最全面的解三角形讲义

1 解三角形解三角形 高考会这样考高考会这样考 1 考查正 余弦定理的推导过程 2 考查利用正 余弦定理判断三角形的形状 3 考查利用正 余弦定理解任意三角形的方法 4 考查利用正弦定理 余弦定理解决实际问题中的角度 方向 距离及测量问题 基础梳理基础梳理 1 1 正弦定理 正弦定理 2R 其中R是三角形外接圆的半径 由正弦定理可以变 a sin A b sin B c sin C 形为 1 a b c sin A sin B sin C 2 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C 3 sin A sin B sin C 等形式 以解决不同的三角形问题 a 2R b 2R c 2R 2 2 余弦定理 余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcos C 余弦定 理可以变形为 cos A cos B cos C b2 c2 a2 2bc a2 c2 b2 2ac a2 b2 c2 2ab 3 3 面积公式 面积公式 S ABC absin C bcsin A acsin 1 2 1 2 1 2 B a b c r R是三角形外接圆半径 r是三角形内切圆的半径 并可由此计算R abc 4R 1 2 r 4 4 已知两边和其中一边的对角 解三角形时 注意解的情况 已知两边和其中一边的对角 解三角形时 注意解的情况 如已知a b A 则 A为锐角A为钝角或直角 图形 关系 式 a bsin Aa bsin Absin A a b a b a b a b 解的 个数 无解一解两解一解一解无解 5 5 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 2 测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 6 6 实际问题中的常用角 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 如图 1 2 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 2 3 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 西偏东60 等 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 考向探究考向探究 题型题型一一 正弦余弦定理运用正弦余弦定理运用 例例题题1 1 在在 ABC ABC中 已知中 已知a a b b B 45 B 45 求求A A C C和和c c 32 例例题题2 2 在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 且 C B cos cos ca b 2 1 求角B的大小 2 若b a c 4 求 ABC的面积 13 例例题题3 3 14分 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且b2 c2 a2 bc 0 3 1 求角A的大小 2 若a 求bc的最大值 3 3 求的值 cb Ca 30sin 变式变式 1 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 若c b B 120 则a 26 2 1 ABC中 a 8 B 60 C 75 求b 2 ABC中 B 30 b 4 c 8 求C A a 3 在 ABC中 A 60 AB 5 BC 7 则 ABC的面积为 4 已知 ABC中 三个内角A B C的对边分别为a b c 若 ABC的面积为S 且2S a b 2 c2 求tanC的值 5 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若 b c cosA acosC 则cosA 3 6 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 a2 c2 b2 tanB ac 则角B的值为 3 7 在 ABC中 内角A B C对边的边长分别是a b c 已知c 2 C 3 1 若 ABC的面积等于 求a b的值 3 2 若sinC sin B A 2sin2A 求 ABC的面积 题型题型二二 判断三角形形状判断三角形形状 4 例例题题 在 ABC中 a b c分别表示三个内角A B C的对边 如果 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 判断三角形的形状 变式变式 已知 ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c 若a b c成等差数列 且2cos2B 8cosB 5 0 求角B的大小并判断 ABC的形状 题型题型三三 测量距离问题测量距离问题 例例题题 如图所示 为了测量河对岸A B两点间的距离 在这岸定一基线CD 现已测出CD a和 ACD 60 BC D 30 BDC 105 ADC 60 试求AB的长 变式变式 如图 A B C D都在同一个与水平面垂直的平面内 B D为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量 船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75 30 于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 AC 0 1 km 试探究图中B D间距离与另外哪两点间距离相等 然后求B D的距离 5 题型题型四四 测量高度问题测量高度问题 例例题题 如图 山脚下有一小塔AB 在塔底B测得山顶C的仰角为60 在山顶C测得塔顶A的俯 角为45 已知塔高AB 20 m 求山高CD 变式变式 如图所示 测量河对岸的塔高AB时 可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 现测得 BCD BDC CD s 并在点C测得塔顶A的仰角为 求塔高AB 题型题型五五 正 余弦定理在平面几何中的综合应用正 余弦定理在平面几何中的综合应用 例例题题 如图所示 在梯形ABCD中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30 ADB 45 求 BD的长 变式变式 如图 在 ABC中 已知 B 45 D是BC边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求AB的长 6 巩固训练巩固训练 1 在 ABC中 若2cosBsinA sinC 则 ABC一定是 三角形 2 在 ABC中 A 120 AB 5 BC 7 则的值为 C B sin sin 3 已知 ABC的三边长分别为a b c 且面积S ABC b2 c2 a2 则A 4 1 4 在 ABC中 BC 2 B 若 ABC的面积为 则tanC为 3 2 3 5 在 ABC中 a2 c2 b2 ab 则C 6 ABC中 若a4 b4 c4 2c2 a2 b2 则C 7 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若a 1 b c 则B 73 8 某人向正东方向走了x千米 他右转150 然后朝新方向走了3千米 结果他离出发 点恰好千米 那么x的值是 3 9 下列判断中不正确的结论的序号是 ABC中 a 7 b 14 A 30 有两解 ABC中 a 30 b 25 A 150 有一解 ABC中 a 6 b 9 A 45 有两解 ABC中 b 9 c 10 B 60 无解 10 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 并且a2 b b c 1 求证 A 2B 2 若a b 判断 ABC的形状 3 7 11 在 ABC中 cosB cosC 13 5 5 4 1 求sinA的值 2 ABC的面积S ABC 求BC的长 2 33 12 已知a b c是 ABC的三边长 关于x的方程ax2 2 x b 0 22 bc a c b 的两根之差的平方等于4 ABC的面积S 10 c 7 3 1 求角C 2 求a b的值 13 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 已知a b 5 c 且4sin2 7 2 BA cos2C 2 7 1 求角C的大小 2 求 ABC的面积 14 人教A版教材习题改编 如图 设A B两点在河的两岸 一测量者在A所在的同侧河岸边选 定一点C 测出AC的距离为50 m ACB 45 CAB 105 后 就可以计算出A B两点的距离为 8 A 50 m B 50 m C 25 m D m 232 252 2 15 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 的关系为 A B C 90 D 180 16 若点A在点C的北偏东30 点B在点C的南偏东60 且AC BC 则点A在点B的 A 北偏东15 B 北偏西15 C 北偏东10 D 北偏西10 17 一船向正北航行 看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行 半小时后 看见一灯塔在船的南偏西60 另一灯塔在船的南偏西75 则这艘船的速度是每 小时 A 5海里 B 5海里C 10海里 D 10海里 33 18 海上有A B C三个小岛 测得A B两岛相距10海里 BAC 60 ABC 75 则B C间的距离是 海里 19 如图 甲船以每小时30海里的速度向正北方航行 乙船按固定方向匀速直线航行 当甲 2 船位于A1处时 乙船位于甲船的北偏西105 方向的B1处 此时两船相距20海里 当甲船航行2 0分钟到达A2处时 乙船航行到甲船的北偏西120 方向的B2处 此时两船相距10海里 问 2 乙船每小时航行多少海里 9 参考答案参考答案 例题答案例题答案 题型题型一一 正弦 余弦定理正弦 余弦定理 例例题题1 1 解解 B 45 90 且asinB b a ABC有两解 由正弦定理得sinA b Basin 2 45sin3 2 3 则A为60 或120 当A 60 时 C 180 A B 75 c B Cb sin sin 45sin 75sin2 45sin 3045sin 2 2 26 当A 120 时 C 180 A B 15 c B Cb sin sin 45sin 15sin2 45sin 3045sin 2 2 26 故在 ABC中 A 60 C 75 c 或 2 26 A 120 C 15 c 2 26 例例题题2 2 解解 1 由余弦定理知 cosB ac bca 2 222 cosC ab cba 2 222 将上式代入 得 C B cos cos ca b 2 ac bca 2 222 222 2 cba ab ca b 2 整理得 a2 c2 b2 ac cosB ac bca 2 222 ac ac 2 2 1 B为三角形的内角 B 3 2 2 将b a c 4 B 代入13 3 2 b2 a2 c2 2accosB 得b2 a c 2 2ac 2accosB b2 16 2ac ac 3 2 1 1 S ABC acsinB 2 1 4 33 例例题题3 3 解解 1 cosA bc acb 2 222 bc bc 2 2 1 又 A 0 180 A 120 2 由a 得b2 c2 3 bc 3 又 b2 c2 2bc 当且仅当c b时取等号 10 3 bc 2bc 当且仅当c b时取等号 即当且仅当c b 1时 bc取得最大值为1 3 由正弦定理得 2R C c B b A a sinsinsin CRBR CAR cb Ca sin2sin2 30sin sin2 30sin CB CA sinsin 30sin sin CC CC sin 60sin sin 2 3 cos 2 1 2 3 CC CC sin 2 3 cos 2 3 sin 4 3 cos 4 3 2 1 变式变式 1 2 2 解解 1 由正弦定理得 B b A a sinsin B 60 C 75 A 45 b 4 45sin 60sin8 sin sin A Ba 6 2 由正弦定理得sinC 1 4 30sin8sin b Bc 又 30 C 150 C 90 A 180 B C 60 a 4 22 bc 3 3 103 4 解解 依题意得absinC a2 b2 c2 2ab 由余弦定理知 a2 b2 c2 2abcosC 所以 absinC 2ab 1 cosC 即sinC 2 2cosC 所以2sincos 4cos2 2 C 2 C 2 C 化简得 tan 2 2 C 从而tanC 2 tan1 2 tan2 2C C 3 4 5 6 或 3 3 3 3 2 7 解解 1 由余弦定理及已知条件 得a2 b2 ab 4 又因为 ABC的面积等于 3 所以absinC 所以ab 4 2 1 3 联立方程组 解得 4 4 22 ab abba 2 2 b a 2 由题意得sin B A sin B A 4sinAcosA 即sinBcosA 2sinAcosA 11 当cosA 0时 A B a b 2 6 3 34 3 32 当cosA 0时 得sinB 2sinA 由正弦定理得b 2a 联立方程组 解得 2 4 22 ab abba 3 34 3 32 b a 所以 ABC的面积S absinC 2 1 3 32 题型题型二二 判断三角形形状判断三角形形状 例例题题 解方法一解方法一 已知等式可化为 a2 sin A B sin A B b2 sin A B sin A B 2a2cosAsinB 2b2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为 sin2AcosAsinB sin2BcosBsinA sinAsinB sinAcosA sinBcosB 0 sin2A sin2B 由0 2A 2B 2 得2A 2B或2A 2B 即A B或A B ABC为等腰或直角三角形 2 方法二方法二 同方法一可得2a2cosAsinB 2b2sinAcosB 由正 余弦定理 可得 a2b b2a bc acb 2 222 ac bca 2 222 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 ABC为等腰或直角三角形 变式变式 解解 方法一方法一 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 解得cosB 或cosB 舍去 cosB 2 1 2 3 2 1 0 B B 3 a b c成等差数列 a c 2b cosB ac bca 2 222 ac ca ca 2 2 222 2 1 化简得a2 c2 2ac 0 解得a c 又 B ABC是等边三角形 3 方法二方法二 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 12 解得cosB 或cosB 舍去 2 1 2 3 cosB 0 B B 2 1 3 a b c成等差数列 a c 2b 由正弦定理得sinA sinC 2sinB 2sin 3 3 sinA sin A 3 2 3 sinA sin cos Acos 3 2 Asin 3 2 3 化简得sinA cosA sin 1 2 3 2 3 3 6 A A A 6 2 3 C ABC为等边三角形 3 题型题型三三 测量距离问题测量距离问题 例例题题 解 在 ACD中 已知CD a ACD 60 ADC 60 所以AC a BCD 30 BDC 10 5 CBD 45 在 BCD中 由正弦定理可得BC a asin 105 sin 45 3 1 2 在 ABC中 已经求得AC和BC 又因为 ACB 30 所以利用余弦定理可以求得A B两点之间 的距离为AB a AC2 BC2 2AC BC cos 30 2 2 变式变式 解 在 ACD中 DAC 30 ADC 60 DAC 30 所以CD AC 0 1 km 又 BCD 180 60 60 60 故CB是 CAD底边AD的中垂线 所以BD BA 又 ABC 15 在 ABC中 AB sin BCA AC sin ABC 所以AB km ACsin 60 sin 15 32 6 20 同理 BD km 32 6 20 故B D的距离为 km 32 6 20 题型题型四四 测量高度问题测量高度问题 例例题题 解 如图 设CD x m 13 则AE x 20 m tan 60 CD BD BD x m CD tan 60 x 3 3 3 在 AEC中 x 20 x 3 3 解得x 10 3 m 故山高CD为10 3 m 33 变式变式 解 在 BCD中 CBD 由正弦定理得 BC sin BDC CD sin CBD 所以BC CDsin BDC sin CBD s sin sin 在Rt ABC中 AB BCtan ACB stan sin sin 题型题型五五 正 余弦定理在平面几何中的综合应用正 余弦定理在平面几何中的综合应用 例例题题 解 在 ABC中 AB 5 AC 9 BCA 30 由正弦定理 得 AB sin ACB AC sin ABC sin ABC AC sin BCA AB 9sin 30 5 9 10 AD BC BAD 180 ABC 于是sin BAD sin ABC 9 10 同理 在 ABD中 AB 5 sin BAD 9 10 ADB 45 由正弦定理 AB sin BDA BD sin BAD 解得BD 故BD的长为 92 2 92 2 14 变式变式 解 在 ADC中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得cos ADC AD2 DC2 AC2 2AD DC ADC 120 ADB 60 100 36 196 2 10 6 1 2 在 ABD中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 AB sin ADB AD sin B AB 5 AD sin ADB sin B 10sin 60 sin 45 10 3 2 2 26 巩固训练巩固训练 1 等腰 2 3 45 4 5 60 6 45 或135 7 5 3 3 3 6 5 8 或2 9 33 10 1 证证明明 因为a2 b b c 即a2 b2 bc 所以在 ABC中 由余弦定理可得 cosB ac bca 2 222 ac bcc 2 2 a cb 2 ab a 2 2 b a 2B A sin2 sin 所以sinA sin2B 故A 2B 2 解解 因为a b 所以 3 b a 3 由a2 b b c 可得c 2b cosB ac bca 2 222 2 222 34 43 b bbb 2 3 所以B 30 A 2B 60 C 90 所以 ABC为直角三角形 11 解解 1 由cosB 得sinB 13 5 13 12 由cosC 得sinC 5 4 5 3 所以sinA sin B C sinBcosC cosBsinC 65 33 2 由S ABC 得 AB AC sinA 2 33 2 1 2 33 由 1 知sinA 故AB AC 65 65 33 15 又AC AB C BAB sin sin 13 20 故AB2 65 AB 13 20 2 13 所以BC C AAB sin sin 2 11 12 解解 1 设x1 x2为方程ax2 2x b 0的两根 22 bc 则x1 x2 x1 x2 a bc 22 2 a b x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 4 2 22 4 a bc a b4 a2 b2 c2 ab 又cosC ab cba 2 222 ab ab 22 1 又 C 0 180 C 60 2 S absinC 10 ab