模拟卷浅谈高考数学之圆锥曲线与方程

1 Using the research method of literature means of observation behavioral approach conceptual analysis and the pattern of information seeking of local and overseas were analyzed and compared Basic pattern strategies of technology information seeking 浅谈高考数学之 圆锥曲线与方程 嘉兴市秀州中学 屠新跃 一 课程标准中的圆锥曲线与方程一 课程标准中的圆锥曲线与方程 1 圆锥曲线 1 了解圆锥曲线的实际背景 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 经历从具体情境中抽象出椭圆 抛物线模型的过程 掌握它们的定义 标准方程 几 何图形及简单性质 3 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道双曲线的有关性质 4 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的几何问题 直线与圆锥曲线的位置关系 和实 际问题 5 通过圆锥曲线的学习 进一步体会数形结合的思想 2 曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例 了解曲线与方程的对应关系 进一步感受数形结合的 基本思想 二 二 2009 年各地高考 理科 中的圆锥曲线与方程年各地高考 理科 中的圆锥曲线与方程 卷别题号题型主要考查的知识点 4选择题双曲线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 12选择题椭圆的几何性质及向量 全国卷 21解答题抛物线与圆的关系及导数的应用 9选择题抛物线的定义 直线与抛物线的位置关系 11选择题双曲线的几何性质 全国卷 21解答题椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系及向量 8选择题直线与抛物线的位置关系 12填空题椭圆的定义及解三角形 北京卷 19解答题双曲线的定义 性质 与直线的位置关系及圆的切线 9选择题抛物线的定义 几何性质天津卷 21解答题椭圆的方程 几何性质 直线的方程 圆的方程 15填空题双曲线的几何性质及解三角形重庆卷 20解答题椭圆几何性质 直线与椭圆 轨迹方程及向量 不等式 9选择题双曲线的几何性质及向量浙江卷 21解答题椭圆的方程 直线与抛物线 直线与椭圆的位置关系 13填空题抛物线的定义 直线与抛物线的位置关系福建卷 19解答题直线 圆 椭圆 直线与椭圆的位置关系 3选择题双曲线的几何性质安徽卷 20解答题直线与椭圆的位置关系及数列 16填空题双曲线的几何性质辽宁卷 20解答题椭圆的方程 直线与椭圆的位置关系 江苏卷13填空题直线方程 椭圆方程及其几何性质 2 22解答题直线 抛物线方程 直线与抛物线关系 两点距离公式 9选择题双曲线的几何性质 直线与抛物线的位置关系山东卷 22解答题椭圆方程 直线与圆 直线与椭圆及函数与不等式 11填空题椭圆的定义 方程 几何性质广东卷 19解答题直线与抛物线 直线与圆 4选择题双曲线的几何性质 点到直线距离公式 13填空题直线与抛物线的位置关系 宁夏 海南卷 20解答题椭圆的方程 性质 求轨迹方程 12填空题双曲线的几何性质湖南卷 20解答题求轨迹方程 直线与椭圆 直线与抛物线的位置关系 7选择题双曲线与椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系湖北卷 20解答题抛物线的定义和几何性质 直线与抛物线的位置关系 7选择题双曲线的几何性质及向量 9选择题抛物线的定义与几何性质 四川卷 20解答题椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 6选择题椭圆的定义及解直角三角形江西卷 21解答题直线方程 圆方程 求轨迹方程 7选择题椭圆的方程与几何性质陕西卷 21解答题双曲线的方程与几何性质及函数 9填空题椭圆的定义 方程及向量上海卷 21解答题双曲线的几何性质 直线方程及两平行线间的距离 纵观 2009 年全国十九份各省 市的数学高考试题 对圆锥曲线与方程的考查 题量以一个 填空或选择题 再加一个解答题 即 1 小 1 大 的有十六份 而 2 小 1 大的只有全国卷 和北京卷三份 考查的内容主要是圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 的定义 标准方程 图形及几何性 质 直线与圆锥曲线的位置关系 主要是相交和相切 或与向量 三角 函数 不等式等 的结合 及求动点轨迹 方程 等 从解题方法上看 小题 选择题 填空题 侧重于几何法 以形助数 大题 解答题 则 重点考查坐标法 用方程来解决 以数助形 两者 相得益彰 也使得课标中指出的 体 会数形结合的思想 得到了很好的体现 而小题与大题对内容的考查又是相互补充 即大题若是椭圆的问题 则小题必是双曲线或 抛物线的问题了 三 浙江省考试说明 理科 中的圆锥曲线与方程三 浙江省考试说明 理科 中的圆锥曲线与方程 一 2010 年考试说明中的圆锥曲线与方程 1 圆锥曲线 1 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 掌握椭圆 抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 3 了解双曲线的定义 掌握双曲线的几何图形和标准方程 理解它的简单几何性质 4 能解决直线与的椭圆 抛物线位置关系等问题 5 理解数形结合的思想 6 了解圆锥曲线的简单应用 2 曲线与方程 3 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 二 与 2009 年考试说明的比较 1 对圆锥曲线与方程的内容 2009 2010 这两年考试说明的条目数量没有变化 其中圆锥 曲线 1 2 5 6 与曲线与方程的要求完全相同 2 在 2009 年考试说明中的 3 4 两条是这样的 3 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 4 能用坐标法解决简单的直线与椭圆 抛物线的位置关系等问题 对照 2010 年考试说明可以发现 3 中改变为 掌握双曲线的几何图形和标准方程 理解它的简单几何性质 将去年的 了解 知道 提升到今年的 掌握 理解 可 谓意味深远 而对于 4 把去年考试说明 坐标法 三个字删掉了 3 由以上分析 可以推测 双曲线的考查要求较去年会有提高 要适当加深此内容的复习 当然不大可能出现在大题 应还是会在小题中 但难度定会加大 极有可能作为选择或填 空题中的压轴题 至于没有了 坐标法 这三个字 不应理解为要丢掉坐标法这个解析几 何的 灵魂 而是要兼顾几何图形 几何性质 几何直观及平面几何等的知识 四 部分试题分析四 部分试题分析 一 双曲线部分 例 1 2009 湖南卷理 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有 一个内角为 则双曲线 C 的离心率为 0 60 解 虚轴的一个端点 一个焦点及原点组成直角三角形 且一个内角是 两直角边分 0 30 别是 得tan30 b c 3cb 所以2ab 离心率cb 2 6 2 3 a c e 例 2 2009 辽宁卷理 已知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上 的动点 则PFPA 的最小值为 解 右焦点为 由定义得 而 0 4 F42 aPFPF5 AFPFPA 两式相加得 当且仅当三点共线时取到最小值为9 PFPA FPA9 点评 前两题考查的是双曲线的定义与离心率 但主要借助平面几何的知识 例 3 2009 全国卷 理 设双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线与抛物线 0 0 ba 相切 则该双曲线的离心率等于 C 1 2 xy A 3 B 2 C 5 D 6 解法 1 设切点 00 P xy 则切线的斜率为 0 0 2 x x yx 由题意有 0 0 0 2 y x x 又 4 2 00 1yx 得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 解法 2 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 2 40 b a 2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 点评 通过双曲线渐近线和离心率 考查直线与抛物线相切的情形 可用两种常规方法解 决 二 椭圆 抛物线 例 4 2009 浙江卷理 已知椭圆的右顶点为 A 1 0 过 0 1 2 2 2 2 1 ba b x a y C 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 1 C 求椭圆的方程 解略 椭圆 1 C 1 C1 4 2 2 x y 设点 P 在抛物线上 在点 P 处的 2 2 RhhxyC 2 C 切线与交于点 M N 当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时 求的最小 1 Ch 值 不妨换个角度思考 由于 设 显然 点 P 处切线的斜率 P 处切线方程 xy2 2 httP 0 ttk2 线段 AP 中点的横坐标是 问题转化为探求与 的关系 httxty 2 2 2 1t ht 设点 则 由已知 M N 既在椭圆 11 yxM 22 yxN 12 12 xx yy k txx 1 21 上 又在点 P 处的切线上 得 44 2 1 2 1 yx44 2 2 2 2 yx 将 得httxty 2 11 2httxty 2 22 2 4 12121212 yyyyxxxx 4 1212 yykxx 这就要求式子与 的关系 得 2 1 4 12 yytt 12 yy ht A y x P N M O 5 再代入上式得 hthttthtxxtyy2222 1 222 2 22 1212 求这个函数的值域 先要求 的取值范围 即寻求关于 的一个不等量关 1 1 t thtt 系 根据 MN 的中点 E 必须在椭圆内 由上得 E 则 E 点满足 1 1 2 1 t t 代入得 设44 22 yx4 1 2 2 1 2 2 t t t t4 1 2 1 2 t t t t 则 由得 又因为 t tu 1 1 uh042 2 uu5151 u 求得 则 所以的最小值为 2 1 t tu251 u51 hh1 点评 处理解析几何题 只有在 计算 上的功夫还不够 而要根据具体问题及题意边做 边调整 寻找合适的突破口和切入点 要随时调用函数 不等式等的知识 例 5 2009 广东卷 理 已知曲线 2 C yx 与直线 20l xy 交于两点 AA A xy和 BB B xy 且 AB xx 记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所 围成的平面区域 含边界 为D 设点 P s t是L上的任一点 且点P与点A和点B均 不重合 1 若点Q是线段AB的中点 试求线段PQ的中点M的轨迹方程 2 若曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与D有公共点 试求a的最小值 解 1 联立 2 xy 与2 xy得2 1 BA xx 则AB中点 2 5 2 1 Q 设线段 PQ的中点M坐标为 yx 则 2 2 5 2 2 1 t y s x 即 2 5 2 2 1 2 ytxs 又点 P在曲线C上 2 2 1 2 2 5 2 xy 可得 8 11 2 xxy 又点P是L上的任一点 且不与点A和点B重合 则2 2 1 21 x 即 4 5 4 1 x 中点M的轨迹方程为 8 11 2 xxy 4 5 4 1 x 2 曲线 222 51 240 25 G xaxyya 即圆E 25 49 2 22 yax 其圆心坐标为 2 aE