等腰三角形证明以及辅助线做法

巧用巧用 两线合一两线合一 构建且证明等腰三角形问题构建且证明等腰三角形问题 学习了等腰三角形的三线合一后 笔者认为 可以根据学生的实际情况 补充 三线 合一 的逆命题的教学 因为这种逆命题虽然不能作为定理用 但它在解题中非常常见的 掌握了它 可以为我们解题增加一种重要思路 它有以下几种形式 一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 线段垂直平分线的性质 一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 因此 三角形 一边上的高 这边上的中线及这边所对角的平分线 三线中 两线合 一 就能证明它是等腰三角形 为了便于记忆 笔者简言之 两线合一 必等腰 本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线 构建等腰三角形且证明之来 解决问题 一 我们先来证明一 我们先来证明 三线合一三线合一 性质的逆命题三种情形的正确性 性质的逆命题三种情形的正确性 证明 已知 如图 1 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 又是 BC 边上的高 求证 ABC 是等腰三角形 分析 AD 就是 BC 边上的垂直平分线 利用线段垂直平分线的性质 可以推出 AB AC 所以 ABC 是等腰三角形 具体证明过程略 证明 已知 如图 1 ABC 中 AD 是 BAC 的角平分线 AD 是 BC 边上的高 求证 ABC 是等腰三角形 分析 利用 ASA 的方法来证明 ABD ACD 由此推出 AB AC 得出 ABC 是等腰三角 形 具体证明过程略 证明 已知 如图 2 ABC 中 AD 是 BAC 的角平分线 AD 是 BC 边上的中线 求证 ABC 是等腰三角形 方法一 分析 要证 ABC 是等腰三角形就是要证 AB AC 直接通过证明这两条线段所在的三角 形全等不行 那就换种思路 经验告诉我们 在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的 方法是 倍长中线法 即通过延长三角形的中线使之加倍 以便构造出全等三角形来解 决问题的方法 即延长 AD 到 E 点 使 DE AD 由此问题就解决了 证明 如图 2 延长 AD 到 E 点 使 DE AD 连接 BE 在 ADC 和 EDB 中 AD DE ADC EDB CD BD ADC EDB AC BE CAD BED AD 是 BAC 的角平分线 BAD CAD BED BAD AB BE 又 AC BE AB AC ABC 是等腰三角形 方法二 分析 上面的 倍长中线法 稍微有点麻烦 经验告诉我们 遇到角的平分线 我们 可以利用角的平分线的性质 过角的平分线上一点向角的两边作垂线 从而构造出了高 再利用面积公式开辟出新思维 具体做法是 如图 2 过点 D 作 DF AB DE AC 垂足分别为 F E 又因 AD 是 BAC 的角平分线 所以 DF DE 因为 BD DC 利用 等底同高的三角形面积相等 的原理 所以 再根据 等积三角形高相等则底也相等 因为 又因 DF DE 所以 AB AC 可见 面积法 给解题带来了简便 这种方法也正是被人们易忽视 的 当然 学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时 很容易形成思维定势 证 明两组直角三角形分别全等 从而证明 B C 所以 AB AC 此法明显较麻烦些 但是思 路要给予肯定 需要提醒读者的是 以上我们证明了 三线合一 的逆定理的正确性 但是这种逆命 题不能作为定理来用 掌握了它和它的证明过程 其目的是为我们解题增加一种重要思路 和方法 二 二 利用利用 三线合一三线合一 性质的逆命题添加辅助线 构建且证明等腰三角形来解决问题性质的逆命题添加辅助线 构建且证明等腰三角形来解决问题 1 逆命题 的应用 即线段垂直平分线的性质的应用 例 1 人教版八 上 第十二章章节复习题中的第 5 题 如图 4 D E 分别是 AB AC 的中点 CD AB 于 D BE AC 于 E 求证 AC AB 经笔者验证 学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形 所以连接 AO 图略 证明 AOC AOB 或者三组直角三角形分别全等 其中还要用到线段的垂直平分线的性 质 证明 OA OB OC 方法相当地麻烦 分析 题目没有直接给出 CD BE 分别是 AB AC 的垂直平分线 这样的语句 所以 学生最初拿到这个题目 很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起 如果学生有 两 线合一 必等腰 的思维 很容易想到 CD BE 分别可以是以 AB AC 为底边的等腰三角形 底边上的高和中线 即 两线合一 因此添加辅助线 构造等腰三角形 简单证明 连结 BC CD AB AD BD AC BC 注 利用线段垂直平分线的性质 同理可得 AB BC AC AB 由于逆命题 的应用与线段垂直平分线的性质相一致 所以笔者在此就不过多的举例 2 逆命题 的应用 例 2 已知 如图 5 在 ABC 中 AD 平分 BAC CD AD D 为垂足 AB AC 求证 2 1 B 分析 由 AD 平分 BAC CD AD 可以想到 AD 可以是同一个等腰三角形底边上的高 和底边所对角的平分线 即 两线合一 因此添加辅助线 构造等腰三角形 简单证明 延长 CD 交 AB 于点 E 由题目提供的条件 可证 AED ACD 2 AEC 又 AEC 1 B 所以结论得证 例 3 在学习等腰三角形知识时 会遇到这个典型题目 如图 6 在 ABC 中 BAC 900 AB AC BE 平分 ABC 且 CD BE 交 BE 的延长线于点 D 求证 CD BE 分析 由已知条件可知 BD 满足了逆命题 的 两线合一 所以延长 CD 和 BA 交 于点 F 补全等腰三角形 简单证明 由所添辅助线可证 BFD BCD 可知 BCF 是等腰三角形 CD DF CF 再证 ABE ACF BE CF CD BE 可见 学会 两线合一 必等腰 的思维 对满足 三线合一 性质的逆命题的条件 添加适当的辅助线来构造等腰三角形 为我们解决相关问题开辟了新思维 笔者认为 三个逆命题中以逆命题 在几何证明的应用中尤为突出 例 4 逆命题 还可以与中位线综合应用 已知 如图 7 在 ABC 中 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 过点 C 作 AD 的垂线 交 AD 的延长线于点 E F 为 BC 的中点 连结 EF 求证 EF AB EF AC AB 分析 由已知可知 线段 AE 既是 BAC 的角平分线 又是 EC 边上的高 即 两线合 一 就想到把 AE 所在的等腰三角形构造出来 因而就可添辅助线 分别延长 CE AB 交 于点 G 简单证明 由所添辅助线可证 AGE ACE 得出 AGC 是等腰三角形 AG AC EG CE 又 点 F 是 BC 的中点 EF 是 BGC 的中位线 EF AB EF BG AG AB AC AB 3 逆命题 应用 例 5 已知 如图 8 ABC 中 AD 是它的角平分线 且 BD CD DE AC DF AB 分 别与 AB AC 相交于点 E F 求证 DE DF 分析 根据已知条件 利用相似性知识 可证 点 E F 分别是 AB AC 的中点 初中 阶段不能用三角形的中位线的逆定理 又因点 D 是 BC 的中点 再利用三角形中位线的性 质可知 DE AC DF AB 可见只要证明 AC AB 题目所求证的结论就可得证 因为 AD 既是 BAC 的角平分线 又是 BC 边上的中线 即 两线合一 所以 ABC 是等腰三角形 可证 方法见逆命题 的证明 证明 过程略 还有的题目没有直接给出 两线合一 的条件 而是需要证明其中一个条件或者通过 作辅助线构建另一个条件 使题目符合 两线合一 思路 例 6 如图 9 梯形 ABCD 中 AB CD E 是 BC 的中点 DE 平分 ADC 求证 AD CD AB 例 7 分析 拿到这个题目 学生的思维很活跃 有的用 截长补短法 有的用 角的平 分线性质 有的用 梯形问题转化为三角形问题 的方法 笔者发现有几个学生延长 DC AE 相交于点 F 易证 ABE FCE 所以 AB CF AE EF 可见只要证明 AD FD 题目 所求证的结论就可得证 可是学生想到这一步 思维受阻 DE 此时既是 ADC 的角平分线 又是 AF 边上的中线 DAF 肯定是等腰三角形 就是不知道怎么证明 可见 学生如果有 两线合一 必等腰 的思维和掌握了它的证明方法 那么此法是可行 只是此法用于这 个题目较为麻烦 不可取 但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的 由于笔者在研究过程中 发现逆命题 的应用不是很多 所以在此就不过多的举例 三 请读者小试牛刀三 请读者小试牛刀 学习了以上 两线合一 必等腰 的新思路 笔者最后再一次警告读者 由于 三线 合一 性质的逆命题 与线段垂直平分线的性质相吻合 所以可直接应用 但是运用逆命 题 或 添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明 不能作为定理用 切记切记 谨防 与 三线合一 性质搞混淆 请读者试解下面问题 前 2 题提示 后 3 题不予提示 1 已知 如图 10 ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D ABC 的平分线交 AD 于 E 交 AC 于 P CAD 的平分线交 BP 于 Q 求证 QAD 是等腰三角形 提示 可证 AQB 90 延长 AQ 此题把逆命题 与直角三角形的性质综合应用 解法 AD BC 于 D ADF ADB 90 ABC BAD 90 CAD BAD 90 ABC BAD ABC 2 BAD 2 DBE QAE BED AEQ 对顶角 故 BDE AQE 90 ABQ FBQ BQ BQ BQA BQF 90 RT BQA RT BQF ASA AQ FQ Q 为 RT ADF 斜边 AF 的中点 A Q DQ QAD 是等腰三角形 2 如图 图略 读者自己画 在 ABC 中 AB AC M 为 BC 的中点 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D BE AD 于 E CF AD 于 F 求证 ME MF 提示 延长 BE CF 3 如图 图略 BE CF 是 ABC 的角平分线 AM CF 于 M AN BE 于 N 求证 MN BC 画图时 注意 AB AC 解法 BE 为 ABC 的角平分线 BE AG BAM BGM ABG 为等腰三角形 BM 也为等腰三角形的中线 即 AM GM 同理 AN DN MN 为 ADG 的中位线 MN BC 4 如图 图略 已知梯形 ABCD 中 AB CD C 的平分线 CE AD 于 E 且 DE 2AE C