线线角和线面角

线线角和线面角线线角和线面角 重点重点 确定点 斜线在平面内的射影 知识要点知识要点 一 线线角线线角 1 定义 设 a b 是异面直线 过空间一点 O 引 a a b b 则 a b 所成的锐角 或直角 叫 做异面直线 a b 所成的角 2 范围 0 3 向量知识 对异面直线 AB 和 CD 1 2 向量 和 的夹角 或者说其补角 等于异面直线 AB 和 CD 的夹角 3 二 线面角线面角 1 定义 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 斜线和平面所成角的范围 是 0 2 直线在平面内或直线与平面平行 它们所成角是零角 直线垂直平面它们所成角为 3 范围 0 4 射影定理 斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 垂线段比任何一条斜线段都短 5 最小角定理 平面的一条斜线与平面所成的角 是这条直线和平面内过斜足的直线所成 的一切角中最小的角 6 向量知识 法向量法 与平面的斜线共线的向量 和这个平面的一个法向量 的夹角 或 者说其补角 是这条斜线与该平面夹角的余角 例题分析与解答例题分析与解答 例例 1 如图所示 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 求 异面直线 BA1与 AC 所成 的角 分析 分析 利用 求出向量 的夹角 再根据异面直线 BA1 AC 所成角的范围确定异面直线所成角 解 解 AB BC BB1 AB BB1 BC 又 所以异面直线 BA1与 AC 所成的角为 60 点评 点评 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积 而要求两向量的数量积 必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示 例例 2 如图 1 ABCD 是一直角梯形 AD AB AD BC AB BC a AD 2a 且 PA 平 面 ABCD PD 与平面 ABCD 成 30 角 1 若 AE PD E 为垂足 求证 BE PD 2 求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小 用反三角函数表示 解法一 解法一 1 证明 证明 PA 平面 ABCD PA AB AD AB AB 平面 PAD AB PD 又 AE PD PD 平面 ABE BE PD 2 解解 设 G H 分别为 ED AD 的中点 连 BH HG GB 图 1 易知 BH CD G H 分别为 ED AD 的中点 HG AE 则 BHG 或它的补角就是异面直线 AE CD 所成的角 而 在 BHG 中 由余弦定理 得 异面直线 AE CD 所成角的大小为 解法二 解法二 如图 2 所示建立空间直角坐标系 A xyz 则 1 证明 证明 2 解 解 异面直线 AE CD 所成角的大小为 例例 3 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 求 BE1与 DF1所成 角的余弦值 解解 以 D 为坐标原点 为 x y z 轴 建立空间直角 坐标系 D xyz 设正方体的棱长为 4 则 D 0 0 0 B 4 4 0 E1 4 3 4 F1 0 1 4 则 BE1与 DF1所成角的余弦值为 点评点评 在计算和证明立体几何问题中 若能在原图中建立适当的空间直角坐标系 把图形 中的点的坐标求出来 那么图形有关问题可用向量表示 利用空间向量的坐标运算来求解 这样 可以避开较为复杂的空间想象 例例 4 在 120 的二面角 P a Q 的两个面 P 和 Q 内 分别有点 A 和点 B 已知点 A 和点 B 到 棱的距离分别为 2 和 4 且线段 AB 10 1 求直线 AB 和棱 a 所成的角 2 求直线 AB 和平面 Q 所成的角 解解 如图 作 AC a BD a 垂足分别为 C D 分别以 的单位向量为空间的基底 过 C B 分别作 BD a 的平行线 交于 E 点 CE a 从而 得 ACE 就是二面角 P a Q 的平面角 依题设 设 1 又 展开 m2 20 8 100 从而得 异面直线 与 a 所成的角为 2 作 AF EC 交 EC 的延长线于 F a 平面 ACE a 平面 Q 平面 ACE 平面 Q 从而得 AF 平面 Q 连结 FB 则 ABF 就是 AB 与平面 Q 所成的角 上的射影为 在 Rt AFB 中 直线 AB 和平面 Q 所成的角为 反馈练习 反馈练习 1 过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是 A 1 个 B 无数个 C 一个或无数个 D 没有 2 已知从一点 P 引三条射线 PA PB PC 且两两成 60 度角 则二面角 A PB C 的二面 角的余弦值是 A B C D 不能确定 3 正方体 AC1中 E F 分别是 AA1与 CC1的中点 则直线 ED 与 D1F 所成角的大小是 A B C D 4 在正三棱锥 S ABC 中 E 为 SA 的中点 F 为 ABC 的中心 SA BC 2 则异面直线 EF 与 AB 所成的角是 A 60 B 90 C 45 D 30 5 已知正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AA1 则直线 CB1与平面 AA1B1B 所 成角的正弦值是 A B C D 6 如图所示 M N 分别是单位正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1 B1C1的中点 求 MN 与 CD1所成的角 7 如图 1 所示 已知正三棱柱 ABC A1B1C1 侧棱长为 2 底面边长为 1 M 是 BC 的中 点 1 求异面直线 AB1与 BC1的夹角 2 在直线 CC1上求一点 N 使 MN AB1 参考答案 参考答案 1 C 2 B 3 A 如图 依题意 可知 设 由三角形法则 直线 ED 与 D1F 的所成的角为 4 A 如图设 依题意可得 也就是 异面直线 EF 与 AB 所成的角是 60 5 B 如图取 AB 中点 E 连结 CE 由正三棱柱可知 CE 平面 AA1B1B 连结 EB1 CB1E 就是 B1C 与平面 AA1B1B 所成的角 设棱长 AA1 1 设 依题意可得 又 直线 CB1与平面 AA1B1B 所成角的正弦值是 6 解