第一章 练习题

第一部分 函数的极限与连续 第一节 函数 1 求下列函数的自然定义域 1 ln 31 yx 2 1 arcsin 2 x y 3 2 1 2 1 yx x 2 下列各题中的两个函数是否相同 为什么 1 3433 1yxxyx x 2 2 lg 2lgyxyx 3 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非偶函数又非奇函数 1 22 1yxx 2 1ln 2 xxy 3 sincos1yxx 4 指出下列函数在指定区间上是否有界 1 0 x x y 1 arctan 2 xxysin 2 x 3 xxycos 10000 0 x 5 求下列函数的反函数 1 21 x y 2 3 1yx 3 1 ln 2 yx 6 设 求 2 2 11 fxx xx xf 7 收音机每台售价为 90 元 成本为 60 元 厂方为鼓励销售商大量采购 决定凡是订购量超过 100 台以上的 每多订购 1 台 售价就降低 1 分 但最低价为每台 75 元 1 将每台的实际售价 表示为订购量 x 的函数 2 将厂方所获的利润表示成订购量 x 的函数 3 某一商行订购pP 了 1000 台 厂方可获利润多少 第二节 数列极限 1 观察下列数列当时的变化趋势 哪些数列有极限 哪些数列没有极限 对收敛数列 写n 出它们的极限 1 2 1 2 n n u 1 1 n n 3 4 1 n un n 1 n un 2 利用数列极限的定义证明 0cos 1 lim nn n 3 若 证明 并举列说明 如果数列有极限 但未必有极lim n n ua lim n n ua n x n x 限 第三节 函数极限 1 设函数 当时 的极限是否存在 说明理由 2 10 00 210 xx f xx xx 0 x xf 2 证明 若 则 2 x f x x 0 lim 0 xf x 第四节 无穷小与无穷大 1 下面各题中哪个是无穷大 哪个是无穷小 1 当 2 当 3 当 x e 1 0 x x e 1 0 x 21 x 0 x 2 函数在上是否有界 当时 是否为无穷大 为什么 cosf xxx x f x 3 求函数的图形的渐近线 2 4 2 f x x 第五节 极限运算法则 1 计算下列极限 1 2 arctan lim x x x 3 3 0 4 lim x xx xx 3 4 22 0 lim h xhx h 2 11 lim 1 2 x xx 5 6 2 2 4 68 lim 54 x xx xx 2 1 12 lim 11 x xx 7 8 2 limarctan 1 x x x x 4 213 lim 22 x x x 2 设存在 求 1 lim x f x 2 1 32 lim x f xxxf x f x 3 设 求 43 32 12 lim2 1 x a xbx xx a b 第六节 极限存在准则和两个重要极限 1 求下列极限 1 2 0 sin5 lim sin7 x x x 0 1 cos2 lim sin x x xx 3 4 5 lim 1 x x x lim 1 x x x x 5 6 2 1sin lim 2 1 xx x x0 0 lim 1 cos x x x 7 x x x 1 0 sin1 lim 8 和 0 2 lim 3 x x x x 2 lim 3 x x x x 2 设 求 0cos3 0 3tan xx x x x xf lim 0 xf x 3 证明 222 111 lim 0 12 x nnnn 第七节 无穷小比较 1 当时 下列函数哪些是的高阶无穷小 哪些是同阶无穷小 等价无穷小 并指出关于0 x x 的阶数 x 1 2 2 sin2xx 3 tan x 3 4 2 cos 22 x 1 cos2x 2 利用等价无穷小求下列极限 1 2 0 tan3 lim sin6 x x x 2 0 ln 12 lim arcsin x x xx 3 4 3 0 11 lim arctan x x x 0 1 cos lim sin x x xx 5 6 为正整数 3 0 tansin lim sin x xx x 0 sin lim sin n m x x x m n 第八节 函数的连续性 1 研究下列函数在点的连续性 若是间断的 指出间断点的类型 0 x 1 连续点 2 可去间断点 1 sin 0 1 0 x x f xx x 2 1 sin 0 2 0 xx fxx x 2 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断点 则补充或改变 函数的定义使它连续 1 2 在点 跳跃间断点 2 2 1 1 2 32 x yxx xx 1 1 3 1 xx y xx 1x 3 设函数 应为何值时 在其定义域上为连续函数 2 1 0 1 cos 0 2 x ex f x kx x x k f x 4 讨论函数的间断点 并说明其类型 若可去 则补充定义 使其在该点连续 1 1 2 2 x x xf 5 求下列极限 1 2 2cot 0 lim 1 3tan x x x 2 lim arctan x x ex 3 3 1 0 1tan lim 1 sin x x x