马科维茨关于证券

概率论与数理统计概率论与数理统计 大作业大作业 题 目 论马科维茨关于证券及其它风险资产 的均值 方差组合模型 学 院 XXXXXXXXXXX 姓 名 XXX 学 号 XXXXXXXXXXX 专业班级 XXXXXXX 任课教师 XX 2016 年 11 月 3 日 2 论马科维茨关于证券及其它风险资产的均值论马科维茨关于证券及其它风险资产的均值 方差组合模型方差组合模型 一 一 关于马科维茨关于马科维茨 哈里马科维茨 Harry M Markowitz 1927 年 8 月 24 日生于美国 伊利诺伊州 于 1950 年 1952 年在芝加哥大学连续获得了经济学硕士 博士学位 马科维茨一生著作颇丰 有专著及合著 7 本 重要理论文章 30 余篇 研究范围涉及金融微观分析及数学 计算机在金融经济学方面 的应用 他的理论也曾影响了他的同时代学者 由于其出色的 开创性 的工作 马科维茨与威廉夏普及默顿米勒分享了 1990 年诺贝尔经济学奖 二 二 马科维茨模型的摘要 马科维茨模型的摘要 Markowitz 表明 在一定的条件下 一个投资者的投资组合选择可以简 化为平衡两个因素 即投资组合的期望回报及其方差 风险可以用方差 来衡量 通过分散化可以降低风险 投资组合风险不仅依赖不同资产各 自的方差 而且也依赖资产的协方差 这样 关于大量的不同资产的投 资组合选择的复杂的多维问题 就被约束成为一个概念清晰的简单的二 次规划问题 即均值 方差分析 三 三 马科维茨模型的背景 马科维茨模型的背景 证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题 即预期 收益与风险 那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指 标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题 正是在这样的背景 下 在 50 年代和 60 年代初 马可维兹理论应运而生 1952 年 马科维茨在 金融杂志 上发表题为 资产组合选择 投资的有效分散化 一文 该文堪称现代金融理论史上的里程碑 标志 着现代组合投资理论的开端 该论文最早采用风险资产的期望收益率 均值 和用方差 或标准差 代表的风险来研究资产组合和选择问题 尽管投资管理人和经济学家早就意识到了把收益和风险同时考虑的 必要性 然而他们却忽略了投资多样化和 预期收益最大化之间的矛盾 3 马科维茨提出了 均值 方差 模型 通过均值方差分析来确定最有效的 证券组合 在某些限定的约定条件下确定并求解投资决策过程中资金在 投资对象中的最优分配比例问题 马科维茨继承传统投资组合关于收益 风险权衡的原则 通过对证券 收益率分布的分析 合理假设证券收益率服从正态分布 因而能够以均 值 方差这两个数字特征来定量描述单一证券的收益和风险 他进而考 察投资组合收益率的均值和方差 组合收益率的均值是成分证券收益率 均值的简单加权平均 但是组合收益率的方差却不再是成分证券收益率 方差的简单加权平均 正是组合方差形式的巨大变化 使他发现了投资 组合可以减小方差 分散风险的奥秘 马科维茨在均值 方差分析框 架下 推导出证券组合的上凸的有效边界 也就是决策所需的机会集 有了有效边界 结合效用分析中下凸的无差异曲线 即决策所需的偏好 函数 最优组合就被确定在两条曲线的切点处 四 四 马科维茨模型的假设条件马科维茨模型的假设条件 该理论依据以下几个假设 1 投资者在考虑每一次投资选择时 其依据是某一持仓时间内的证券收益 的概率分布 2 投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险 3 投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益 4 在一定的风险水平上 投资者期望收益最大 相对应的是在一定的收益 水平上 投资者希望风险最小 根据以上假设 马可维兹确立了证券组合预期收益 风险的计算方法和有 效边界理论 建立了资产优化配置的均值 方差模型 目标函数 min 2 rp xixjCov ri rj rp xiri 限制条件 1 Xi 允许卖空 4 或 1 Xi xi 0 不允许卖空 其中 rp 为组合收益 ri 为第 i 只股票的收益 xi xj 为证券 i j 的 投资比例 2 rp 为组合投资方差 组合总风险 Cov ri rj 为两个证券 之间的协方差 该模型为现代证券投资理论奠定了基础 上式表明 在限 制条件下求解 Xi 证券收益率使组合风险 2 rp 最小 可通过朗格朗日目 标函数求得 其经济学意义是 投资者可预先确定一个期望收益 通过上 式可确定投资者在每个投资项目 如股票 上的投资比例 项目资金分配 使其总投资风险最小 不同的期望收益就有不同的最小方差组合 这就 构成了最小方差集合 五 五 实证分析实证分析 数据的选取 本文选取2011 年下半年在上海证券交易所上市的6 支股票 用股票的 日收盘价格来计算对数收益率 所选股票为 浦发银行 600000 白 云机场 600004 武钢股份 600005 东风汽车 600006 中 国国贸 600007 首创股份 600008 为避免股票的派息 配股对数据造成的影响 在选取样本时对于样本股票 进行了除权出息处理 每支股票计算日收益率其计算公式如下 rit pit pi t 1 pi t 1 其中 pit是第i 支股票在第t 天的收盘价 pi t 1 是第i 支在第t 1天的收 盘价 结果分析 运用MATLAB 对数据进行建模 得到结果如下 1 当期望收益为0 05 时 标准差为0 14308 各个股票的投资权重为 10 43 18 5278 12 2395 3 1542 11 7011 9 7136 2 当期望收益为0 12 时 标准差为0 28034 各个股票的投资权重为 25 1875 43 9045 29 996 7 7531 27 6656 23 1418 通过以上6 支股票的相关数据 分别通过求解最优化问题求出均值 方 差组合的有效前沿 在给定样本数据相同的情况下 假定不同的期望收益 率水平P 利用各只股票的收益率 方差数据 使用MATLAB 求解最优 5 化问题 得到模型的21 个收益及标准差的组合点 以模型标准差为横轴 收益为纵轴描绘出的有效前沿见图1 图 1 均值 方差模型有效前沿 从均值 方差模型的有效前沿图可以看出随着期望收益的增加 标准 差也是在增加的 这说明期望的收益越高 投资所要承担的风险越高 由于方差并不能全面来权衡投资组合期望收益率与风险之间的关系 因而马克维茨模型在对风险最小化的同时 组合收益率也相对较小 同时 尽管均值 方差在理论上比较完善 但由于计算量大 在实践中有很大的局 限性 六 六 马科维茨模型的意义马科维茨模型的意义 马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风险的决定因素 而且 更为重要的是还揭示了 资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定 这 一重要结论 即资产 单个资产和组合资产 由其风险大小来定价 单个 资产价格由其方差或标准差来决定 组合资产价格由其协方差来决定 马 可维茨的风险定价思想在他创建的 均值 方差 或 均值 标准差 二维空间 中投资机会集的有效边界上表现得最清楚 下文在 均值 标准差 二维空 6 间中给出投资机会集的有效边界 图形如下 上面的有效边界图形揭示出 单个资产或组合资产的期望收益率由风险 测度指标标准差来决定 风险越大收益率越高 风险越小收益率越低 风 险对收益的决定是非线性 二次 的双曲线 或抛物线 形式 这一结论 是基于投资者为风险规避型这一假定而得出的 具体的风险定价模型为 5 其中 且 A B C D 为常量 R 表示 N 个证券收益率的均值 期望 列向量 为资产组合协方差矩阵 1 表示分量为 1 的 N 维列向量 上标 T 表示向量 矩阵 转置 公式 5 的推导过程 七 七 马科维茨模型的优缺点马科维茨模型的优缺点 马可维茨的风险定价思想和模型具有开创意义 奠定了现代金融学 投 资学乃至财务管理学的理论基