第三章随机变量的数字特征

张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 1 第三章 随机变量的数字特征 本章要求 理解随机变量数字特征 数学期望 方差 标准差 协方差 相关系数 的概念 会计算 一维 二维随机变量函数的数学期望 本章重点 随机变量数字特征的计算 随机变量函数的数学期望的计算 本章简述 上一章 我们对随机变量作了讨论 可知随机变量的概率分布能够完整的描述随机变量的统 计规律性 而在实际问题中要确定一个随机变量的分布并不是一件容易的事 而且在许多具体问题中往往 并不需要对随机变量作全部的了解 而只需知道它的某些特征就可以 例如 检查一批灯泡的质量 在一 定条件下 只须看这批灯泡的使用寿命 又如 两批同型灯泡 平均寿命相同 如何鉴别那一批灯泡好些 呢 这就要看每批灯泡寿命数分布的集中程度 由此可见 随机变量的某些特征是可以通过一个或几个数 字来描述的 这种数字是按分布而定的 它们在一定程度上即可反映随机变量的分布情况 我们称这种用 来反映随机变量特征的数字为数字特征 本章将介绍几个最常用的数字特征 本章学时 6 学时 课 题 3 1 第一节 数 学 期 望 授课时间 2006 3 27 教学目的 1 离散型 连续型随机变量的数学期望的概念 2 常见分布的数学期望 3 数学期望的性质 简单计算 教学重点 随机变量数学期望的概念及计算 课程类型 新授课 教学方法 讲练结合利用实际生活中浅显易懂的例子 使学生了解随机变量均值 即数学期望 的概念 从而引入数学期望的严格定义 再通过示范例题使学生掌握常见分布的数学期望 之后导入函数的数学期 望及性质 教学过程 一 离散型随机变量的数学期望 先看一个实际例子 例 1 甲 乙两选手各向目标靶射击十枪 二人命中靶子的情况分别为 单位 环 甲 9 8 10 8 9 9 8 9 8 9 乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 现问 甲 乙二人哪一个命中率更高点 对于甲选手 命中环数的平均值为 98 108998989 10 154 10988 7 101010 环 对于乙选手 命中环数的平均值为 10 10981091010976 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 2 8 8 10 1 6 10 1 7 10 1 8 10 3 9 10 4 10环 从平均值来看 乙选手比甲选手命中率更高些 如果我们用随机变量的取值表示两选手命中的环数 则比较二人的命中率实际上是比较两随机变量 平均值的大小 可以看到 平均值实际上是以分布概率为权重的加权平均 下面给出数学期望的严格定义 定义 设离散型随机变量的分布列为 X 1 x 2 x k x k p 1 p 2 p k p 如果级数绝对收敛 即收敛 则和为随机变量的数学期望或均值 记 1 k k xp k 1 k k xp k 1 k k x p k X 为 即 E X 1 k k E Xx p k 如果级数不绝对收敛 即不收敛 则称随机变量的数学期望不存在 1 k k x p k 1 k k xp k X 例 2 对服从 0 1 分布的随机变量 其分布列为 X 1 01 P Xp P Xp 求的数学期望 X 解 由数学期望定义 pppXPXPXE 0 1 10 0 1 1 例 3 设 求 X B n p E X 解 已知二项分布的分布列为 1 0 1 2 kkn k n P XkCppkn 则的数学期望为X 00 11 1 1 1 1 1 1 nn kkn k n kk n kkn k n k n E Xk P Xkk Cpp npCpp np ppnp 例 4 设服从参数为的泊松分布 求 X E X 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 3 解 已知泊松分布列为 0 1 2 k P Xkek k 从而 00 1 1 1 k kk k k E Xk P Xkke k eee k 例 5 设随机变量取值为的概率为 求X 2 11 2 k k k xk k 1 2 k k P Xx 的数学期望 X 解 无穷级数 11 1 21 1 2 1 1ln2 k k kk k kk k k xP Xx k k 但是发散的 所以的数学期望不存在 11 1 kk kk xP Xx k X 例 6 某种奖券销售单位为提高大众购买奖券的兴趣 采用当众开奖的办法 每张奖券面值 1 元 每 500 万张设若干奖项如下 类 别 个 数 奖品价值 元 特等 1 1500 一等 10 500 二等 100 70 三等 1000 3 纪念 10000 0 5 试计算每购一张奖券平均能取多少奖金 解 设某购买者得到的奖金数为 则为一随机变量 其分布列为XX 1500 500 70 3 0 5 0X pk 6 1 5 10 5 1 5 10 4 1 5 10 3 1 5 10 2 1 5 10 7 22222 1 10 从而的数学期望为X 654 111 150050070 5 105 105 10 E X 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 4 32 6 11 30 50 5 105 10 1 1500500 1070 1003 10000 5 10000 5 10 0 0043 元 即平均每购一张奖券可能得到的奖金不到半分钱 但在实际生活中吸引力还是相当大的 二 连续性随机变量的数学期望 定义 设为连续型随机变量 概率密度为 如果积分绝对收敛 即X f x xf x dx 收敛 则称积分的值为连续型随机变量的数学期望或均值 记为 xf x dx xf x dx X 即 E X E Xxf x dx 反之 如果积分发散 则称随机变量的数学期望不存在 xf x dx X 例 7 设服从区间上的均匀分布 求的数学期望 X baX 解 已知的概率密度为X 1 0 xa b f xba 其它 从而 1 1 2 b a E Xxf x dxxdx ba ab 正好是区间的中点 ba 例 8 设服从参数为的指数分布 求的数学期望 X X 解 已知的概率密度为X 0 0 0 0 x ex f x x 从而所求数学期望为 0 x E Xxf x dxxedx 00 1 xx xdeedx 例 9 对服从正态分布的随机变量 求其数学期望 2 N X 解 已知的概率密度为X 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 5 2 2 2 1 2 x f xex 则所求数学期望为 2 2 2 2 x x E Xxf x dxedx 作变换 得到 x t 22 22 22 20 2 tt E Xedttedt 即正态分布的第一个参数就是随机变量的均值 2 N X 三 随机变量函数的数学期望 1 离散型随机变量函数的数学期望 定义 设离散型随机变量的分布列为X 1 2 kk P Xxpk 如果级数收敛 则称级数的和为的数学期望 Yg X 1 kk k g xp 1 kk k g xp Yg X 记为 即 E g X 1 kk k E YE g Xg xp 例 10 设离散型随机变量的分布列为X 1 0 2 3X k p 1 8 1 4 3 8 1 4 试计算 2 21 E XE XEX 解 由数学期望的定义可得 2 2222 113111 1023 84848 113131 1023 84848 1131 2131 3 5 8484 7 4 E X E X EX 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 6 例 11 设服从参数为的泊松分布 试计算的数学期望 X 2 YX 解 已知的分布列为X 0 1 2 0 k P Xkek k 从而 22 0 1 1 k k k k E YE Xke k ke k 1 1 11 11 21 21 2 11 1 1 1 1 2 1 k k kk kk kk kk ek k ek kk e kk eee 2 连续型随机变量函数的数学期望 定义 设连续型随机变量的概率密度为 则仍是一随机变量 如果X f x Yg X Y 收敛 则称积分的值为的数学期望 记为 g xf x dx g x f x dx Yg X 即 E g X E YE g Xg x f x dx 例 12 已知服从上的均匀分布 计算的数学期望 X 0 2 sinYX 解 已知的概率密度为X 1 0 2 2 0 x f x 其它 则所求的数学期望为 sinYX 2 0 sinsin 1 sin0 2 E YEXx f x dx xdx 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 7 四 数学期望的性质 如果 X Y 是两个随机变量 C 为任意常数 且 都存在 则数学 E X E Y 期望有以下四条常见的性质 1 E CC 2 E CXC E X 3 E XYE XE Y 4 如果 X 与 Y 相互独立 则 E XYE XE Y 证明 数学期望的四条性质中 前两条比较直观 容易理解和证明 我们只证明 推论 1 设随机变量的数学期望都存在 则 12 n XXX 1212 nn E XXXE XE XE X 推论 2 设随机变量相互独立 且数学期望都存在 则 12 n XXX 1212 nn E X XXE XE XE X 例 14 设随机变量相互独立 且服从同一个 0 1 分布 12 n XXX 试证服从二项分布 并求 12n XXXX B n p E X 证明 由于每个可能取值为 0 或 1 则可能取值 1 2 i Xin 12n XXXX 为 n 2 1 0 X取值为k 则要求中有k个取值为 1 而其余 n k 个取值为 0 至于是哪k个变量 12 n XXX 取值为 1 共有种不同方式 而且这些方式两两互斥 由相互独立性可知每种方式出 k n C 12 n XXX 现的概率为 从而 1 n k k pp 1 0 1 2 n k kk n P XkC ppk 即 X 服从二项分布 B n p 对服从 0 1 分布的任一 已知 则 1 2 i Xin i E Xp 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 8 12 12 n n E XE XXX E XE XE X np 五 小结 1 数学期望是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变 量 X 取可能值的真正的平均值 2 数学期望的性质 3 常见离散型随机变量的数学期望 116 附表 六 作业 七 后记 课 题 第二节 方 差 本节学时 2 学时 教学目的 1 了解随机变量方差的的概念及意义 2 了解方差的性质 会正确计算方差 3 熟记常见分布的数字特征 教学重点 随机变量方差的定义及计算 教学难点 方差意义的理解 两种类型方差的计算 4 3 2 1 0 0 0 0 YEXEXYEYX YEXEYXE XCECXE CCE 独立 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 9 教学方法 利用实际生活中浅显易懂的例子 使学生了解随机变量方差的概念 从而引入方差的严格 定义 再通过例题使学生掌握常见分布的方差 之后介绍方差性质 教学手段 采用多媒体教学的形式 以电子课件为主 投影及粉笔黑板相结合为辅 使学生能够充分 利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识 教学内容 一 随机变量方差的概念及性质 引例 由第一节我们知道 随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度 但仅用数学期望描述一个变 量的取值情况是远不够的 我们仍用类似于第一节中的例子来说明 例 1 甲乙两射手各发十枪 击中目标靶的环数分别为 甲 9 8 10 8 9 9 8 9 10 9 乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 容易算得 二人击中环数的平均值都是 8 8 环 现问甲 乙二人哪一个水平发挥得更稳定 直观的理解 二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越小 这个选手发挥更稳定一些 为此我们利 用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较 为了防止偏差和的计算中出现正 负偏差相抵的情 况 应由偏差的绝对值之和求平均更合适 对于甲选手 偏差绝对值之和为 9 8 8 8 8 8 10 8 8 9 8 8 6 4 环 对乙选手 容易算得偏差绝对值之和为 10 8 环 所以甲 乙二人平均每枪偏离平均值为 0 64 环和 1 08 环 因而可以说 甲选手水平发挥得更稳定些 类似的 为了避免运算式中出现绝对值符号 我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较 为此我 们引入以下定义 2 定义 对随机变量X 如果数学期望存在 且的数学期望也存在 则称 E X 2 XE X 的值为随机变量X的方差 记为 2 E XE X D X 3 说明 1 方差反映了随机变量取值相对于均值的分散程度 即反映X取值的稳定性 方 E X 差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量 如果D X 值大 表示X 取值分散程度大 E X 的代表 性差 而如果D X 值小 则表示X 的取值比较集中 以E X 作为随机变量的代表性好 应当注意 对随机变量X而言 其数学期望是一常数 而与 E X XE X 是随机变量 利用数学期望的性质可得 2 XE X 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D XE XE X E XXE XE X E XE XE XE X E XE XE XE X 2 2 E XE X 即 这是方差运算中一个常用的公式 2 2 D XE XE X 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 10 为了保证变量量纲的一致性 我们称方差的平方根为随机变量X的标准差或均方差 记为 D X 即 X XD X 4 随机变量方差的计算 1 利用定义计算 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 2 利用公式计算 2 2 D XE XE X 例 1 对服从 0 1 分布的随机变量 X 分布列为 X 0 1 1 p p k p 求X的方差 解 已知 而且 E Xp 222 101 E Xppp 则 X 的方差为 2 2 2 1 D XE XE X pppp 例 2 设随机变量 X 服从参数为的泊松分布 求 D X 解 在本章第一节中我们已经知道 22 E XE X 从而 2 2 22 D XE XE X 例 3 对服从 a b 区间上均匀分布的随机变量 X 计算 D X 解 已知 且 1 2 E Xab 22 E Xxf x dx 222 11 3 b a xdxaabb ba 从而 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 11 2 2 2 22 2 11 34 1 12 D XE XE X aabbab ba 例 4 已知 X 求 2 N D X 解 由方差的定义可得 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 x x D XxE Xedx xedx 作代换 则 x t 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 t tt D Xt edt t eedt 由此可知 正态分布的两个参数和分别表示随机变量 X 的均值和方差 2 N 2 关于方差的性质 常见的有以下几条 1 为常数 0D C C 2 D XCD X 3 2 D CXCD X 4 若 X 与 Y 相互独立 则 D XYD XD Y 5 的充要必要条件是 X 以概率 1 取常数 C 即 0D X 1P XC 证明 1 2 2 0D CE CE CECC 2 22 XDXEXECXECXECXD 张爱香概率论数理统计教案2020 3 29 12 3 222 XDCXCECXECXECXECXD 4 若X与Y相互独立 则已知 E XYE XE Y 从而 2 2 2 22 2 22 2 2 22 2 22 22 2 22 2 2 D XYEXYE XY E XXYYE XE Y E XE XYE YE XE X E YE Y E XE XE YE YE X E XE YE Y E XE XE YE Y D XD Y 因性质 5 要用到复杂一些的数学知识 略去证明过程 性质 4 可以推广到多个相互独立的随机变量的情形 例如 当相互独立时 123 XXX 成立 123123 D XXXD XD XD X 例