线性规划所有类型总结(很全的)

线线性性规规划划 想想说说懂懂你你很很容容易易 线性规划是近两年高考的必考内容 学习简单线性规划的有关知识其最终 目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值 最大值或最小值 问题 而有关的题型种类较多 变化多样 应用线性规划的思想解题不能完全 拘泥于课本中的 z ax by 的形式 下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性 规划求最值问题 1 1 目标函数形如 目标函数形如 z ax byz ax by 型 型 例例 1 1 2008 全国 设变量满足约束条件 xy 22 2 yx xy x 则的最小值是 yxz3 A B C D 2 4 6 8 解解 画出可行域 如图 1 由可得 所以表示直线yxz3 33 1z xy 3 z 的纵截距 由图可知当直线过点 A 2 2 时 z z 的最小值是 8 33 1z xy 选 D 2 2 目标函数形如 目标函数形如型 型 ax by z 例例 2 2 2007 辽宁 已知变量满足约束条件xy 20 1 70 xy x xy 则的取值范围是 y x A B C D 6 5 9 9 6 5 36 3 6 解解 画出可行域 如图 2 表示可行域内的点 x y 与原 y x 点连线的斜率 求得 A 1 6 C 且求得 2 9 2 5 KOA 6 KOC 所以 选 A 5 9 6 5 9 x y 3 3 目标函数形如 目标函数形如 z az abx cy bx cy型 型 例例 3 3 2008 北京 若实数满足则的xy 10 0 0 xy xy x 2 3x y z 图 1 图 2 图 3 最小值是 A 0B 1C D 93 解解 画出可行域 如图 3 令 u x 2y 当 x y 0 时 u 最小为 0 则 的最小值是 1 故选 B 2 3x y z 4 目标函数形如目标函数形如 z z 型 型 edx cbyax 例例 4 4 已知 x y 满足 则的取值范围是 xy yx x 1234 0 1 32 x yx A 1 5 B 2 6 C 2 10 D 3 11 解解 做出可行域 如图 4 因为 其中 1 1 2 1 1 1 21 1 32 x y x yx x yx 可视作可行域内的点与点 C 1 1 连线的斜率 且求得 1 1 x y KCA 5 KCB 1 所以由图可知 所以选 D 5 1 1 1 x y 11 1 1 3 x y 5 5 目标函数形如目标函数形如型 型 22 byaxz 例例 5 5 已知 x y 满足 求的最 0 0 022 yx yx 22 1 1 yxz 大值和最小值 解解 目标函数的几何意义是可行域的点 x y 与点 C 1 1 的距离 如图 5 由图形易知点 C 与可行域内的点 O 0 0 和 A 2 0 的距离最大为 2 而的最小值是点 C 到直线的距离 所以 z022 yx 5 5 max z2 min z 5 5 变式变式 已知 x y 满足约束条件 求 z z x2 y2的最大值和最小值 032 093 072 yx yx yx 解解 画出可行域 如图 6 z z x2 y2表示可行域内的点与原点 O 距离的平方 由 图可知 OA 最大 2 61 最小值为点 O 到直 max z 22 65 线 x 2y 3 0 的距离的平方 2 min z 41 3 5 9 6 6 目标函数形如目标函数形如 z ax by c z ax by c 型 型 图 4 图 5 图 6 例例 6 6 已知 x y 满足 求 z z x 2y 4 的最大值 052 04 02 yx yx yx 解解 因为 所以 z z 可看作是可行域内任5 5 42 42 yx yxz 意一点 x y 到直线 x 2y 4 0 的距离的倍 由图 7 知 点 C 到直5 线 x 2y 4 0 的距离最大 由可得 C 7 9 所以 052 02 yx yx z zmax 7 2 9 4 21 7 7 目标函数形如目标函数形如 z axz ax2 2 by by2 2型 型 例例 7 7 已知变量 x y 满足 求 z 4xz 4x2 2 y y2 2的最值 2 6 1 y xy xy 解解 做出可行域 即以原点为中心的共离心率的椭圆系 如图 8 由 z 4xz 4x2 2 y y2 2得 目标函数 z 的几何意义是椭圆长轴的平1 4 22 z y z