两辆铁路平板车的装货问题

两辆铁路平板车的装货问题两辆铁路平板车的装货问题 摘要摘要 本题针对铁路平板车装货的问题 有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平 板车上去 在厚度 载重 件数等条件的限制下 要求我们把包装箱装到平板 车上去使得浪费的空间最小 针对本问题 初步分析可得 题中所有包装箱共重 89 而两辆平板车只t 能载重共 80 因此 不可能全安装下 根据题意可得 浪费的空间最小就是t 要求尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大 根据题目中关于厚度 载重 件数等限制条件 建立相应的线性规划数学模型 写出相应的目标函数和约束 条件 使用数学软件 matlab 和 lingo 得出相应的最优解 若有数组最优解 最 后用 Excel 对得到的最优解进行分析 得出最符合题意的答案 关键词 线性规划关键词 线性规划 最优解最优解 lingo matlab 1 1 问题重述问题重述 有 7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去 包装箱的宽和高是一样 的 但厚度 t 以厘米计 及重量 w 以公斤计 是不同的 下表给出了每 种包装箱的厚度 重量以及数量 每辆平板车有 10 2 米长的地方可用来装包装 箱 像面包片那样 载重为 40 吨 由于当地货运的限制 对 C5 C6 C7 类的 包装箱的总数有一个特别的限制 这类箱子所占的空间 厚度 不能超过 302 7cm C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 t cm 48 7 52 0 61 3 72 0 48 7 52 0 64 0 w kg 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000 件数 8 7 9 6 6 4 8 问 应该如何把这些包装箱装到平板车上 才能使得浪费的空间最小 尽量使 这些包装箱所占的空间最大 试建立此问题的数学模型 2 2 问题分析问题分析 2 1 对题目的分析对题目的分析 题目中的所有包装箱的总重量 W 2 8 3 7 9 1 0 5 6 4 6 2 4 1 8 89t 但 是两辆平板车的总载重量只有 80t 所以不可能全部装下所有货物 题目要求 试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小 所以不以尽可能装满 80t 货 物为目标函数 而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学 模型 由于当地对于货运的限制 C5 C6 C7 所占的厚度不超过 302 7cm 这句话 可以理解为 每辆车的长度限制不超过 302 7cm 两辆车的总长度限制不 超过 302 7cm 我们算得需要装载的 C5 C6 C7 总长度为 远大于 所以本文中我们根据经验和数据的判断 只考虑第一种情况 2 2 对模型的简单分析对模型的简单分析 根据题目我们要建立相关的数学模型 分析发现 1 有一个目标 即题目 的最终要求是使两辆车的总厚度实现最大化 2 存在一定的约束条件 并且这 些约束条件可以由决策变量的线性不等式表示 即每辆车的厚度以及载重限制 是完全由决策变量 每辆车所装种类包装箱的个数 决定的 故本题属于线性 问题 可以采用线性规划数学模型解决 3 3 模型假设模型假设 1 包装箱的底面积恰好与平面车的平面积恰好相等 2 包装箱之间不存在间隙 即包装箱所铺成的总高度没有影响 3 将每个包装箱装入平板车都具有可行性 4 各个货物装在车上的概率相同 相互之间的排放不存在关联性 5 在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性 均为题中 所给的准确数值 6 装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度 排除因 局部过重而造成的平板车不能行驶的情况 不考虑方案不同仅仅是 AB 车车次相互交换的情况 不考虑一辆车上同一种包装箱组合方案的不同排列 在重量符合要求的情况下 不考虑两车重量差别大小对最优解的影响 四 符号说明四 符号说明 序号符号符号说明 1X1 X7A 车中 C1 C7 类货物装载的数量 2Y1 Y7B 车中 C1 C7 类货物装载的数量 3f目标函数 即 A B 车所装货物的总厚度 4Wa最优解中 A 车的实际重量 5Wb最优解中 B 车的实际重量 6Ta最优解中 A 车的实际厚度 7Tb最优解中 B 车的实际厚度 8Lta最优解中 A 车的 C5 C6 C7 的实际厚度 9Ltb最优解中 B 车的 C5 C6 C7 的实际厚度 为了便于问题的求解 我们给出以下符号说明 五 模型的建立与求解五 模型的建立与求解 经过以上的分析和准备 我们将逐步建立以下数学模型 进一步阐述模型 的实际建立过程 5 1 线性规划模型的建立与求解线性规划模型的建立与求解 根据题目中的意思 要在符合厚度 质量等的条件下建立相关的数学模型 我们可以根据题意写出初步的目标函数和约束条件 假设两辆车分别为 A 车和 B 车 设 A 车上的 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 种类的箱子分别装 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 件 B 车上的 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 种类的箱子分别装 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 件 1 1 目标函数为使两辆平板车的装箱总厚度之和尽可能地大 即目标函数为使两辆平板车的装箱总厚度之和尽可能地大 即 0 640y7 0 520y6 0 487y5 0 720y4 0 613y3 0 520y2 0 487y1 0 640 x7 0 520 x6 0 487x5 0 720 x4 0 613x3 2x520 0 1x487 0 max 2 2 约束条件约束条件 装箱过程中必须遵循的各约束如下 厚度约束 每辆平板车有 10 2m 长的地方来装包装箱可以得 10 200 640y7 0 520y6 0 487y5 0 720y4 0 613y3 0 520y2 0 487y1 10 200 640 x7 0 520 x6 0 487x5 0 720 x4 0 613x3 0 520 x2 0 487x1 重量约束 每辆平板车的载重为 40t 可以得 40y7 2y6 4y5 0 5y4 y3 3y2 2y1 40 x7 2x6 4x5 0 5x4 x3 3x2 2x1 特殊约束 C5 C6 C7 所占空间厚度不能超过 302 7cm 可以得 3 0270 640y7 0 520y6 0 487y5 3 0270 640 x7 0 520 x6 0 487x5 箱数约束 8y7 x7 4y6 x6 6y5 x5 6y4 x4 9y3 x3 7y2 x2 8y1 x1 另外 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 均为 0 的整数 5 2 运用数学软件对模型求解运用数学软件对模型求解 1 线性模型总的表示 线性模型总的表示 0y7y6 y5 y4 y3 y2 y1 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 8y7 x7 4y6 x6 6y5 x5 6y4 x4 9y3 x3 7y2 x2 8y1 x1 3 0270 640y7 0 520y6 0 487y5 3 0270 640 x7 0 520 x6 0 487x5 40y7 2y6 4y5 0 5y4 y3 3y2 2y1 40 x7 2x6 4x5 0 5x4 x3 3x2 2x1 10 200 640y7 0 520y6 0 487y5 0 720y4 0 613y3 0 520y2 0 487y1 10 200 640 x7 0 520 x6 0 487x5 0 720 x4 0 613x3 0 520 x2 0 487x1 s t 0 640y7 0 520y6 0 487y5 0 720y4 0 613y3 0 520y2 0 487y1 0 640 x7 0 520 x6 0 487x5 0 720 x4 0 613x3 0 520 x2 0 487x1 maxZ 2 用用 matlab 对模型求解对模型求解 对于此模型 针对目标函数 我们利用 matlab 软件确定其最优解 可得一 组最优解 4 3 8 0 2 0 1 2 4 0 6 1 2 2 检验可得 A B 车的总厚度为 2020 7cm 3 3 用用 lingolingo 对模型求解对模型求解 对于此模型 针对目标函数 我们利用 matlab 软件确定其最优解 可得两 组最优解 最优解一 Variable Value Reduced Cost X1 6 000000 0 4870000 X2 2 000000 0 5200000 X3 6 000000 0 6130000 X4 0 000000 0 7200000 X5 0 000000 0 4870000 X6 0 000000 0 5200000 X7 4 000000 0 6400000 Y1 2 000000 0 4870000 Y2 3 000000 0 5200000 Y3 2 000000 0 6130000 Y4 5 000000 0 7200000 Y5 0 000000 0 4870000 Y6 3 000000 0 5200000 Y7 2 000000 0 6400000 最优解二 Variable Value Reduced Cost X1 0 000000 0 4870000 X2 5 000000 0 5200000 X3 2 000000 0 6130000 X4 5 000000 0 7200000 X5 2 000000 0 4870000 X6 1 000000 0 5200000 X7 2 000000 0 6400000 Y1 6 000000 0 4870000 Y2 2 000000 0 5200000 Y3 6 000000 0 6130000 Y4 0 000000 0 7200000 Y5 0 000000 0 4870000 Y6 0 000000 0 5200000 Y7 4 000000 0 6400000 首先 对比matlab和lingo的运算结果 可以很容易地得出lingo所得的最优解 更合理 两车总厚度为2040cm 远大于matlab的结果 其次 对比两组最优解 x1x1x2x2x3x3x4x4x5x5x6x6x7x7y1y1y2y2y3y3y4y4y5y5y6y6y7y7TaTaTbTbT TWaWaWbWb Wa Wb Wa Wb 2325032626000410201020204025 5282 5 0525212626000410201020204031 5283 5 可以看出 虽然两组都是最优解 但是第二种方法算出来的总载重更大些 3 3 进一步分析进一步分析 分析两组最优解的具体数据 两组数据对 C1 和 C5 两种货箱产生了替换 再对货箱尺寸进行分析后 我们发现 C1 C5 以及 C2 C6 货箱的厚度分别相等 如果 C1 C5 或 C2 C6 货箱之间相互替换 不影响厚度而只对重量和对于 C5 C6 C7 货箱的长度有影响 1 对 A 车 因为 x5 x6 均为 0 若是减少 x2 x3 来增大 x5 x6 则 C5 C6 C7 包装箱 的厚度总和就大于 302 7cm 故 A 车不能互换 只能为 6 2 6 0 0 0 4 2 对 B 车 C2 C6 不可以 因为 C5 C7 超出 302 7 C6 C2 不可以 因为 C2 已经达 到最多 7 件 所以我们经过分析 枚举出了 6 组符合要求的最优解 筛选后的 6 组情况如下表所列 六 模型的评价与改进六 模型的评价与改进 6 1 模型的评价模型的评价 基于对问题的分析与理解 建立了整数线性规划模型 并使用 lingo 软件 对该模型进行求解 X1X1X2X2X3X3X4X4X5X5X6X6X7X7Y1Y1Y2Y2Y3Y3Y4Y4Y5Y5Y6Y6Y7Y7 总总 载载 重重 t t C5 C6 C7C5 C6 C7 厚度厚度 cmcm 2325032626000423 52 84 0525212626000429 52 774 1425122626000426 52 807 1525112626000427 52 287 2425022626000424 52 32 2525012626000425 51 8 6 1 16 1 1 模型的优点模型的优点 由于 lingo 软件功能强大 计算机运行的时间大大缩短 我们将题目给出 的约束条件很直观地反映出来 便于理解 并且利用多种方法通过该模型得到 问题的最优解 再次说明了该模型的正确性和适用性 6 1 26 1 2 模型的缺点模型的缺点 采用 lingo 语言 在变量较多而且存在相同参数的时候 lingo 只能得到 一组或少量基础解 不够全面 这时根据题目具体数据分析的作用就更显得重 要 不能盲目的运用计算机求解 七 模型的推广七 模型的推广 本文只考虑了货车中所浪费的空间最小 没有考虑货车的载重量经济利益 等其他因素 所以再日后模型推广上可以将平板车的装载重量 经济利益等因 素引进来 从而由单目标规划推广到多目标规划上 使我们的模型更符合实际 需求 更具有经济效益 当然 本文的模型还只是针对一种确知的目标函数而定的 当目标函数变 为运输成本最小化而需要进行复杂的不确定的多因素动态规划时 模型则需要 更进一步的深化与改进 8 参考文献参考文献 1 赵静 但琦等 数学建模与数学实验 北京 高等教育出版社 2008 2 刘焕彬 库在强等 数学模型与实验 北京 科学技术出版 社 2008 3 戴明强 李卫军 杨鹏飞 数学模型及其应用 第一期 94 121 页 2007 年 9 9 附录附录 附录一附录一 Max 0 487x1 0 52x2 0 613x3 0 72x4 0 487x5 0 52x6 0 64x7 0 487y1 0 52y2 0 613y3 0 72y4 0 487y5 0 52y6 0 64y7 St 0 487x1 0 52x2 0 613x3 0 72x4 0 487x5 0 52x6 0 64x7 10 2 2x1 3x2 1x3 0 5x4 4x5 2x6 1x7 40 0 487x5 0 52x6 0 64x7 3 027 0 487y1 0 52y2 0 613y3 0 72y4 0 487y5 0 52y6 0 64y7 10 2 2y1 3y2 1y3 0 5y4 4y5 2y6 1y7 40 0 487y5 0 52y6 0 64y7 3 027 x1 y1 8 x2 y2 7 x3 y3 9 x4 y4 6 x5 y5 6 x6 y6