浙教版初中数学圆的知识点综合

一 圆的概念一 圆的概念 集合形式的概念 1 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2 圆的外部 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集 合 3 圆的内部 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集 合 轨迹形式的概念 1 圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心 定长为 半径的圆 补充 补充 2 垂直平分线 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平 分线 也叫中垂线 3 角的平分线 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 4 到直线的距离相等的点的轨迹是 平行于这条直线且到这条直线的 距离等于定长的两条直线 5 到两条平行线距离相等的点的轨迹是 平行于这两条平行线且到两 条直线距离都相等的一条直线 二 点与圆的位置关系二 点与圆的位置关系 1 点在圆内 点在圆内 dr C 2 点在圆上 点在圆上 dr B 3 点在圆外 点在圆外 dr A 三 直线与圆的位置关系三 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相离 无交点 dr 2 直线与圆相切 有一个交点 dr 3 直线与圆相交 有两个交点 dr d r d r r d r d d C B A O 四 圆与圆的位置关系四 圆与圆的位置关系 外离 图 1 无交点 dRr 外切 图 2 有一个交点 dRr 相交 图 3 有两个交点 RrdRr 内切 图 4 有一个交点 dRr 内含 图 5 无交点 dRr 周 1 r R d 周 3 rR d 五 垂径定理五 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另 一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道 其中 2 个即可推出其它 3 个结论 即 是直径 弧弧 弧弧ABABCD CEDE BC BDAC AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OABCD 弧弧AC BD 周 2 r R d 周 4 r R d 周 5 r R d O E DC B A O C D A B 六 圆心角定理六 圆心角定理 圆心角定理 同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对的弧相等 弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理 即上述四个结论中 只要知道其中的 1 个相等 则可以推出其它的 3 个结论 即 AOBDOE ABDE 弧弧OCOF BA BD 七 圆周角定理七 圆周角定理 1 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即 和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ACB AB 2AOBACB 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对 的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周角OC D CD 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧是半圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 或 OAB90C 是直径90C AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角 三角形 即 在 中 ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 注 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边上的中线等 于斜边的一半的逆定理 F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O 八 圆内接四边形八 圆内接四边形 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 外角等于它的内对角 即 在 中 O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD 180BD DAEC 九 切线的性质与判定定理九 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端MNOA MNOA 是 的切线MNO 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推 出最后一个 十 切线长定理十 切线长定理 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这点和圆 心的连线平分两条切线的夹角 即 是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA 十一 圆幂定理十一 圆幂定理 E D C B A NM A O P B A O P O D C B A 1 相交弦定理相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘积相等 即 在 中 弦 相交于点 OABCDP PA PBPC PD 2 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条 线段的比例中项 即 在 中 直径 OABCD 2 CEAE BE 3 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即 在 中 是切线 是割线OPAPB 2 PAPC PB 4 割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的 两条线段长的积相等 如上图 即 在 中 是割线OPBPE PC PBPD PE 十二 两圆公共弦定理十二 两圆公共弦定理 圆公共弦定理 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦 如图 垂直平分 12 OOAB 即 相交于 两点 1 O 2 OAB 垂直平分 12 OOAB 十三 圆的公切线十三 圆的公切线 两圆公切线长的计算公式 1 公切线长 中 12 Rt OO C 2222 1122 ABCOOOCO 2 外公切线长 是半径之差 内公切线长 是半径之和 2 CO 2 CO OE D C B A D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O 十四 十四 圆内正多边形的计算 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在中进行 OABCRt BOD 1 3 2OD BD OB 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六边形 同理 六边形的有关计算在中进行 Rt OAB 1 3 2AB OB OA 十五 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式十五 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式 1 扇形 1 弧长公式 180 n R l 2 扇形面积公式 2 1 3602 n R SlR 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积nRlS 2 圆柱 1 圆柱侧面展开图 2SSS 侧表底 2 22rhr 2 圆柱的体积 2 Vr h 2 圆锥侧面展开图 1 SSS 侧表底 2 Rrr 2 圆锥的体积 2 1 3 Vr h 五 圆有关问题辅助线的常见作法五 圆有关问题辅助线的常见作法 E CB AD O B A O Sl B A O 周 周 周 周 周 周 周 周 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O 半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连 要想证