线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结特殊行列式及行列式计算方法总结 一 一 几类特殊行列式几类特殊行列式 1 上 下 三角行列式 对角行列式 教材 P7 例 5 例 6 2 以副对角线为标准的行列式 1 111211 2 12 21222 1 1 21 11 1 12 1 1 2 12 11 000 00 00 000 000 0 00000 1 n nn nn n nnnnn nnn nnn nnn n n nnn a aaaa aa aaa aaa aa aaaa a aa 3 分块行列式 教材 P14 例 10 一般化结果 0 0 nn mnn m nm m nmm nm ACA AB BCB 0 1 0 n mnn mnmn nm mm nmm n ACA AB BCB 4 范德蒙行列式 教材 P18 例 12 注 4 种特殊行列式的结果需牢记 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握 二 二 低阶行列式计算低阶行列式计算 二阶 三阶行列式 对角线法则 教材 P2 P3 三 三 高阶行列式的计算高阶行列式的计算 五种解题方法 1 利用行列式定义直接计算特殊行列式 2 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 3 利用行列式的行 列 扩展定理以及行列式的性质 将行列式降阶进行计 算 适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素 并且非零元素的 代数余子式很容易计算 4 递推法或数学归纳法 5 升阶法 又称加边法 常见的化简行列式的方法 1 利用行列式定义直接计算特殊行列式利用行列式定义直接计算特殊行列式 例例 1 2001 年考研题 00010 00200 01999000 20000000 00002001 D 分析 该行列式的特点是每行每列只有一个元素 因此很容易联想到直接利用 行列式定义进行计算 解法一 定义法解法一 定义法 1 2 2 1 0 1 2 1999 0 1 2001 1 2001 2001 nnn D 解法二 行列式性质法解法二 行列式性质法 利用行列式性质 2 把最后一行依次与第 n 1 n 2 2 1 行交换 这里 n 2001 即进行 2000 次换行以后 变成副对角行列式 2001 2001 1 2001 12001 1 2 00002001 00010 00200 1 1 1 2001 2001 01999000 20000000 D 解法三 分块法解法三 分块法 00010 00200 01999000 20000000 00002001 D 利用分块行列式的结果可以得到 2000 2000 1 2 0001 0020 2001 2001 1 2000 2001 0199900 2000000 D 解法四 降阶定理展开解法四 降阶定理展开 按照每一行分别逐次展开 此处不再详细计算 2 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例例 2 1111 1111 1111 1111 a a D b b 分析 该行列式的特点是 1 很多 可以通过和来将行列式中的很多 12 rr 34 rr 1 化成 0 解 21 41 43 22 0011001100 11111111011 0000110011 111111110011 1100 011 0011 000 rr rr rr aa aaa Dabab bb bbb a aba b b 例例 3 3223 1111 11 3223 222222 3223 3333 33 3223 444444 aa babb aa ba bb D aa ba bb aa ba bb 0 i a 分析 该类行列式特点是每行的次数递减 的次数增加 特点与范德蒙行ab 列式相似 因此可以利用行列式的性质将 D 化成范德蒙行列式 解 23 111 111 23 222 222 3333 1234 23 333 333 23 444 444 3333 3124 1234 1234 3333 1234 14 1 1 1 1 j i j i ij bbb aaa bbb aaa Da a a a bbb aaa bbb aaa bbbb a a a aV aaaa b b a a a a aa 练习 11 12 年 IT 专业期末考试题 若实数各不相等 则矩阵的行列式 zyx 222 111 zyx zyxM M 3 利用行列式的行 列 扩展定理以及行列式的性质 将行列式降阶进行计利用行列式的行 列 扩展定理以及行列式的性质 将行列式降阶进行计 算算 例例 4 000 000 000 000 n ab ab D ab ba 分析 该行列式特点是处于主对角线 在后的一个位置 最后一行中是abab 第一个元素 是最后一个元素 a 解 按第一列展开 1 11 1111 000 000 1 1 000 0000 1 1 n n nnnnnn ab b ab ab Dab ab ab a a ab bab 练习 11 12 年期中考试题 xy yx x yx yx Dn 000 000 0000 000 000 4 行 列 和相等的行列式行 列 和相等的行列式 例例 5 n abb bab D bba 分析 该行列式的特点是主对角线上元素为 其余位置上都是 可将第ab 2 3 n 列加到第 1 列上 类似题型 教材 P12 例 8 P27 8 2 解 1 11 110 1 1 110 1 n n bbbb abab Danbanb baab anb ab 5 箭头形 爪行 行列式箭头形 爪行 行列式 例例 6 0111 1200 1030 100 D n 分析 该类行列式特点是第一行 第一列及主对角上元素不为 0 其余位置都 为 0 解此类行列式方法 是将行列式化成上三角行列式 解 分别从第 2 3 n 列提出因子 2 3 n 然后将第 2 3 n 列分别乘以 1 再加到第 1 列上 2 2 1111111 0 2323 1100 0100 1 1010 0010 1001 0001 n i n i inn Dnnn i 注 爪形行列式非常重要 很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化 成爪形行列式进行计算 练习 1 教材习题 P28 8 6 2 11 12 年期末考试题 23 1 2000 3000 1000 000 n ann a a A na na 3 11 12 年 IT 期末考试题 nx nx x x aaaax D nn n 000 0100 0020 0001 121 1 例例 7 123 123 123 123 n n n n xaaa axaa Daaxa aaax 分析 该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同 解 123 1122 1133 11 312 112233 1122 2 1 22 1122 00 00 00 1100 1010 1001 1 010 001 n nn n nn nn n in i iinn nn ii xaaa axxa Daxxa axxa aaxa xaxaxaxa xaxaxa aaa xaxaxa xaxaxa xa 11 1 nn i ii ii a xa 6 递推法或数学归纳法递推法或数学归纳法 该方法用于行列式结构具有一定的对称性 教材 P15 例 11 就是递推法的经典例 题 利用同样的方法可以计算教材 P27 8 4 7 升阶法升阶法 通常计算行列式都采用降阶的方法 是行列式从高阶降到低阶 但是对于某些 行列式 可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式 再进行计算 例例 8 教材 P28 8 6 1 2 1 11 11 1 111 n n a a D a 0 i a 分析 该题有很多解法 这里重点介绍升阶法 因为行列式中有很多 1 因此 可以增加一行 1 使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式 注意 行列 式是方形的 因此在增加一行以后还要增加一列 以保持行列式的形状 为了 使行列式的值不改变 因此增加的列为 1 0 0 0 1 11 3 2212 1 1111 0 0 0 1111 1 11 100 1 11 1 100 1 111 100 i nr r nn i i nn aa Daaa aa a aa 定理 例例 9 教材 P27 6 4 2222 4444 1111 abcd D abcd abcd 分析 此行列式可以应用性质 6 将行列式化为上三角行列式 也可以对比范德 蒙行列式的形式 通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行 计算 解法一 解法一 2 43 32 21 21 31 222222222 222 22222 1111 0 0 0 111 100 ra r rar rar cc cc bacada D b bac cad da b bac cadda ba ca dabcd b bac cadda ba ca dabcbdb b bac cab baddab 按第一 列展开 2222 ba