幂指函数极限的计算

题题 目 目 幂指函数极限的计算 学学 院 院 数学与信息科学学院 姓姓 名 名 何晓岭 指导教师 指导教师 魏喜凤 毕 业 论 文 I 幂指函数极限的计算幂指函数极限的计算 摘要摘要 函数极限是 数学分析 中的一个重点知识 也是微积分学的基础 因 此 掌握好函数极限的求解方法是学好 数学分析 的关键 而在函数极限的 计算中 有关幂指函数极限计算的题目类型多 难度大且灵活多变 为此 首先 给出了幂指函数的定义 其次讨论幂指函数确定式 型 和不确定式 型 B A 0 0 型 型 的极限问题 最后整理总结了幂指函数极限的计算方法 并通过1 0 实例说明这些方法的实用性 关键词关键词 幂指函数 极限 确定式 不确定式 计算方法 II The Calculation of the Power Exponent Function Limit Abstract The limit function is a key knowledge of mathematical analysis and calculus based therefore it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function But in the calculation of the function limit the subjects of calculation about power exponent function are various difficult and flexible so we first give the definition of the exponential function followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type finally summarize the methods of power exponential function limit and explain the practicability of these methods by actual examples Key Words power exponent function limit determine type uncertain type methods to solve problem III 目目 录录 1 引言 1 2 幂指函数的定义 1 2 1 指数函数 1 2 2 幂函数 1 2 3 幂指函数 1 3 幂指函数的极限 1 3 1 确定式 3 3 2 不确定式 3 4 幂指函数极限的计算方法 3 4 1 直接法 3 4 2 重要极限 4 4 3 对数解法 5 4 4 等价无穷小代换 8 5 结论 9 参考文献 9 致谢 11 幂指函数极限的计算 0 1 1 引言引言 函数极限问题是 数学分析 中的一个重点知识 是微积分学的基础 因 此 掌握好函数极限的求解方法是学习中的关键一环 使许多问题得以解决 其 中 幂指函数极限的计算是难点 因为幂指函数的运算题目类型多 而且技巧 性强 灵活多变 对于幂指函数求极限问题 许多学生不能对各种题型加以区分 从而找不到快速正确的解题方法 影响做题的正确性 分析发现 这一问题的原 因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻 把幂指函数与幂函数 指 数函数混为一谈 对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解 题技巧 因此 对幂指函数极限的计算问题 有必要给出幂指函数的定义 讨论幂 指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结 让更多的学习者很好地认识幂 指函数 增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力 从而提高解题的正确性及效率 提高分析问题的能力和解决问题的能力 2 2 幂指函数的定义幂指函数的定义 2 12 1 指数函数指数函数 一般地 形如函数叫作指数函数 其中是自变量 0 1 x ya aa x 定义域为 R 2 22 2 幂函数幂函数 一般地 形如函数叫作幂函数 其中是自变量 定义域为 yxxR x 0 2 32 3 幂指函数幂指函数 设 是定义在区域 D 上的两个函数 形如的函数 u x v x v xyu x 叫作区域 D 上的幂指函数 其中 0u x 以上给出指数函数 幂函数以及幂指函数的定义 目的是更好地理解幂指 函数 不能将幂指函数与指数函数 幂函数混为一谈 幂指函数具有幂函数和 指数函数的两重特性 3 3 幂指函数的极限幂指函数的极限 对自变量情形下的幂指函数的极限问题进行探讨 0 xx x v xyu x 求幂指函数的极限时 因为 可以把它改写为指数函数 0u x 石家庄学院毕业论文 1 再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限 ln v x v xu x yu xe 其中假设所写出的极限存在 这样 就把 0 00 lim ln ln lim lim xx v xu x v xv xu x xxxx u xee 求幂指函数的极限转化为求极限 所以 很自然地考 0 lim v x xx u x 0 lim ln xx v xu x 察和 而对于极限和 若至少有一个不存在 0 lim xx u x 0 lim xx v x 0 lim xx u x 0 lim xx v x 不包括极限为无穷的情况 则幂指函数的极限问题极为复杂 v xyu x 且在实际问题中几乎不出现 没有其研究意义 因此 假设 0 lim 0 xx u xA 包括 A B 为无穷的情形 下面 将给出讨论 0 lim xx v xB 1 则 01 AB 0 lim v x B xx u xA 2 则 01 AB 0 0 lim B v x B xx BAB u x B AB 3 则 1 AB 0 lim 11 v xBB xx u xA 4 时 是不确定式 1 AB 0 lim v x xx u x 5 则 1 AB 0 lim v x B xx u xA 6 则 1 AB 0 lim 0 B v x B xx BAB u x B AB 7 时 是不确定式 0AB 0 lim v x xx u x 8 时 0AB 0 lim v x B xx u xA 时 0AB 0 lim v x B xx u xA 9 则 AB 0 lim v x B xx u xA 10 则 AB 0 lim 0 v xB xx u xA 11 时 0 0AB 0 lim 0 v xB xx u xA 时 0 0AB 0 lim v x B xx u xA 12 则 0 AB 0 lim 00 v xB xx u xA 幂指函数极限的计算 2 13 则 0 AB 0 lim 0 v xB xx u xA 14 时 是不确定式 0 0AB 0 lim v x xx u x 上述情况 4 记作 型 7 记作 型 14 记作 型 型 1 0 0 01 型 型三种形式为幂指函数极限问题的不确定式 其余情况为幂指函数 0 0 0 极限问题的确定式 自变量时 幂指函数的极限类型与的极限类型有相同的情x 0 xx 况 就不再列出 注 1 若为小于 1 的非负数 而为无穷时 则极限并不是不AB 0 lim v x xx u x 确定式 其中包括易误认为是不定式的型 因为 当指数趋于无穷大时有0 而当指数趋于负无穷大时有 00 0 注 2 对于幂指函数的不确定式极限问题 它的底数部分与 v xyu x u x 指数部分的极限过程是同步进行的 也就是说 它是一个整体的极限 而 v x 不能简单地理解为其底函数部分与指数函数部分分别单独求极限 更不能有求 极限的先后次序 4 4 幂指函数极限的计算方法幂指函数极限的计算方法 4 14 1 直接法直接法 直接法求极限主要用于幂指函数极限的确定式类型 当幂指函数的底数部 分和指数部分二者的极限都存在 且底函数的极限大于零时 即当 u x B 为正常极限 时 则利用指数函数的连续性 0 lim 0 xx u xA 0 lim xx v xB 得 0 00 lim lim lim xx v x v xB xxxx u xu xA 有一道求极限的问题 如果对底数部分和指数部分分别求极 1 2 1 lim 3 x x x x 限 则由 1 的任何次幂都等于 1 得 11 lim1 lim 32 xx xx x 的解法是错误的 错误之一在于对幂指函数底数和指数部分 1 2 1 lim 11 3 x x x x 石家庄学院毕业论文 3 分别求极限 不理解只有当 B 为正常极限 时 0 lim 0 xx u xA 0 lim xx v xB 才可以用直接法求极限 错误之二在于认为不管幂的值为多少都有 其 11 实 1 的任何次幂都等于 1 指的是 1 的有限次幂 下面结合实例理解直接法求幂指函数的极限 例例 4 1 14 1 1 求极限 1 1 0 1 lim 2 x x x x x 解解 因为 为正常极限 0 11 lim0 22 x x x 0 1 lim1 1 x x x 所以用直接法就得到极限 1 1 0 11 lim 22 x x x x x 例例 4 1 24 1 2 求极限 1 1 1 1 lim 2 x x x x x 解解 因为 为正常极限 1 12 lim0 23 x x x 11 111 limlim 121 xx x xx 所以用直接法就得到极限 1 1 1 12 lim 23 x x x x x 4 24 2 重要极限重要极限 利用重要极限求极限主要针对幂指函数极限问题的不确定式型 1 1 1 lim 1 x x e x 4 2 1 等价于同时成立以下两个极限 1 lim 1 x x e x 1 lim 1 x x e x 2 将 4 2 1 可变型为 1 0 lim 1 x x xe 4 2 2 3 在 4 2 1 的基础上可以用下列方法解决许多型的不确定式问题 1 幂指函数极限的计算 4 就是对于的情况 有lim 0 lim xaxa f xg x 1 lim lim 1 lim 1 xa f x g x g xf xf x g x xaxa f xf xe 4 2 3 于是只要计算 即可 lim xa f x g x 例例 4 2 14 2 1 求极限 1 0 1 lim 1 x x x x 解解 这是一个型不确定式极限 可用重要极限求解 1 将 化为 则指数部分需出现 1 1 x f x x 2 1 1 x f x x 1 2 x x 所以利用重要极限得 112 2 21 00 12 lim lim 1 11 x xxx xx xx e xx 例例 4 2 24 2 2 求极限 2 2 2 1 lim 1 x x x x 解法解法 1 1 将括号内的分子分母同时除以后即可利用 4 2 1 如下求极限 2 x 2 2 1 2 2 222 111 lim lim 1 1 1 x x xx x e ee xxx 解法解法 2 2 这是一个型不确定式极限 用 4 2 3 的方法就得到1 2 22 2 2 2 lim 2 1 22 12 lim lim 1 11 x x xx x xx x ee xx 4 34 3对数解法对数解法 对幂指函数 等式两边可以同时取对数 便得到 0 v x yu xu x 通过求的极限 lnln ln v x yu xv xu x ln y 00 lim lnlim ln xxxx yv xu x 便可以得到幂指函数的极限 0 00 lim ln ln lim lim xx y v xy xxxx u xee 对数解法解决幂指函数极限的不确定式型 型 型 这三种不确定 0 01 0 式极限一般经过对数变换后 均可化为型或型的不定式极限 我们在题目 0 0 石家庄学院毕业论文 5 中解决不定式极限型 型用到更多的方法是洛必达法则 0 0 我们在转化为型或型不定式极限后利用洛必达法则求极限时 应注意 0 0 以下几点内容 定理定理 4 3 14 3 1 1 若函数和满足 f x g x 00 lim 0lim 0 xxxx f xg x 和在的某空心邻域内可导 且 f x g x 0 x 0 Ux 0g x 可为实数 也可为 0 lim xx fx A g x A 则 00 limlim xxxx f xfx A g xg x 定理定理 4 3 24 3 2 1 若函数和满足 f x g x 00 lim lim xxxx f xg x 和在的右邻域 内可导 且 f x g x 0 x 0 Ux 0g x A 可为实数 也可为 0 lim xx fx A g x 则 00 limlim xxxx f xfx A g xg x 以上以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛必达法则 注 1 在定理 4 3 1 中 如果仍是型不定式极限 只要有可能 0 lim xx fx g x 0 0 我们可再次利用洛必达法则 即考察极限是否存在 这时 和 0 lim xx fx g x fx 在的某邻域须满足相应的条件 1 定理 4 3 2 中 若有可能 也可再 g x 0 x 次利用洛必达法则 注 2 由洛必达法则条件的充分性可得 若极限不存在 并不能 0 lim xx fx g x 幂指函数极限的计算 6 说明 存在 在利用洛必达法则求极限时若遇到此类情况 我们应另找 0 lim xx f x g x 其他的方法来求极限 注 3 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解 首先必须注意它是不是 不定式极限 其次看是否满足洛必达法则的其他条件 1 注 4 在利用洛必达法则之后 如果题目变得越来越复杂 则说明题目不 适合用洛必达法则求极限 我们应分析题目 寻找其他合适的方法 例例 4 3 14 3 1 求极限 为常数 1 ln 0 lim sin k x x x k 解解 这是一个型不确定式极限 0 0 令 两边取对数 得 1 ln sin k x yx 1 ln lnsin lnln sin 1 ln k x kx yx x 是型不定式极限 0 lnsin lim 1 ln x kx x 由 洛必达法则 0000 cos lnsin sin lim lnlimlimlimcos 1 1 lnsin xxxx kx kxx x ykxk xx x 得到 为常数 0 lim ln ln 1 ln 000 lim sin limlim x k y yk x xxx xyeee 0 kk 当时上面所得的结果仍然成立 0k 例例 4 3 24 3 2 求极限 x x x x cos1 1 0 sin lim 解解 这是一个型不确定式极限 1 令 两边取对数 得 x x x y cos1 1 sin 1sin lnln 1 cos x y xx 因为时 所以 0 x 2 cos1 2 x x 2 000 sinsin lnln limlnlimlim 1 cos 2 xxx xx xx y xx 是型不定式极限 下一步可用洛必达法则 2 0 sin ln lim 2 x x x x 0 0 石家庄学院毕业论文 7 由 2 2 00 xcossinsin ln sin limlim 2 xx xxxx xxx xx 2 0 xcosxsin lim sin x x xx 3 0 cossin lim x xxx x 2 0 sin lim 3 x xx x 1 3 得到 3 1 cos1 1 0 sin lim e x x x x 例例 4 3 34 3 3 求极限 x x xx ln 1 2 1 lim 解解 这是一个型不确定式极限 令 两边取对数 0 1 2 ln 1 x yxx 得 是型不定式极限 12 2 ln ln 1 lnln 1 ln x xx yxx x 2 ln 1 lim ln x xx x 由 洛必达法则 2 2 1 ln 1 1 limlim1 1 ln xx xx x x x 得到 1 lim ln 2ln ln lim 1 limlim x y y x xxx xxyeee 4 44 4 等价无穷小代换等价无穷小代换 定理定理 4 44 4 7 设和为去心邻域内的连续函数 均是 u x v x 0 x u x v x 变化过程时的无穷小量并且 则有 0 xx u xx v xx 00 lim lim v xx xxxx u xx 推论推论 1 1 设和为去心邻域内的连续函数 是变化过程 u x v x 0 x u x 时的无穷小量并且 则有 0 xx u xx 00 lim lim v xv x xxxx u xx 推论推论 2 2 设和为去心邻域内的连续函数 是变化过程 u x v x 0 x v x 时的无穷小量并且 则有 0 xx v xx 00 lim lim v xx xxxx u xu x 例例 4 4 14 4 1 求极限 x x x tan 0 sinlim 幂指函数极限的计算 8 解解 此问题为 型不确定式极限 00 lim sin0 lim tan0 xx xx 0 0 因为 所以由定理 4 4 xxxx tan sinx0 时 tan 00 lim sin lim xx xx xx 令 两边取对数 得 x yx ln lnln 1 x yxx x 由 得到 00 ln limlnlim0 1xx x xx x 0 lim ln tan0 0 lim sin 1 x y x x xee 例例 4 4 24 4 2 求极限 sin 0 1 lim x x x 解解 此问题为 型不确定式极限 00 1 lim lim sin0 xx x x 0 因为时 所以由推论 2 0 x sin xx sin 00 11 lim lim xx xx xx 令 两边取对数 得 1 xy x ln lnln 1 x yxx x 由 得到 1 00 ln limlnlim0 1xx x xx x sin 0 1 lim x x x 等价无穷小代换应用到幂指函数极限的计算时 通常会结合洛必达法则及 对数法 使得计算快捷简便 注 当时 有下列常用的一组等价无穷小 0 x xx sinxx tanxx arcsin xx arctanxex 1