江苏省泰州市2015届高三一模数学试题(含答案)

江苏省泰州市 2015 届高三一模数学试题 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请将答案填入答题纸填空题的相应分 请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上 答题线上 1 5 分 2015 泰州一模 已知 A 1 3 4 B 3 4 5 则 A B 3 4 考点 交集及其运算 专题 集合 分析 由 A 与 B 求出两集合的交集即可 解析解析 解 A 1 3 4 B 3 4 5 A B 3 4 故答案为 3 4 点评 此题考查了交集及其运算 熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 5 分 2015 泰州一模 函数 f x 2sin 3x 的最小正周期 T 考点 三角函数的周期性及其求法 专题 计算题 分析 由函数解析式找出 的值 代入周期公式 T 即可求出函数的最小正周 期 解析解析 解 函数 f x 2sin 3x 3 T 故答案为 点评 此题考查了三角函数的周期性及其求法 熟练掌握周期公式是解本题的关键 3 5 分 2015 泰州一模 复数 z 满足 iz 3 4i i 是虚数单位 则 z 4 3i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 数系的扩充和复数 分析 利用复数的运算法则即可得出 解析解析 解 iz 3 4i i iz i 3 4i z 4 3i 故答案为 4 3i 点评 本题考查了复数的运算法则 属于基础题 4 5 分 2015 泰州一模 函数 y 的定义域为 2 考点 函数的定义域及其求法 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 由根式内部的代数式大于等于 0 然后求解指数不等式 解析解析 解 由 2x 4 0 得 2x 4 则 x 2 函数 y 的定义域为 2 故答案为 2 点评 本题考查了函数的定义域及其求法 考查了指数不等式的解法 是基础题 5 5 分 2015 泰州一模 执行如图所示的流程图 则输出的 n 为 4 考点 程序框图 专题 图表型 算法和程序框图 分析 模拟执行程序框图 依次写出每次循环得到的 S n 的值 当 S 63 时 不满足条 件 S 63 退出循环 输出 n 的值为 4 解析解析 解 模拟执行程序框图 可得 S 511 n 1 满足条件 S 63 S 255 n 2 满足条件 S 63 S 127 n 3 满足条件 S 63 S 63 n 4 不满足条件 S 63 退出循环 输出 n 的值为 4 故答案为 4 点评 本题主要考查了程序框图和算法 正确得到每次循环的 S n 的值是解题的关键 属于基础题 6 5 分 2015 泰州一模 若数据 2 x 2 2 的方差为 0 则 x 2 考点 极差 方差与标准差 专题 概率与统计 分析 由已知利用方差公式得到关于 x 的方程解之 解析解析 解 因为数据 2 x 2 2 的方差为 0 由其平均数为 得到 0 解得 x 2 故答案为 2 点评 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用 熟记公式是关键 属于基础题 7 5 分 2015 泰州一模 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球 从中任取两个球 则这两个球颜色相同的概率为 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 排列组合 分析 从中任取两个球共有红 1 红 2 红 1 白 1 红 1 白 2 红 2 白 1 红 2 白 2 白 1 白 2 共 6 种取法 其中颜色相同只有 2 种 根据概率公式计算即可 解析解析 解 从中任取两个球共有红 1 红 2 红 1 白 1 红 1 白 2 红 2 白 1 红 2 白 2 白 1 白 2 共 6 种取法 其中颜色相同只有 2 种 故从中任取两个球 则这两个球颜色相同的概率 P 故答案为 点评 本题考查了古典概型概率的问题 属于基础题 8 5 分 2015 泰州一模 等比数列 an中 a1 32a6 0 a3a4a5 1 则数列前 6 项和为 考点 等比数列的通项公式 专题 等差数列与等比数列 分析 根据 a1 32a6 0 求出公比 q 的值 再根据 a3a4a5 1 求出 a4与 a1 即可计算数列 的前 6 项和 S6 解析解析 解 等比数列 an 中 a1 32a6 0 q5 即公比 q 又 a3a4a5 1 a4 1 a1 8 该数列的前 6 项和为 S6 故答案为 点评 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和的计算问题 是基础题目 9 5 分 2015 泰州一模 已知函数 f x 是奇函数 则 sin 1 考点 函数奇偶性的性质 专题 函数的性质及应用 三角函数的图像与性质 分析 由已知中函数 f x 是奇函数 可得 cos x sinx 恒成立 进而 2k k Z 进而可得 sin 的值 解析解析 解 当 x 0 时 x 0 则 f x x2 cos x f x x 2 sin x x2 sinx 函数 f x 是奇函数 f x f x cos x sinx 恒成立 2k k Z sin 1 故答案为 1 点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质 诱导公式 特殊角的三角函数值 是三角 函数与函数图象和性质的综合应用 难度中档 10 5 分 2015 泰州一模 双曲线 1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的 一半 则双曲线的离心率 e 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 直线与圆 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 求出双曲线的左顶点以及右焦点 以及渐近线方程 运用两点的距离公式和点到直 线的距离公式 列出 a b c 关系式 然后由离心率公式即可计算得到 解析解析 解 双曲线 1 的右焦点为 c 0 左顶点为 a 0 右焦点到双曲线渐近线 bx ay 0 的距离为 b 右焦点 c 0 到左顶点为 a 0 的距离为 a c 由题意可得 b a c 即有 4b2 a2 c2 2ac 即 4 c2 a2 a2 c2 2ac 即 3c2 5a2 2ac 0 由 e 则有 3e2 2e 5 0 解得 e 故答案为 点评 本题考查双曲线的离心率的求法 点到直线的距离公式的应用 属于中档题 11 5 分 2015 泰州一模 若 是两个相交平面 则在下列命题中 真命题的序号为 写出所有真命题的序号 若直线 m 则在平面 内 一定不存在与直线 m 平行的直线 若直线 m 则在平面 内 一定存在无数条直线与直线 m 垂直 若直线 m 则在平面 内 不一定存在与直线 m 垂直的直线 若直线 m 则在平面 内 一定存在与直线 m 垂直的直线 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 专题 空间位置关系与距离 分析 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答 解析解析 解 对于 若直线 m 如果 互相垂直 则在平面 内 存在与直线 m 平行的直线 故 错误 对于 若直线 m 则直线 m 垂直于平面 内的所有直线 则在平面 内 一定存在无数 条直线与直线 m 垂直 故 正确 对于 若直线 m 则在平面 内 一定存在与直线 m 垂直的直线 故 错误 对于 若直线 m 则在平面 内 一定存在与直线 m 垂直的直线 故 正确 故答案为 点评 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系 关键是熟练运用定理 全面考虑 12 5 分 2015 泰州一模 已知实数 a b c 满足 a2 b2 c2 c 0 则的取值范围 为 考点 基本不等式 专题 不等式的解法及应用 分析 实数 a b c 满足 a2 b2 c2 c 0 化为 1 令 cos sin 0 2 可得 k 表示点 P 2 0 与圆 x2 y2 1 上的点连线的在的斜率 利用直线与圆的位置关系即可得出 解析解析 解 实数 a b c 满足 a2 b2 c2 c 0 1 令 cos sin 0 2 k 表示点 P 2 0 与圆 x2 y2 1 上的点连线的直线的斜率 设直线 l y k x 2 则 化为 解得 的取值范围为 故答案为 点评 本题考查了三角函数换元法 直线的斜率计算公式 直线与圆的位置关系 点到直 线的距离公式 考查了转化方法 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 13 5 分 2015 泰州一模 在 ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c 若 B C 且 7a2 b2 c2 4 则 ABC 的面积的最大值为 考点 余弦定理 正弦定理 专题 解三角形 分析 由 B C 得 b c 代入 7a2 b2 c2 4化简 根据余弦定理求出 cosC 由平方 关系求出 sinC 代入三角形面积公式求出表达式 由基本不等式即可求出三角形 ABC 面积的 最大值 解析解析 解 由 B C 得 b c 代入 7a2 b2 c2 4得 7a2 2b2 4 即 2b2 4 7a2 由余弦定理得 cosC 所以 sinC 则 ABC 的面积 S a 当且仅当 15a2 8 15a2取等号 此时 a2 所以 ABC 的面积的最大值为 故答案为 点评 本题考查余弦定理 平方关系 基本不等式的应用 以及三角形的面积公式 考查 变形 化简能力 14 5 分 2015 泰州一模 在梯形 ABCD 中 2 6 P 为梯形 ABCD 所在平 面上一点 且满足 4 Q 为边 AD 上的一个动点 则的最 小值为 考点 向量的加法及其几何意义 专题 平面向量及应用 分析 画图 根据向量的几何意义和 4 可求出 2 4 设 ADP 根据 求出 cos 继而求出 sin 再根据射影定理得到的最小 值 解析解析 解 取 AB 的中点 连接 PE 2 2 四边形 DEBC 为平行四边形 2 4 2 6 2 4 设 ADP cos cos sin 当 时 最小 DP sin 2 故答案为 点评 本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式 以及射影定理 属于中档题 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 14 分 2015 泰州一模 在平面直角坐标系 xOy 中 角 的终边经过点 P 3 4 1 求 sin 的值 2 若 P 关于 x 轴的对称点为 Q 求 的值 考点 平面向量数量积的运算 两角和与差的正弦函数 专题 平面向量及应用 分析 1 由已知的 的三角函数值 然后利用两角和的正弦公式求值 2 由已知求出 Q 的坐标 明确 的坐标 利用数量积公式解答 解析解析 解 1 角 的终边经过点 P 3 4 4 分 7 分 2 P 3 4 关于 x 轴的对称点为 Q Q 3 4 9 分 14 分 点评 本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用 向量的数量积的运算 属于 基础题 16 14 分 2015 泰州一模 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是菱形 AC BD 相交于点 O EF AB AB 2EF 平面 BCF 平面 ABCD BF CF 点 G 为 BC 的中 点 1 求证 直线 OG 平面 EFCD 2 求证 直线 AC 平面 ODE 考点 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 专题 空间位置关系与距离 分析 1 根据线线平行推出线面平行 2 根据线面垂直的判定定理进行证明即可 解析解析 证明 1 四边形 ABCD 是菱形 AC BD O 点 O 是 BD 的中点 点 G 为 BC 的中点 OG CD 3 分 又 OG 平面 EFCD CD 平面 EFCD 直线 OG 平面 EFCD 7 分 2 BF CF 点 G 为 BC 的中点 FG BC 平面 BCF 平面 ABCD 平面 BCF 平面 ABCD BC FG 平面 BCF FG BC FG 平面 ABCD 9 分 AC 平面 ABCD FG AC OG EF OG EF 四边形 EFGO 为平行四边形 FG EO 11 分 FG AC FG EO AC EO 四边形 ABCD 是菱形 AC DO AC EO AC DO EO DO O EO DO 在平面 ODE 内 AC 平面 ODE 14 分 点评 本题考查了线面平行 线面垂直的判定定理 本题属于中档题 17 14 分 2015 泰州一模 如图 我市有一个健身公园 由一个直径为 2km 的半圆和一 个以 PQ 为斜边的等腰直角三角形 PRQ 构成 其中 O 为 PQ 的中点 现准备在公园里建设一 条四边形健康跑道 ABCD 按实际需要 四边形 ABCD 的两个顶点 C D 分别在线段 QR PR 上 另外两个顶点 A B 在半圆上 AB CD PQ 且 AB CD 间的距离为 1km 设四边形 ABCD 的周长为 ckm 1 若 C D 分别为 QR PR 的中点 求 AB 长 2 求周长 c 的最大值 考点 三角函数的最值 在实际问题中建立三角函数模型 专题 计算题 应用题 函数的性质及应用 三角函数的求值 分析 1 连结 RO 并延长分别交 AB CD 于 M N 连结 OB 运用等腰直角三角形 的性质 结合勾股定理计算即可得到 AB 的长 2 设 BOM 由解直角三角形可得 BM OM 即可得到 c AB CD BC AD 2 sin cos 再由 当且仅当 a b 取得等号 计算即可得到最大值 解析解析 1 解 连结 RO 并延长分别交 AB CD 于 M N 连结 OB C D 分别为 QR PR 的中点 PQ 2 PRQ 为等腰直角三角形 PQ 为斜边 MN 1 在 Rt BMO 中 BO 1 2 设 BOM 在 Rt BMO 中 BO 1 BM sin OM cos MN 1 CN RN 1 ON OM cos 当 sin cos 即有 sin2 即或时取等号 当或时 周长 c 的最大值为km 点评 本题考查三角函数的最值 考查重要不等式的运用 考查同角的平方关系 考查运 算能力 属于中档题 18 16 分 2015 泰州一模 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 离心率为的椭圆 C 1 a b 0 的左顶点为 A 过原点 O 的直线 与坐标轴不重合 与椭圆 C 交于 P Q 两点 直线 PA QA 分别与 y 轴交于 M N 两点 若直线 PQ 斜率为时 PQ 2 1 求椭圆 C 的标准方程 2 试问以 MN 为直径的圆是否经过定点 与直线 PQ 的斜率无关 请证明你的结论 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 专题 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析 1 设 由于直线 PQ 斜率为时 可得 解得 代入椭圆方程可得 又 联立解得即可 2 设 P x0 y0 则 Q x0 y0 代入椭圆方程可得 由直线 PA 方程为 可得 同理由直线 QA 方程可得 可得以 MN 为直径的圆为 由于 代入整理即可得出 解析解析 解 1 设 直线 PQ 斜率为时 1 化为 a2 2b2 联立 a2 4 b2 2 椭圆 C 的标准方程为 2 以 MN 为直径的圆过定点 下面给出证明 设 P x0 y0 则 Q x0 y0 且 即 A 2 0 直线 PA 方程为 直线 QA 方程为 以 MN 为直径的圆为 即 令 y 0 x2 y2 2 0 解得 以 MN 为直径的圆过定点 点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质 直线与椭圆相交问题 点与椭圆的位置 关系 点斜式 考查了推理能力与计算能力 属于难题 19 16 分 2015 泰州一模 数列 an bn cn 满足 bn an 2an 1 cn an 1 2an 2 2 n N 1 若数列 an 是等差数列 求证 数列 bn 是等差数列 2 若数列 bn cn 都是等差数列 求证 数列 an 从第二项起为等差数列 3 若数列 bn 是等差数列 试判断当 b1 a3 0 时 数列 an 是否成等差数列 证明你的结 论 考点 数列递推式 等比关系的确定 专题 等差数列与等比数列 分析 1 利用等差数列的定义只要证明 bn 1 bn 一个常数即可 2 当 n 2 时 cn 1 an 2an 1 2 bn an 2an 1 可得 只要证明 an 1 an等于一个常数即可 3 解 数列 an 成等差数列 解法 1 设数列 bn 的公差为 d 由 bn an 2an 1 利用 错位相减 可得 设 可得 进而得到 令 n 2 得 利用 b1 a3 0 可得 an 2 an 1 bn 1 d bn d d 即可证明 解法 2 由 bn an 2an 1 b1 a3 0 令 n 1 a1 2a2 a3 即 a1 2a2 a3 0 可得 bn 1 an 1 2an 2 bn 2 an 2 2an 3 2bn 1 bn bn 2 2an 1 an an 2 2 2an 2 an 1 an 3 由于数列 bn 是等差数列 可得 2bn 1 bn bn 2 0 可得 2an 1 an an 2 2 2an 2 an 1 an 3 即可证明 解析解析 证明 1 设数列 an 的公差为 d bn an 2an 1 bn 1 bn an 1 2an 2 an 2an 1 an 1 an 2 an 2 an 1 d 2d d 数列 bn 是公差为 d 的等差数列 2 当 n 2 时 cn 1 an 2an 1 2 bn an 2an 1 数列 bn cn 都是等差数列 为常数 数列 an 从第二项起为等差数列 3 解 数列 an 成等差数列 解法 1 设数列 bn 的公差为 d bn an 2an 1 设 两式相减得 即 令 n 2 得 b1 a3 0 2a1 2b1 4d 0 an 1 bn d an 2 an 1 bn 1 d bn d d 数列 an n 2 是公差为 d 的等差数列 bn an 2an 1 令 n 1 a1 2a2 a3 即 a1 2a2 a3 0 数列 an 是公差为 d 的等差数列 解法 2 bn an 2an 1 b1 a3 0 令 n 1 a1 2a2 a3 即 a1 2a2 a3 0 bn 1 an 1 2an 2 bn 2 an 2 2an 3 2bn 1 bn bn 2 2an 1 an an 2 2 2an 2 an 1 an 3 数列 bn 是等差数列 2bn 1 bn bn 2 0 2an 1 an an 2 2 2an 2 an 1 an 3 a1 2a2 a3 0 2an 1 an an 2 0 数列 an 是等差数列 点评 本题考查了等差数列的定义及其通项公式 考查了分析问题与解决问题的能力 考 查了推理能力与计算能力 属于难题 20 16 分 2015 泰州一模 已知函数 f x lnx g x ax b 1 若函数 h x f x g x 在 0 上单调递增 求实数 a 的取值范围 2 若直线 g x ax b 是函数 f x lnx 图象的切线 求 a b 的最小值 3 当 b 0 时 若 f x 与 g x 的图象有两个交点 A x1 y1 B x2 y2 求证 x1x2 2e2 取 e 为 2 8 取 ln2 为 0 7 取为 1 4 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 专题 导数的综合应用 分析 1 把 f x 和 g x 代入 h x f x g x 求其导函数 结合 h x 在 0 上单调递增 可得对 x 0 都有 h x 0 得到 由得到 a 的取值范围 2 设切点 写出切线方程 整理得到 令换元 可得 a b t lnt t2 t 1 利 用导数求其最小值 3 由题意知 把 a 用含有 x1 x2的代数式表示 得 到 不妨令 0 x1 x2 记 构造函数 由导数确定其单调性 从而得到 即 然后利用基 本不等式放缩得到 令 再由导数确定 G x 在 0 上单调递增 然后结合又得到 即 解析解析 1 解 h x f x g x 则 h x f x g x 在 0 上单调递增 对 x 0 都有 即对 x 0 都有 a 0 故实数 a 的取值范围是 0 2 解 设切点 则切线方程为 即 亦即 令 由题意得 令 a b t lnt t2 t 1 则 当 t 0 1 时 t 0 t 在 0 1 上单调递减 当 t 1 时 t 0 t 在 1 上单调递增 a b t 1 1 故 a b 的最小值为 1 3 证明 由题意知 两式相加得 两式相减得 即 即 不妨令 0 x1 x2 记 令 则 在 1 上单调递增 则 则 又 即 令 则 x 0 时 G x 在 0 上单调递增 又 则 即 点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程 考查了利用导数求函数的最 值 体现了数学转化思想方法和函数构造法 本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变 能力 难度较大 三 选做题 共三 选做题 共 4 小题 满分小题 满分 20 分 分 SPAN style FONT SIZE 10 5pt FONT FAMILY 宋体宋体 mso bidi font family Times New Roman mso font kerning 1 0pt mso ansi language EN US mso fareast language ZH CN mso bidi language AR SA mso bidi font size 16 0pt mso ascii font family Times New Roman mso hansi font family Times New RomanSTRONG四小题中任选两题作答四小题中任选两题作答 STRONG SPAN 几何证明选讲几何证明选讲 21 10 分 2015 泰州一模 如图 EA 与圆 O 相切于点 A D 是 EA 的中点 过点 D 引圆 O 的割线 与圆 O 相交于点 B C 连结 EC 求证 DEB DCE 考点 与圆有关的比例线段 专题 立体几何 分析 由切割线定理 DA2 DB DC 从则 DE2 DB DC 进而 EDB CDE 由此能证 明 DEB DCE 解析解析 证明 EA 与 O 相切于点 A 由切割线定理 DA2 DB DC D 是 EA 的中点 DA DE DE2 DB DC 5 分 EDB CDE EDB CDE DEB DCE 10 分 点评 本题考查两角相等的证明 是中档题 解题时要认真审题 注意切割线定理的合理 运用 矩阵与变换矩阵与变换 22 10 分 2015 泰州一模 已知矩阵 A B 若矩阵 AB 1对应的变换把 直线 l 变为直线 l x y 2 0 求直线 l 的方程 考点 几种特殊的矩阵变换 专题 矩阵和变换 分析 计算出 AB 1的值 设出变换 计算即可 解析解析 解 设直线 l 上任意一点 x y 在矩阵 AB 1对应的变换下为点 x y 代入 l l x 2y 2y 2 0 化简后得 l x 2 点评 本题考查了矩阵的变换 属基础题 坐标系与参数方程选讲坐标系与参数方程选讲 23 2015 泰州一模 己知在平面直角坐标系 xOy 中 圆 O 的参数方程为 为 参数 以原点 O 为极点 以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中 直线 l 的极坐标方程为 sin cos 1 直线 l 与圆 M 相交于 A B 两点 求弦 AB 的长 考点 简单曲线的极坐标方程 专题 坐标系和参数方程 分析 利用 sin2 cos2 1 可得圆 O 的普通方程 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方 程 再利用点到直线的距离公式可得圆心 O 0 0 到直线 l 的距离 d 再利用弦长公式可得 AB 解析解析 解 由圆 O 的参数方程 为参数 利用 sin2 cos2 1 可得圆 O x2 y2 4 又直线 l 的极坐标方程为 sin cos 1 可得直线 l x y 1 0 圆心 O 0 0 到直线 l 的距离 弦长 点评 本题考查了圆的参数方程化为普通方程 极坐标方程化为直角坐标方程 点到直线 的距离公式 弦长公式 考查了计算能力 属于基础题 不等式选讲不等式选讲 24 2015 泰州一模 已知正实数 a b c 满足 a b c 3 求证 3 考点 不等式的基本性质 专题 不等式的解法及应用 分析 利用基本不等式的性质即可得出 解析解析 证明 正实数 a b c 满足 a b c 3 abc 1 点评