三的结论 列出总的淋雨量 W 和人速度 v 之间的关系式 利用 MATLAB 画出 取不同值时的函数图像如下 00 511 522 533 544 5 0 01 0 005 0 0 005 0 01 0 015 0 02 0 025 0 03 v轴 W轴 分析图像可知 当 v 2 时 总淋雨量最少 5 5 问题五 应用 3 中的结论 cos d bcw v 1 W 前后侧 当时 相对速度 sincosvu sincosvu 11 2 sincosvud Wwab uv 可总结为 2 sincosvud Wwab uv 同理 可得左右侧接收雨量 3 sinsinud Wwac uv 三者相加得 sincossinsin cos vuuddd Wbcwwabwac vuvuv 六 模型评价 通过对本题的分析求解 可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有 关 还与雨线与人跑步方向的夹角 雨速以及人跑步速度等因素有关 本文忽 略了降雨密度不均匀 风向不稳定等次要因素 以便更好的对问题进行分析和 研究 但在实际问题中的限制性因素远远超过这些 因此此文的分析方法仍存 在一定的局限性 有待改进和提高 参考文献 1 薛定宇 陈阳泉 高等应用数学问题的 MATLAB 求解 北京 清华大学出版 社 2008 年 10 月 2 陈杰 MATLAB 宝典 北京 电子工业出版社 2007 年 12 附录 附录 1 问题一求解程序 clear a 1 5 b 0 5 c 0 2 w 0 02 3600 d 1000 Vm 5 W 2 a b 2 a c b c w d Vm W 0 0024 附录 2 问题二求解程序 附录 2 1 分析当v vm时总淋雨量最小程序 clear syms t v a 1 5 b 0 5 c 0 2 w 0 02 3600 d 1000 u 4 minss b c d w cos t a b d w sin t v a b w d u h diff minss v 导数 h 1 1800 cos t 1 240 sin t v 2 h 1 1800 cos t 1 240 sin t v 2 恒小于零 原函数为减函数 附录 2 2 当 0 时总淋雨量程序 clear t 0 13 v 5 a 1 5 b 0 5 c 0 2 w 0 02 3600 d 1000 u 4 minss b c d w cos t a b d w sin t v a b w d u minss 0 0012 附录 2 3 当 30 时总淋雨量 clear t pi 6 v 5 a 1 5 b 0 5 c 0 2 w 0 02 3600 d 1000 u 4 minss b c d w cos t a b d w sin t v a b w d u minss 0 0016 附录 3 问题三中 30 时总淋雨量 程序一程序一 min 0 5 0 2 1 732 2 1000 v 0 02 3600 2 v 2 1 5 0 5 0 02 3600 1000 v v 0 v 2 v 5 运行结果 Local optimal solution found at iteration 8 Objective value 0 2405556E 03 Variable Value Reduced Cost V 2 000000 0 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0 2405556E 03 1 000000 2 0 000000 0 9213884E 03 3 3 000000 0 000000 附录4 问题四的程序 t sin t0 v1 0 0 1 t 1 v11 t 1 0 1 5 y1 5 556e 4 cos t 1 41 67e 4 sin t 1 v1 4 167e 3 4 y11 5 556e 4 cos t 1 41 67e 4 sin t 1 v11 4 167e 3 4 plot v1 y1 r hold on plot v11 y11 r xlabel v ylabel W v2 0 0 1 t 2 v22 t 2 0 1 5 y2 5 556e 4 cos t 2 41 67e 4 sin t 2 v2 4 167e 3 4 y22 5 556e 4 cos t 2 41 67e 4 sin t 2 v22 4 167e 3 4 plot v2 y2 g hold on plot v22 y22 g v3 0 0 1 t 3 15 v33 t 3 0 1 5 y3 5 556e 4 cos t 3 41 67e 4 sin t 3 v3 4 167e 3 4 y33 5 556e 4 cos t 3 41 67e 4 sin t 3 v33 4 167e 3 4 plot v3 y3 k hold on plot v33 y33 k v4 0 0 1 t 4 v44 t 4 0 1 5 y4 5 556e 4 cos t 4 41 67e 4 sin t 4 v4 4 167e 3 4 y44 5 556e 4 cos t 4 41 67e 4 sin t 4 v44 4 167e 3 4 plot v4 y4 b hold on plot v44 y44 b v5 0 0 1 t 5 v55 t 5 0 1 5 y5 5 556e 4 cos t 5 41 67e 4 sin t 5 v5 4 167e 3 4 y55 5 556e 4 cos t 5 41 67e 4 sin t 5 v55 4 167e 3 4 plot v5 y5 c hold on plot v55 y55 c v6 0 0 1 t 6 v66 t 6 0 1 5 y6 5 556e 4 cos t 6 41 67e 4 sin t 6 v6 4 167e 3 4 y66 5 556e 4 cos t 6 41 67e 4 sin t 6 v66 4 167e 3 4 plot v6 y6 y hold on plot v66 y66 y v7 0 0 1 t 7 v77 t 7 0 1 5 y7 5 556e 4 cos t 7 41 67e 4 sin t 7 v7 4 167