第二章-随机变量的分布及数字特征

第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 31 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 一 教学要求一 教学要求 1 理解随机变量的概念 掌握离散型和连续型随机变量的描述方法 理解概率分布列 和概率密度函数的概念和性质 2 理解分布函数的概念和性质 会利用概率分布计算有关事件的概率 3 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征 4 熟练掌握退化分布 两点分布 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布和正 态分布 指数分布 均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解 5 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征 二 重点与难点二 重点与难点 本章的重点是随机变量概率分布及其性质 常见的几种分布 随机变量函数的分布 数学期望和方差的计算 难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算 2 1 随机变量及其分布随机变量及其分布 一 一 随机变量随机变量 1 1 引入随机变量的必要性 引入随机变量的必要性 1 在随机现象中 有很大一部分问题与数值发生关系 如 产品检验问题中 抽样中 出 现的废品数 在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数 在电讯中 某段时间的话务量 等等 2 有些初看起来与数值无关的随机现象 也常常能联系数值来描述 如 掷硬币问题中 记出现正面时为 1 出现反面时为 0 注 注 这些例子中 试验的 结果能用一个数字 X 来表示 这个数 X 是随着试验的结果的不同 而变化的 也即它是样本点的一个函数 这种量以后称为随机变量随机变量 2 引例 引例 先看一个具体的例子先看一个具体的例子 例例 1 袋中有 3 只黑球 2 只白球 从中任意取出 3 只球 观察取出的 3 只球中的黑球的个 数 我们将 3 只黑球分别记作 1 2 3 号 2 只白球分别记作 4 5 号 则该试验的样本空间为 123124125 134135145 234235245 345 我们记取出的黑球数为 X 则 X 的可能取值为 1 2 3 因此 X 是一个变量 但是 X 取什么值依赖于试验结果 即 X 的取值带有随机性 所以 我们称 X 为随机 变量 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 32 X 的取值情况可由下表给出 由上表可以看出 该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值 因 此变量 X 是样本空间上的函数 XX 我们定义了随机变量后 就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件 例如 表示取出 2 个黑球这一事件 22XX 表示至少取出 2 个黑球这一事件 等等 2X 3 定义 定义 1 描述性定义描述性定义 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量 常用大写 X Y Z 等表示 随机变量的取值用小写字母 x y z 等表示 2 严格定义严格定义 设为一概率空间 是定义在上的实值函数 P XX 若对任一实数 则称为随机变量 x Xx X 4 4 随机变量的例子随机变量的例子 例例 2 2 上午 8 00 9 00 在某路口观察 令 Y 该时间间隔内通过的汽车数 则 Y 就是一个随机变量 它的取值为 0 1 表示通过的汽车数小于 100 辆这一随机事件 100Y 表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件 50100Y 例例 3 3 观察某生物的寿命 单位 小时 令 Z 该生物的寿命 则 Z 就是一个随机变量 它的取值为所有非负实 数 表示该生物的寿命不超过 1500 小时这一随机事件 1500Z 二 分布函数及其性质二 分布函数及其性质 1 分布函数的概念分布函数的概念 定义定义 设为一概率空间 X 为定义在其上的随机变量 对任意实数 x 称 P 样样本本点点 黑黑球球数数 X 样样本本点点 黑黑球球数数 X 321 3 541 1 421 2 432 2 521 2 532 2 431 2 542 1 531 2 543 1 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 33 F xP Xx 为随机变量 X 的分布函数 且称 X 服从 记为 X 有时也可用表明是 X 的 F x F x X Fx 分布函数 2 例子例子 例例 4 向半径为 r 的圆内随机抛一点 求此点到圆心之距离 X 的分布函数 并求 P X F x 2 3 r 解解 事件 表示所抛之点落在半径为的圆内 故由几何概率知Xx 0 xxr 从而 2 2 2 xx F xP Xx rr 2 2r225 P X 1 P X 1 3339 r 3 分布函数的性质分布函数的性质 定理 定理 任一分布函数都有如下三条基本性质 F x 1 单调性单调性 是定义在整个实数轴上的单调非减函数 即对任意的 F x 12 xx 有 12 F xF x 2 规范性规范性 F lim 0 x F x F lim 1 x F x 3 右连续性右连续性 是 x 的右连续函数 即对任意的 有 F x 0 x 0 0 lim xx F xF x 即 00 0 F xF x 证明证明 略 注注 1 上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件 2 有了分布函数的定义 可以计算 P aXbF bF a P XaF aF a 等 1 P XbF b 三 离散随机变量及其分布列三 离散随机变量及其分布列 1 离散型随机变量的概念 离散型随机变量的概念 若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个 则称这个随机变量为离离 散型随机变量散型随机变量 讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性 要知道离散型随机变量 X 的统计规律必 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 34 须且只须知道 X 的所有可能取值以及 X 取每一个可能值的概率 2 分布列 分布列 设 X 是一个离散随机变量 如果 X 的所有可能取值是 则称 X 12 n x xx 取的概率 i x 1 2 iii pp xP Xxin 为 X 的概率分布列或简称为分布列 记为 i Xp 分布列也可用下列形式表示 或 12 12 n n xxx p xp xp x X 1 x 2 x P 1 p 2 p 3 分布列的基本性质分布列的基本性质 1 非负性 0 1 2 i p xi 2 正则性 1 1 i i p x 注注 1 离散随机变量的分布函数为 i i xx F xp x 2 设离散型随机变量 X 的分布函数为 为其间断点 k 1 2 则 F x k x X 的分布律为 0 1 2 kkkk pP XxF xF xk 4 例子例子 例例 5 设离散随机变量 X 的分布列为 123 0 250 50 25 试求 并写出 X 的分布函数 0 5 1 52 5 P XPX 解解 略 例例 6 6 从 1 10 这 10 个数字中随机取出 5 个数字 令 X 取出的 5 个数字中的最大值 试求 X 的分布列 解解 X 的取值为 5 6 7 8 9 10 并且 4 1 5 10 5610 k C P Xkk C 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 35 具体写出 即可得 X 的分布列 例例 7 设随机变量 X 的分布列为 1 12 4 n P Xncnc 试求常数 解 解 由分布列的性质 得 所以 11 1 1 4 1 1 4 1 4 n nn P Xncc 3c 四 连续随机变量及其密度函数四 连续随机变量及其密度函数 1 连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念 定义定义 设随机变量 的分布函数为 如果存在实数轴上的一个非负可积函数 使 F x p x 得对任意 有 x F xp t dt 则称 X 为连续随机变量 称为 X 的概率密度函数 简称为密度函数密度函数 p x 2 密度函数的基本性质密度函数的基本性质 非负性 0p x 正则性 1p x dx 反过来 若已知一个函数 满足上述性质 1 和 2 则一定是某连续型随机变量 p x p x X 的概率密度函数 另外 对连续型随机变量另外 对连续型随机变量 X 的分布 还具有如下性质 的分布 还具有如下性质 1 b a a bR ab P aXbF bF ap x dx 更一般的 对一般的区间 有B B P XBp x dx 2 连续型随机变量 X 的分布函数 是连续的 但反之不真 F x 3 连续型随机变量 X 取任一确定值的概率为 0 即对于任意实数 c 0P Xc 事实上 0 0 c c h hP XcP chXcp x dx X 5 6 7 8 9 10 P 252 1 252 5 252 15 252 35 252 70 252 126 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 36 令0 0 P X c 0 c c h hp x dx 即得 注 注 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的 所以 概率为零的事件未必是不可能事件 概率为 1 的事件也不一定是必然事件 4 若在处连续 则有 P x 0 x 0 0 x x F xp x 3 例子 例子 例例 8 8 设 求 1 常数K 2 X的分布函数 3 2 02 23 0 Kxx Xp xKxx 其其它它 5 1 2 PX 解解 1 由性质 解之得 23 2 02 1 1p x dxKx dxKxdx 得 6 31 K 2 6 31 6 31 02 23 0 xx Xp xxx 其其它它 2 X 的分布函数为 2 6 31 0 2 2 66 3131 02 00 02 23 13 x x x t dtx F x t dttdtx x 3 2 31 2 34 3131 00 02 23 13 x xx F x xx x 3 23 55354283 1 1 1 223123131124 PXFF 5 2 1 p x dx 2 2 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 概率分布能完整 全面地刻画随机变量的统计规律 但是 1 在实际应用中概率分布常常难以精确地求出 2 在实际问题中 有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征 而不是随机变量全 面的变化规律 如测量误差的平均误差 评定射击手的稳定性的离散度等 3 对很多重要分布 只要知道它的某些数字特征 就可以完全确定其概率分布 数字特征通常是指与随机变量有关的 虽然不能完整地刻划随机变量 但却能较为集 中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值 一 随机变量的数学期望一 随机变量的数学期望 1 引例 引例 某人参加一个掷骰子游戏 规则如下 掷得点数1 点2 3 点4 5 6 点 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 37 获得 元 124 求 一次游戏平均得多少钱 解 解 假设做了 n 次游戏 123 124nnn 得元次数 得元次数 得元次数 每次平均得 123123 124nnnnnnn 则获得 当 n 很大时 123312 124 124 nnnnnn nnnn 123 12317 124124 6666 ppp 2 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 1 定义 定义 设离散随机变量 X 的分布列为 1 2 iii pp xP Xxin 如果 1 ii i x p x 则称 1 ii i E Xx p x 为随机变量 X 的数学期望 或称为该分布的数学期望 简称期望或均值 若级数 不收敛 则称 X 的数学期望不存在 1 ii i x p x 注 注 离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定 其与 X 取值顺序无关 2 2 例子 例子 例例 9 设服从几何分布 求 k 1 P k 1 p p k 1 2 E 解解 k 1k 1 k 1k 1 Ek 1 p ppk 1 p 由于故 k 1k 2 k 1k 1 x1 kxx 1x 1x k 1 2 k 1 11 k 1 p E pp 例例 10 设 X 取 k 1 2 对应的概率为 证明 E X 不存在 2 1 k k k x k 1 2 k x k p 证明证明 且且 但级数 1 0 2 k x k p 11 1 1 2 k x k kk p 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 38 发散 111 211 2 k k kx k kkk xp kk 所以 E X 不存在 但级数 交错级数满足 Leibniz 条件 收敛 111 21 1 1 ln2 2 k kk k kx k kkk xp kk 要注意数学期望的条件 要注意数学期望的条件 绝对收敛绝对收敛 2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 1 定义定义 设连续随机变量 X 的密度函数为 p x 如果 x p x dx 则称 E Xxp x dx 为 X 的数学期望 或称为该分布的数学期望 简称期望或均值 若不收敛 x p x dx 则称 X 的数学期望不存在 2 例子 例子 例例 11 设随机变量 X 服从 x 试讨论 E X 此分布称为 2 1 1 p x x Cauchy 分布 解解 2 0 22 0 1 2ln 1 1 1 xx xf x dxdxdxx xx 即不绝对收敛 因此数学期望 E X 不存在 xf x dx 设 X 服从区间上的均匀分布 求 a b E X 例例 12 设随机变量 X 的密度函数为 01 2 12 0 xx xxx 其它 求数学期望 EX 解解 012 012 0 2 0 177 3 236 EXxx dxxdxx xdxxx dxxdx 例例 13 设为仅取非负整数的离散型随机变量 若其数学期望存在 证明 X 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 39 1 k kXPXE 证明 证明 由于 而 1 k kXkPXE 3 3 2 3 2 1 11 XP XPXP XPXPXP jXPkXP kkjk 1 XEkXkP k 例例 14 设连续型随机变量的分布函数为且数学期望存在 证明X xF 1 0 0 dxxFdxxFXE 证明 证明 0 0 0 0 1 xFxdxxdFxxdFxxdFxxdFXE 1 1 0 0 0 dxxFxFxdxxFxxF 由均值存在得于是有 xdFx 0 1 0 0 0 B A BxdFxBFB AxdFxAAF 当 当 以此代入的计算式即得EX 1 0 0 dxxFdxxFXE 二 随机变量函数的分布及数学期望二 随机变量函数的分布及数学期望 1 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 1 离散型随机变量函数的分布列 离散型随机变量函数的分布列 设 X 一个随机变量 分布列为 k 1 2 kk pxXPX 则当 Y g X 的所有取值为 j 1 2 时 随机变量 Y 有如下分布列 j y j 1 2 jj P Yyq 其中是所有满足的对应的 X 的概率的和 即 j q ij g xy i x ii P Xxp ij ji g xy P YyP Xx 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 40 例例 15 设离散型随机变量 X 有如下分布列 试求随机变量的分布列 2 3 1YX X 1357 P0 50 10 150 25 解解Y的所有可能取值为 1 5 17 2 1 3 11 3 0 1P YP XP X 2 5 3 15 1 5 0 50 150 65P YP XP XP X 2 17 3 117 7 0 25P YP XP X 故Y的分布列为 Y1517 P0 10 650 25 2 连续型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 1 一般方法一般方法 设连续型随机变量X的概率密度函数为 x Y g X 为随机变量X的 X px 函数 则Y的分布函数为 Y F g xy yP YyP g Xyp x dx 从而Y的概率密度函数为 Y P y Y Y dFy py dy 例例 16 设随机变量求 Y 3X 5 的概率密度 2 01 0 X xx Xpx 其其它它 解解 先求 Y 3X 5 的分布函数 Y Fy 5 3 5 35 3 y YX y FyP YyPXyP Xpx dx 2 0 5 1 5 58 9 1 8 y yy y Y 的概率密度函数为 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 41 2 5 58 9 0 YY yy d pyFy dy 其其它它 例例 17 设 X U 1 1 求的分布函数与概率密度 2 YX 解解 2 1 11 2 0 X x pxyg xx 其其它它 2 2 YX xy FyP YyP Xypx dx 当当 y 0 时 时 当 当 y 1 时时 0 Y Fy 1 Y Fy 当当 0 y 1 时时 1 2 y Y y Fydxy 1 01 2 0 YY y ypyFy 其其它它 2 公式法 公式法 一般地 若是严格单调可导函数 则 xgyxpX X YX Yg Xpyph yh y 其中 h y 为 y g x 的反函数 注 注 1 只有当 g x 是 x 的单调可导函数时 才可用以上公式推求Y的密度函数 2 注意定义域的选择 例例 18 设 X U 0 1 求 Y aX b 的概率密度 a 0 解解 Y ax b 关于 x 严格单调 反函数为 yb h y a 故 而 1 YXX yb pyph yh yp aa 所以 101 0 X x px 其其它它 1 01 0 Y yb aapy 其其它它 补充定理 补充定理 若 g x 在不相叠的区间上逐段严格单调 其反函数分别为均 12 I I 12 h y hy 为连续函数 那么 Y g X 是连续型随机变量 其概率密度为 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 42 1122 YXX pyph yh yphyhy 例例 1919 若 计算的密度函数 1 0 NX 2 YX 解解 分段单调 在中反函数而在中反函数 2 yg xx 0 1 xh yy 0 为故的密度函数为 2 xhyy Y 1 22 111 0 222 0 0 y Y Y pyyyyey yy pyy 即 1 2 Y 2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设已知随机变量 X 的分布 我们需要计算的不是 X 的期望 而是 X 的某个函数 g X 的期望 那么应该如何计算呢 定理定理 设 g 为连续函数 Yg X 设 X 为离散型随机变量 其分布律为 1 2 3 kk P Xxpk 若级数绝对收敛 则 g X 的数学期望为 1 kk k g xp 1 kk k E YE g Xg xp 设X为连续型随机变量 其概率密度为 若绝对收敛 则 g X 的 p x g x p x dx 数学期望为 E YE g Xg x p x dx 注 注 该公式的重要性在于 当我们求 E g X 时 不必知道 g X 的分布 而只需知道 X 的分布就可以了 这给求随机变量函数的期望带来很大方便 例例 2020 设随机变量 求 E Y pnBX 2X Ye 解解 分布列为 pnBX 0 1 2 kkn k n P XkC p qkn 2222 00 nn Xkkkn kkkn kn nn kk E YE eeC p qCpeqpeq 其中 p q 1 例例 2121 设随机变量X 的概率密度为 求 E 1 X 2 0 0 x xex p x 其其它它 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 43 解 解 22 00 111 2 xx Ep x dxxedxedx Xxx 三 数学期望的性质三 数学期望的性质 性质性质 1 若 C 是常数 则 E C C 性质性质 2 对任意的常数 a E aX aE X 性质性质 3 对任意的两个函数 有 1 g x 2 gx 1212 E g XgXE g XE gX 四四 随机变量的方差与标准差随机变量的方差与标准差 1 方差与标准差的定义方差与标准差的定义 1 引例 引例 甲乙两部机床生产同一种机轴 轴的直径为 10mm 公差为 0 2mm 即直径在 9 8mm 到 10 2mm 的为合格品 超出范围的均为废品 现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取 6 件 进行测试 机轴的直径的测试尺寸如下 mm 甲9 8 9 9 10 010 010 110 2 乙9 0 9 2 9 410 610 811 0 易知 甲乙两组产品的直径的均值都为 10 0mm 但两组的质量显然差异很大 甲组全 为合格品 乙组全为废品 这里光看均值无差别 质量的差异的原因在于两组产品关于均 值的离散程度不同 甲组离散程度小 质量较稳定 乙组的离散程度大 质量不稳定 为衡量一个随机变量 X 关于均值的离散程度 可用 X EX 的均值来表示 称为 X 的绝 对离差 记作 E X EX 这在实际统计中有一定的作用 但由于绝对值得均值不易计算 常 用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度 2 定义 定义 若随机变量的数学期望存在 则称为随机 2 EXE X 2 EXEX 变量 X 的方差 记为D X Var X 或 2 2 1 2 ii i xE Xp x D XVar XE XEX xE Xp x dx 在离散场合 在连续场合 称方差的正平方根为 X 的标准差 记为或 D X X X 注 注 在实际计算中 通常使用如下公式 22 2 2 2 2 2 2 2 D XEXE XE XXE XE X E XE XE XE X E XE X 3 例子 例子 例例 22 已知随机变量 X 的分布列如下 求 D X 2 1012 X 1 162 163 162 168 16 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 44 解解 数学期望 E X 7 8 222222 123285 2 1 012 16161616162 E X 222 5716049111 286464 D XE XEX 例例 23 设随机变量 求 D X 110 101 xx Xp x xx 解解 01 10 1 1 0E Xxx dxxx dx 01 222 10 1 1 1 6 E Xxx dxxx dx 22 1 6 D XE XEX 2 方差的基本性质方差的基本性质 性质性质 1 其中 c 为常数 0D c 性质性质 2 是常数 2 D aXba D Xa b 性质性质 3 方差最小性 X 为随机变量 方差存在 则对任意不等于 EX 的常数 C 都有 22 D XE XEXE XC 证明证明 由数学期望的性质 有 22 22 22 22 2 2 E XCE XEXEXC E XEXEXCXEXEXC E XEXE EXCEXC E XEX DXE EXCDXEXC 由于 所以故CEX 2 0 EXC 2 DXE XC 五 随机变量的矩和切比雪夫不等式五 随机变量的矩和切比雪夫不等式 1 原点矩与中心矩原点矩与中心矩 1 若存在 则称为随机变量 X 的 k 阶原点矩 简称 k 阶矩 k E X k k AE X k 1 2 而称为 X 的 k 阶绝对原点矩 kE X 2 若存在 则称为随机变量 X 的 k 阶中心矩 k E X E X k k B E X E X k 1 2 而称为 X 的 k 阶绝对中心矩 k E X E X 注注 一阶原点矩就是数学期望 X 的二阶中心矩就是 X 的方差 例例 24 2 0 n XNE X 设随机变量 试求 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 45 解解 令 所以 XEXX Y DX 01YN则 2 2 2 y n nnnnnn Y E XE Yy py dyy edy 0 n nE X 1 当为奇数时 由于被积函数是奇函数 所以 2 n当为偶数时 由于被积函数是偶函数 所以 2 2 0 2 2 y n nn EXy edy 111 2 222 2 2 2 22 y tytdytdttdt 令 则 1 1 22 0 2 2 2 nn n nt EXte dt 2 1 1 1 222 00 121 22 22 n nnn nnn ttx nn te dttxe dx 其中 1rrr 利用函数的性质 得 22 22 2 2112133 22222 1 213112 1 2222 2 nn nn n nn n nn n nnnnn E X n nn n 2 矩不等式矩不等式 定理定理 1 马尔可夫不等式 马尔可夫不等式 设 X 的 k 阶矩存在 即则对任意的 有 k E X 0 k k E X PX 证明 证明 仅对连续型随机变量的情形证之 设 X 是连续型随机变量 其密度函数为 p x 则 11 k k k kkk XX X PXp x dxp x dxxp x dxE X 定理定理 2 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 设随机变量 X 的数学期望和方差都存在 则对任意的常数 有0 2 Var X PXE X 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 46 或 2 1 Var X PXE X 证明证明 令 利用马尔可夫不等式即得 YXEX 推论推论 若随机变量 X 的方差存在 则的充要条件是 X 几乎处处为某个常数 即 0Var X 1P Xa 证明证明 充分性 也就是 从而 1P Xa 1 a X 故 222 1 1 EXaa EXaa 22 0 DXEXEX 必要性 11 11 0 nn P XEXPXEXPXEXPXEX nn 由切比雪夫不等式 有 2 1 0 1 DX PXEX n n 故从而 0 P XEX 1 P XEX 2 3 常用概率分布常用概率分布 本节主要内容包括二项分布 泊松分布 超几何分布 几何分布与负二项分布正态分 布 均匀分布 指数分布 分布 分布和对数正态分布 主要介绍二项分布 泊 2 松分布 正态分布 均匀分布和指数分布 一 离散型随机变量离散型随机变量 1 退化分布退化分布 若随机变量 X 以概率 1 取某个常数 a 即 则称 X 服从 a 处的退化分布 1 a X 2 0 1 分布 分布 若随机变量 X 的分布列为 P X k k 0 1 0 p0 n 是正整数 若 则有 lim0 n n np lim 1 0 1 2 k kkn k nnn n C ppek k 即当随机变量 X B n p n 0 1 2 n 很大 p 很小且 np 适中 时 记 np 则 0 110np 时较好 1 0 1 2 k kkn k n P XkC ppekn k 对称的 若 n 很大而 q 1 p 很小且 nq 适中时 有 0 1 2 n k kkn kn kn knn knq nn nq P XkC p qCqpekn nk 例例 27 设每次射击命中目标的概率为 0 012 现射击 600 次 求至少命中 3 次目标的概 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 51 率 用 Poisson 分布近似计算 解解 设 B 600 次射击至少命中 3 次目标 进行 600 次射击可看作是一 600 重 Bernoulli 试验 X 600 次射击命中目标的次数 则 6000 012XB 用 Poisson 分布近似计算 取则6000 0127 2 2 7 27 27 2 313 1012 7 2 17 20 9745 2 P BP XP X P XP XP X eee 例例 28 一批二极管的次品率为 0 01 问一盒中至少装多少只这样的二极管才能使得至少有 100 个正品的概率在 95 以上 解 解 设每箱应装件二极管 s 是一个小整数 从而由100ns 100 0 011 nps 题条件知 据题意应有查表知 01 0 100 sBX 1 0 1 0 95 s k P Xse k 32 11 00 11 0 9810 0 9197 kk ee kk 故 s 取 3 符合题意 也就是说每箱应至少装 103 只二极管才能以 95 以上的概率正品有 100 个 4 泊松分布的数学期望与方差 泊松分布的数学期望与方差 001 1 10 1 1 kk kkk kt kt E Xk P Xkkee kk eeee kt 222 222 1 1 D XE XEXE X XEXEX E X X 其中 2 2 02 222 0 1 1 2 kk kk t t E X Xkkee kk eee t 6 6 几何分布几何分布 1 1 定义 定义 设随机变量 X 的可能取值是 1 2 3 且 1 1 2 k P Xk qp k 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 52 其中 0 p1 时 X 的全部取值为 m m 1 m 2 11 1 1 1 2 mmk m k P XkCppp km mm 二 连续型随机变量二 连续型随机变量 1 均匀分布 均匀分布 定义 定义 若随机变量 的密度函数为 1 0 axb p xba 其他 则称 服从区间上的均匀分布 记为 a b XU a b 均匀分布的分布函数为 U a b 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 53 0 1 xa xa F xaxb ba xb 2 均匀分布的数学期望与方差 均匀分布的数学期望与方差 若 则 XU a b 2 212 abba E XVar X 2 指数分布 指数分布 1 定义 定义 若随机变量 的密度函数为 0 0 0 x ex p x x 则称 服从指数分布 记作 其中 参数 XExp 0 指数分布的分布函数为 1 0 0 0 x ex F x x 生活中 指数分布应用很广 像电子元件的使用寿命 电话的通话时间 排队时所需 的等待时间都可用指数分布描述 因此 指数分布在生存分析 可靠性理论和排队论中有 广泛的应用 指数分布的数学期望与方差 指数分布的数学期望与方差 若 则 XExp 2 11 E XVar X 这里为失效率 失效率愈高 平均寿命就愈小 3 指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性 定理定理 如果 则对任意的 s 0 t 0 有 XExp P Xst XsP Xt 例例 30 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为 T 设 0 t 时段内过桥的汽车数服从参数为 t X t 的泊松分布 求 T 的概率密度 解解 F tP Tt 当 t 0 时 F t 0 当 t 0 时 F t P T t 1 P T t 1 P 在 t 时刻之前无汽车过桥 1 P 0 t X1 t e 于是 0 00 t et p tF t t 第二章第二章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征 54 3 正态分布正态分布 1 定义定义 若随机变