符号函数及其微积分

实验 2 符号函数及其微积分 一 符号函数计算 MATLAB 中的符号函数计算主要有复数计算 复合函数计算和反函数计算 这些有关的符 号函数的计算命令及说明列于表 2 1 表 2 1 符号函数计算及复数操作 函数名称功能及说明 compose f g 求 f f y g g x 的复合函数 f g x compose f g z 求 f f y g g x x z 的复合函数 f g z compose f g x z 求 f f x x g z 的复合函数 f g z compose f g x y z 求 f f x x g y y z 的复合函数 f g z g finverse f 求符号函数 f 的反函数 g g finverse f v 求符号函数 f 对指定自变量 v 的反函数 g 实例 1 求 12sin 3 xu u uf 的复合函数 syms x y z u t 定义符号变量 f u 3 g sin 2 x 1 定义符号表达式 f g compose f g 求 f g 的复合函数 ans sin 2 x 1 3 compose f g t 求 f g 的复合函数 再将自变量 x 换为 t ans sin 2 t 1 3 实例 2 求x2 x1 2 2 e x 的反函数 finverse exp 2 x 2 求 2 2 e x 的反函数 ans 1 2 log 2 x finverse 1 x 2 x 求x2 x1 的反函数 ans 2 x 1 1 x 二 绘制二维图形 1 图形窗口及其操作 MATLAB 中不仅有用于输入各种命令和操作语句的命令窗口 而且有专门用于显示图形和 对图形进行操作的图形窗口 图形窗口的操作可以在命令窗口输入相应命令对其进行操作 也可以直接在图形窗口利用图形窗口的本身所带的工具按钮 相关的菜单对其进行操作 下面将介绍一些对图形窗口进行基本操作的命令和函数 1 图形窗口操作命令 对图形窗口的控制和操作的命令很多 这里主要介绍常用的 figure shg clf clg home hold subplot 等常用命令 它们的调用格式及有关说明了见 表 2 2 表 2 2 图形窗口操作命令 命令及函数说明 figure figure gcf 显示当前图形窗口 用于创建新的图形窗口 也可以用来在 两个图形窗口中间进行切换 gcf shg显示当前图形窗口 同 figure figure gcf clf clg清除当前图形窗口 如果在 hold on 状态 图形窗口内的内容 将被清除 clg 与 clf 功能相同 是 MATLAB 早期版本中的 清除图形窗口内图象命令 clc清除命令窗口 相当于命令窗口 edit 菜单下的 clear command window 选项 home移动光标到命令窗口的左上角 hold on保持当前图形 并允许在当前图形状态下 用同样的缩放比 例加入另一个图形 hold off释放图形窗口 将 hold on 状态下加入的新图形作为当前图形 hold在 hold on 和 hold off 两种状态下进行切换 ishold测试当前图形的 hold 状态 若是 hold on 状态 则显示 1 若 是 hold off 状态 则显示 0 subplot m n p subplot mnp 将图形窗口分成 m n 个窗口 并指定第 p 个子窗口为当前 窗口 子窗口的编号是从左至右 再从上到下进行编号 subplot将图形窗口设定为单窗口模式 相当于 subplot 1 1 1 subplot 111 2 坐标轴 刻度和图形窗口缩放的操作命令 MATLAB 中对图形窗口中的坐标轴的操作命令是 axis 坐标刻度的操作命令是 xlim ylim zlim 等 其使用方法见表 2 3 表 2 4 表 2 3 axis 函数的调用格式 调用格式说明 axis xmin xmax ymin ymax 根据向量 xmin xmax ymin ymax 设置二维图形窗口中 坐标轴的最大 最小值 axis xmin xmax ymin ymax zmin zmax 根据向量 xmin xmax ymin ymax zmin zmax 设置三维图 形窗口中坐标轴的最大 最小值 axis xmin xmax ymin ymax zmin zmax cmin cmax 根据向量 xmin xmax ymin ymax zmin zmax cmin cmax 设置三维图形窗口中坐标轴的最大 最小值和颜色 axis auto将当前图形窗口的坐标轴刻度设置为缺省状态 axis manual固定坐标轴刻度 若当前图形窗口为 hold on 状态 则 后面的图形将采用同样的刻度 axis tight采用与 X 方向和 Y 方向相同的坐标轴刻度 即只绘制 包含数据的部分坐标 axis fill设定坐标轴边界 用来适应数据值的范围 axis equal设置 X 轴 Y 轴为同样的刻度 axis ij翻转 Y 轴 使之正数在下 负数在上 axis xy复位 Y 轴 使之正数在上 负数在下 axis image重新设置图形窗口的大小 与 axis equal 相同 以适应 数据的范围 axis square重新设置图形窗口的大小 使窗口为正方形 axis normal将图形窗口复位至标准大小 axis vis3d锁定坐标轴之间的关系 一般用于图形旋转时 axis off不显示坐标轴及刻度 axis on显示坐标轴及刻度 axis v 根据向量 v 设置坐标轴刻度 使 xmin v1 xmax v2 ymin v3 ymax v4 zmin v5 zmax v6 对于对数图形 使用原数值而不使用对数值 axis axis 固定坐标轴刻度 即当图形窗口位于 hold on 状态下也 不改变坐标轴刻度 表 2 4 box lim grid 及相关函数的调用格式 函数及调用格式说明 box是否图形四周都设定坐标轴 box on 则开启该功能 box off 则关 闭该功能 box 则在 box on 和 box off 之间切换 datetick axis format 根据日期格式 format 格式化坐标轴上的文本 参数 axis 可以是 x 默认值 y z help datetick 可以显示更多用法和信息 dragrect x step 允许用户在屏幕上拖动矩形 help dragrect 可以显示更多的用法 xlim xmin xmax 设定 X 轴的最大 最小值 使 xmin xmin xmax xmax xlim测定 X 轴的最大 最小值 ylim ymin ymax 设定 Y 轴的最大 最小值 使 ymin ymin ymax ymax ylim测定 Y 轴的最大 最小值 zlim zmin zmax 设定 Z 轴的最大 最小值 使 zmin zmin zmax zmax zlim测定 Z 轴的最大 最小值 grid on根据图形窗口中图形的坐标形式 绘制图形窗口的网格 grid off清除图形窗口中的网格 grid在 grid on 和 grid off 之间切换 3 线型 点型及颜色参数 不管是在二维绘图还是在三维绘图当中 在所有能产生线条的命令中一律用参数 S 来定义 线条的线型 点型和颜色 在绘图命令中参数 S 的输入采用字符串形式 两端加单引号 有关线型 点型和颜色的定义见表 2 5 表 2 6 表 2 7 例如 plot x y k 表示绘制的曲线用实线 数据点 x y 用星号 绘出 曲线和数据点都用黑色 fplot fun lim r 表示绘制参数 fun 决定的函数在参数 lim 给定范围内的曲线 曲线用红色 的点划线绘出 当参数 S 省略时 则使用系统默认的线型和颜色绘制图形 表 2 5 线型定义符 线型实线 默认值 点线划线点划线 定义符 表 2 6 点型定义符 点型实点加号交叉号小圆圈星号棱形上三角 定义符 xo d 续表 5 5 点型下三角左三角右三角正方形正六角星正五角形 定义符v shp 表 2 7 颜色定义符 颜色定义符颜色定义符 红色r red 绿色g green 蓝色b blue 青色c cyan 品红m magenta 黄色y yellow 黑色k black 白色w white 2 二维图形的绘制 MATLAB 具有强大的图形处理功能 不管是二维图形还是三维图形 作图方法都非常简便 绘制二维图形有很多 现在把常用的四个绘图函数的函数名 功能列表如下 见表 2 2 表 2 8 MATLAB 绘图函数 函 数 式操 作 功 能 Plot X Y 对向量 X 绘制向量 Y 的图形 以 X 为横坐标 以 Y 为纵坐标 将有序点集 y x i i 连成曲线 可以加确定图形线型和着色的 参数 Fplot fcn xx maxmin 绘制由 fcn 表示的函数在区间 xx maxmin 上图形 Fcn 可以是 代表某一函数的变量 也可以是 X 和 Y 的数学表达式 中括 号内最多可以是 4 个值 前两个是自变量 X 的范围 后两个 是 Y 的范围 在中括号后还可以加确定图形线型和着色的参 数 polar theta rho 绘制极坐标函数 rho f theta 的图象 其中 theta 是极角 以弧 度为单位 rho 是极径 polar theta rho S 同 polar theta rho 参数 S 确定要绘制的曲线的线型 点型 颜色 Bar X Y 以 X 为横坐标绘制 Y 的条形图 X 必须是严格递增向量 legend str1 str2 在图的右上角加线形标注 str1 是 plot 函数中的第一对数组 x1 y1 str2 是 plot 函数中的第二对数组 x2 y2 标注的线型 也取处 plot 函数中相应的线型 1 向量作图 在利用向量作图时 首先要创建一个有值的向量 然后对这个向量的每一个元素求另一向 量函数值 最后画出向量图形 实例 3 画出 x y 2 在 0 2 上的图象 操作如下 X 0 1 10 2 创建向量 X 确定 X 的范围 Y X 2 创建向量 Y 确定 Y 的范围 plot X Y 绘图 绘制出的图形见图 2 1 图 2 1 y x2在 0 2 上的图形 2 函数作图 利用 MATLAB 自带的作图函数作二维或三维图形 既方便又快捷 实例 4 作x y 1 sin 在 2 2 上的图形 操作及结果如下 fplot sin 1 x 2 2 绘制出的图形见图 2 2 图 2 2 y sin1 x 在 2 2 上的图形 3 极坐标绘图 实例 5 绘制心形线 r 2 1 cos 的极坐标图形 在命令窗口输入以下命令 theta 0 0 01 2 pi 建立数据点向量 theta polar theta 2 1 cos theta k 绘制 r 2 1 cos 的极坐标图形 绘制的心形线如图 2 3 所示 图 2 3 心形线 r 2 1 cos 的极坐标图形 实例 6 绘制 e y x2 在 3 3 上以 0 3 为步长各数据点的条形图 操作如下 X 3 0 3 3 创建向量 X 并设置数据点 bar X exp X 2 绘制函数在各数据点的条形图 绘制出的图形见图 2 4 图 2 4 e y x2 在 3 3 上的条形图 实例 7 在同一窗口用不同的线型绘制 y sinx y cosx 在 0 2 上的图象 并加上标注 在命令窗口输入如下命令 x y fplot sin 0 2 pi 计算 0 2 上 sinx 的数据 x1 y1 fplot cos 0 2 pi 计算 0 2 上 cosx 的数据 plot x y r x1 y1 k 绘制不同线型的两根曲线 legend y sinx y cosx 加图形标注 绘制出的图形见图 2 5 图 2 5 在同一窗口不同线型绘制的 y sinx y cosx 在 0 2 上的图象 三 符号函数的极限 函数的极限是微积分的基础 它的概念贯穿微积分的始终 在 MATLAB7 0 中 系统给出 了多种求函数极限的运算函数 使得原本在高等数学中较为复杂的函数极限的求解变得简 单容易 现将符号函数的极限的运算函数列于表 2 3 表 2 9 符号极限函数 limit 的调用格式 调用格式说明 limit F x a 计算当 ax 时符号函数表达式 F 的极限值 limit F 按系统默认自变量 v 计算当 0 v 时符号函数表达式 F 的极限 值 limit F a 按系统默认自变量 v 计算当 av 时符号函数表达式 F 的极限 值 limit F x a right 计算当 ax 时符号函数表达式 F 的右极限值 limit F x a left 计算当 ax 时符号函数表达式 F 的左极限值 实例 8 求极限1 1 lim 2 1 x x x 的操作过程和结果如下 syms x a 定义符号变量 x 和 a limit x 2 1 x 1 x 1 求函数 x2 1 x 1 当 1 x 时的极限 ans 2 实例 9 求极限x x x sin lim 0 和x x ax sin lim limit sin x x x 0 ans 1 limit sin x x x a ans sin a a 实例 10 求 arctanx 当 x 和 x 时的极限 求 tanx 当2 x 时的左 右极限 syms x t y 定义符号变量 f atan x 定义符号函数 limit f x inf 计算 x 时的极限 inf 表示负无穷大 ans 1 2 pi limit f x inf 计算 x 时的极限 inf 表示正无穷大 ans 1 2 pi f tan x 定义符号函数 f tan x limit f x pi 2 left 求2 x 时的左极限 ans Inf limit f x pi 2 right 求2 x 时的右极限 ans Inf 实例 11 按系统默认自变量求函数 yx tx 22 自变量趋近于 0 和 3 时的极限值 f x 2 t 2 x y 定义符号函数 limit f 求自变量趋近于 0 时的极限值 ans t 2 y limit f 3 求自变量趋近于 3 时的极限值 ans 9 t 2 3 y 实例 12 求符号矩阵 xxx xxx ee ee xx xx 3ln2ln1ln 2sincossin 2 当 0 x 时的左极限 A exp x exp x exp x exp x 2 sin x cos x sin 2 x log 1 x log 2 x log 3 x 定义符号矩阵 A limit A x 0 left 求符号矩阵每一个元素当 0 x 时的左极限 ans 1 1 0 0 1 0 0 log 2 log 3 四 符号函数的导数 在 MATLAB 中求符号函数的导数是使用微分函数 diff 实现的 该函数的调用格式如下表 见表 2 4 表 2 10 符号微分函数 diff 的调用格式 调用格式说明 diff S v diff S sym v 计算符号表达式 S 对指定符号变量 v 的一阶导数 diff S 计算符号表达式 S 对系统默认自变量的一阶导数 diff S n 计算符号表达式 S 对系统默认自变量的 n 阶导数 diff S v n diff S n v 计算符号表达式 S 对指定符号变量 v 的 n 阶导数 实例 13 求函数 1cos 2 x ay 和 x ay 3 sin 的一阶导数的操作如下 diff cos a x 2 1 x ans 2 sin a x 2 1 a x diff sin a x 3 ans 3 cos a x 3 a x 2 实例 14 求函数 2x x x e 和 xlnlnln 的一阶和三阶导数 syms x y t u v z a b 定义符号变量 S exp x sqrt x 2 x 定义符号函数 diff S 计算符号函数的一阶导数 ans exp x x 1 2 2 x exp x 1 2 x 1 2 2 x log 2 diff S 3 计算符号函数的三阶导数 ans exp x x 1 2 2 x 3 exp x 1 2 x 1 2 2 x log 2 3 exp x 1 4 x 3 2 2 x log 2 2 exp x 3 8 x 5 2 2 x log 2 3 S log log log x 定义符号函数 diff S 计算符号函数的一阶导数 ans 1 x log x log log x diff S 3 计算符号函数的三阶导数 ans 2 x 3 log x log log x 3 x 3 log x 2 log log x 3 x 3 log x 2 log log x 2 2 x 3 log x 3 log log x 3 x 3 log x 3 log log x 2 2 x 3 log x 3 log log x 3 实例 15 求隐函数 xyy x 3 3 2 的一阶导数 S x 2 y 3 3 x y 定义符号表达式 diff S x diff S y 由 dy dx Fx Fy计算表达式中 y 对 x 的导数 ans 2 x 3 y 3 y 2 3 x 五 符号一元函数的积分 MATLAB 中对符号函数的积分是通过调用函数 int 实现的 调用格式如下表 见表 2 11 表 2 11 符号积分函数 int 的调用格式 调用格式说明 int S 对符号表达式