实数经典例题及习题

经典例题经典例题 类型一 有关概念的识别类型一 有关概念的识别 1 下面几个数 0 23 1 010010001 3 其中 无理数的个 数有 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 本题主要考察对无理数概念的理解和应用 其中 1 010010001 3 是无理数 故选 C 举一反三 举一反三 变式 1 下列说法中正确的是 A 的平方根是 3 B 1 的立方根是 1 C 1 D 是 5 的平方根的相反数 答案 本题主要考察平方根 算术平方根 立方根的概念 9 9 的平方根是 3 A 正确 1 的立方根是 1 1 是 5 的平方根 B C D 都不正确 变式 2 如图 以数轴的单位长线段为边做一个正方形 以数轴的原点为圆心 正方形对角线长为 半径画弧 交数轴正半轴于点 A 则点 A 表示的数是 A 1 B 1 4 C D 答案 本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系 正方形的边长为 1 对角线为 由圆的定义知 AO A 表示数为 故选 C 变式 3 答案 3 1415 9 3 10 因此 3 9 0 3 10 0 类型二 计算类型题类型二 计算类型题 2 设 则下列结论正确的是 A B C D 解析 估算 因为 所以选 B 举一反三 举一反三 变式 1 1 1 25 的算术平方根是 平方根是 2 27 立方根是 3 答案 1 2 3 3 变式 2 求下列各式中的 1 2 3 答案 1 2 x 4 或 x 2 3 x 4 类型三 数形结合类型三 数形结合 3 点 A 在数轴上表示的数为 点 B 在数轴上表示的数为 则 A B 两点的距离为 解析 在数轴上找到 A B 两点 举一反三 举一反三 变式 1 如图 数轴上表示 1 的对应点分别为 A B 点 B 关于点 A 的对称点为 C 则点 C 表示的数是 A 1 B 1 C 2 D 2 答案 选 C 变式 2 已知实数 在数轴上的位置如图所示 化简 答案 类型四 实数绝对值的应用类型四 实数绝对值的应用 4 化简下列各式 1 1 4 2 3 142 3 4 x x 3 x 3 5 x2 6x 10 分析 要正确去掉绝对值符号 就要弄清绝对值符号内的数是正数 负数还是零 然后根据绝对值 的定义正确去掉绝对值 解 1 1 414 1 4 1 4 1 4 2 3 14159 3 142 3 142 3 142 3 4 x 3 x 3 0 x x 3 x 3 x 2x 3 说明 这里对 2x 3 的结果采取了分类讨论的方法 我们对这个绝对值的基本概念要有 清楚的认识 并能灵活运用 5 x2 6x 10 x2 6x 9 1 x 3 2 1 x 3 2 0 x 3 2 1 0 x2 6x 10 x2 6x 10 举一反三 举一反三 变式 1 化简 答案 类型五 实数非负性的应用类型五 实数非负性的应用 5 已知 0 求实数 a b 的值 分析 已知等式左边分母不能为 0 只能有 0 则要求 a 7 0 分子 a2 49 0 由非负数的和的性质知 3a b 0 且 a2 49 0 由此得不等式组 从而求出 a b 的值 解 由题意得 由 2 得 a2 49 a 7 由 3 得 a 7 a 7 不合题意舍去 只取 a 7 把 a 7 代入 1 得 b 3a 21 a 7 b 21 为所求 举一反三 举一反三 变式 1 已知 x 6 2 y 2z 0 求 x y 3 z3的值 解 x 6 2 y 2z 0 且 x 6 2 0 0 y 2z 0 几个非负数的和等于零 则必有每个加数都为 0 解这个方程组得 x y 3 z3 6 2 3 1 3 64 1 65 变式 2 已知那么 a b c 的值为 答案 初中阶段的三个非负数 a 2 b 5 c 1 a b c 2 类型六 实数应用题类型六 实数应用题 6 有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm 宽为 8cm 的矩形 要作一个面积为这两个 图形的面积之和的正方形 问边长应为多少 cm 解 设新正方形边长为 xcm 根据题意得 x2 112 13 8 x2 225 x 15 边长为正 x 15 不合题意舍去 只取 x 15 cm 答 新的正方形边长应取 15cm 类型七 易错题类型七 易错题 7 判断下列说法是否正确 1 的算术平方根是 3 2 的平方根是 15 3 当 x 0 或 2 时 4 是分数 解析 1 错在对算术平方根的理解有误 算术平方根是非负数 故 2 表示 225 的算术平方根 即 15 实际上 本题是求 15 的平方根 故的平方根是 3 注意到 当 x 0 时 显然此式无意义 发生错误的原因是忽视了 负数没有平方根 故 x 0 所以当 x 2 时 x 0 4 错在对实数的概念理解不清 形如分数 但不是分数 它是无理数 类型八 引申提高类型八 引申提高 8 1 已知的整数部分为 a 小数部分为 b 求 a2 b2的值 2 把下列无限循环小数化成分数 1 分析 确定算术平方根的整数部分与小数部分 首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间 那