第二十二章曲面积分习题课

第二十二章曲面积分习题课第二十二章曲面积分习题课 一一 疑难问题与注意事项疑难问题与注意事项 1 第一型曲面积分的计算方法 答答 1 先把的方程代入 再利用为的表面积 S S dS S 例如其中为柱面被平面所截取的部分 22 S yx dS S 222 Ryx Hzz 0 解解 2222 112 2 SS dSH dSRH xyRRR 2 利用公式 1 设有光滑曲面 S zz x yx yD 为上的连续函数 则 f x y zS 22 1 xy SD f x y z dSf x y z x yzz dxdy 注注 一投 将曲面向面投影得 SxOyD 二代 将代入到中 zz x y f x y z 三变换 变成 dS 22 1 xy zz dxdy 2 类似地 如果光滑曲面由方程 则S xx y zy zD 22 d 1d d yz SD f x y zSf x y zy zxxy z 其中表示曲面在面上的投影 DSyOz 3 如果光滑曲面由方程 则S yy x zx zD 22 d 1d d xz SD f x y zSf x y x z zyyx z 其中表示曲面在面上的投影 DSxOz 3 利用对称性 1 若曲面关于坐标面对称 为上的连续函数 为位于 xoy zyxf 1 上部的曲面 则xoy 1 0 d 2 d f x y zz f x y zS f x y zSf x y zz 为的奇函数 为的偶函数 2 若曲面关于坐标面对称 为上的连续函数 为中 yoz zyxf 1 的那部分曲面 则0 x 1 0 d 2 d f x y zx f x y zS f x y zSf x y zx 为的奇函数 为的偶函数 3 若曲面关于坐标面对称 为上的连续函数 为中 xoz zyxf 1 的那部分曲面 则0y 1 0 d 2 d f x y zy f x y zS f x y zSf x y zy 为的奇函数 为的偶函数 4 若积分曲面关于具有轮换对称性 则有 x y z f x y z dsf y z x dsf z x y ds 1 3 f x y zf y z xf z x y ds 2 第二型曲面积分的方法 答答 1 公式 1 设是定义在光滑曲面R S zz x y xy x yD 上的连续函数 以的上侧为正侧 则有S xy SD R x y z dxdyR x y z x y dxdy 注注一投 曲面向面投影得 S zz x y xOyD 二代 将代入到中 zz x y R x y z 三定向 看的法线方向与轴的夹角 若夹角为锐角 则为正 否则为负 Sz 2 类似地 当在光滑曲面P yz DzyzyxxS 上连续时 有 yz DS dydzzyzyxPdydzzyxP 这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧 SSx 3 当在光滑曲面Q zx DxzxzyyS 上连续时 有 zx DS dzdxzxzyxQdzdxzyxQ 这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧 SSy 2 若 则 zz x y SS zz P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyRPQdxdy xy 3 高斯公式 注注 高斯公式的适用条件是 VS PQR dxdydzPdydzQdzdxRdxdy xyz A 1 函数 在上具有一阶连续的偏导数 P x y z Q x y z R x y zV 2 封闭 若不封闭需要补面 让它封闭 假如补面后封闭 则有SSS S S SS V S PdydzQdzdxRdxdy PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy PQR dxdydzPdydzQdzdxRdxdy xyz A 3 取外侧 如果取内侧 则取外侧 则有SSS VS PQR dxdydzPdydzQdzdxRdxdy xyz A S PdydzQdzdxRdxdy A 3 各种积分间的联系 格林公式 斯托克斯公式 高斯公式 n 二二 典型例题典型例题 第一型 曲线积分 三重 积分 二重 积分 第一型 曲面积分 第一型曲 线积分 积分 第二型 曲线积分 第二型 曲面积分 面积分 1 计算第一型曲面积分 其中是上半球面 S xyz dS S 2222 xyza 0 a 0z 解解 把向面投影得 222 S zaxy xoy 222 D xya 222 222 SD a xyz dSxyaxydxdy axy 3 a 注注 因为关于轴对称 且 222 0 D a xydxdy axy 222 D xya x y 奇 222 a xy axy 2 计算曲面积分 其中是球面 2 S z dS S 2222 xyza 解解 球面关于 具有对称性 2222 xyza xyz 222 SSS x dSy dSz dS 2 S z dS 222 1 3 S xyzdS 2 2 1 33 SS a a dsds 222 14 4 33 aaa 3 计算曲面积分 其中是旋转抛物面介 zdxdydydzxz 2 2 1 22 yxz 于平面及之间部分的下侧 0 z2 z 解解 补平面的上侧 则为封闭曲面 在其上应用高斯公式 2 1 z 1 11 222 zdxdydydzxzzdxdydydzxzzdxdydydzxzI 82 11 xy D dxdydxdydz 4 计算第二型曲面积分 其中曲面为椭球面 S xdydzydzdxzdxdy S 的上半部分 其方向为下侧 222 222 1 xyz abc 解解 为求 取下侧 只须求 1 S Ixdydzydzdxzdxdy S 取上侧 那么 为求 将与底面 2 S Ixdydzydzdxzdxdy S 12 II 2 IS 其中是在坐标面上的投影 组成的封闭曲面记为 即 其 S SSxoy total S total SSS 中方向取上侧 方向取下侧 设围成的区域为S S total S 222 222 1 0 xyz Vx y zz abc 由高斯公式 2 total SS xdydzydzdxzdxdyIxdydzydzdxzdxdy 2 1 3 V abc dxdydz 又由于 那么 从而 0 S xdydzydzdxzdxdy 2 2 3 Iabc 1 2 3 S abc Ixdydzydzdxzdxdy 5 计算 其中是上半球面的外侧 S xdydzydzdxzdxdy S 222 zaxy 解解 曲面不封闭 补上曲面 取下侧S 222 1 0 Szxya 11 33 30 2 32 3 S S SS V xdydzydzdxzdxdy xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy dv aa 6 其中是单位球面的外侧 S dxdyzdzdxydydzx 333 S1 222 zyx 解解 333222 SV x dydzy dzdxz dxdyxyzdxdydz A 21 4 000 12 3sin 5 ddrdr 7 求 其中是立方体 222222 C Iyz dxzx dyxy dz A C 0 0 0 xayaza 的表面与平面的交线 取向从轴正向看去是逆时针方向 3 2 xyza z 解解 可见交线若分为六段积分的计算量很大 且也不便于表示为一个统一的参数式 C 因为闭曲线 且 连续可微 故考虑用斯托克斯C 22 Pyz 22 Qzx 22 Rxy 公式 令为被所围的一块 取上侧 则的取向与的取侧相容 应 3 2 xyza CC 用斯托克斯公式得 222222 111 333 IdS xyz yzzxxy 23 1433 39 4 2 3 24233 a xyz dSdSaaa 8 计算 其中 从轴