泰勒公式和泰勒级数VIP

一一 幂级数幂级数 n n n xxa 0 0 n n n xa 0 l a a n n n 1 lim n n nx a 0 定理定理1 如果幂级数如果幂级数 的系数满足条件的系数满足条件 则则 1 当当0 l 0和和R2 0 则则 f x g x 的收敛半径的收敛半径 R min R1 R2 0n n nx a 2 设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径R 0 则在收敛区则在收敛区 间间 R R 内内 其其和函数和函数S x 是是连续连续函数函数 0n n n xa 若级数若级数在端点收敛在端点收敛 则则S x 在端点单侧连续在端点单侧连续 1n nx na 0n x n n n dtta 0 0 0 n n n xa 0n n nx a 3 幂级数幂级数的和函数的和函数S x 在收敛区间在收敛区间 R R 内内 可导可导 并可以并可以逐项求导逐项求导任意次任意次 且求导后级数的收敛且求导后级数的收敛 半径不变半径不变 即即 f x x R R 0n n nx a 4 幂级数幂级数的和函数的和函数S x 在收敛区间在收敛区间 R R 内可内可 积积 并可并可逐项求积分逐项求积分 且积分后级数的收敛半径不变且积分后级数的收敛半径不变 x dttS 0 dtta x n n 0 1 1 0 n n n x n a x R R 即即 n 1 0n an xn 注 常用已知和函数的幂级数 1 1 0 x x n n 1 1 1 2 0 2 x x n nn 2 11 1 1 1 x xnx n n n n 3 1 1 1 1 1 2 1 x xxnn n n n n 1 1 0 x x n n 1 1 x 1 2 3 4 5 5 二二 麦克劳林麦克劳林 Maclaurin 公式公式 三三 泰勒级数泰勒级数 一一 泰勒公式的建立泰勒公式的建立 7 6 泰勒 Taylor 公式与泰勒级数 一次多项式一次多项式 在微分的应用中有近似计算公式在微分的应用中有近似计算公式 若若 f x0 存在存在 则在则在 x0点附近有点附近有 f x f x0 f x0 x x0 f x f x0 f x0 x x0 o x x0 需要解决的问题需要解决的问题 如何提高精度如何提高精度 如何估计误差如何估计误差 不足不足 1 精确度不高精确度不高 2 误差不能定量的估计误差不能定量的估计 希望希望 在在x0点附近点附近 用适当的用适当的高次多项式高次多项式 Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n f x 一一 泰勒公式泰勒公式 猜想猜想 2 若有相同的切线若有相同的切线 3 若弯曲方向相同若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 近 似 程 度 越 来 越 好 n次多项式系数的确定次多项式系数的确定 1 若在若在x0点相交点相交 Pn x0 f x0 Pn x0 f x0 Pn x0 f x0 y f x 假设假设 Pn k x0 f k x0 y Pn x x o y x0 0 n xf a n n 即有即有 Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n 假设假设 Pn k x0 f k x0 Pn n x n an Pn x a1 2a2 x x0 3a3 x x0 2 nan x x0 n 1 Pn x 2a2 3 2a2 x x0 n n 1 an x x0 n 2 a0 f x0 2a2 f x0 n an f n x0 k 0 1 2 3 n 令令x x0得得 a1 f x0 2 0 2 xf a a0 f x0 a1 f x0 0 k xf a k k 2 0 x f 0 n xf n k 0 1 2 3 n 代入代入Pn x 中得中得 Pn x f x0 f x0 x x0 x x0 2 x x0 n Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n 称为函数称为函数 f x 在在x0处的处的泰勒多项式泰勒多项式 k 0 1 2 3 n称为泰勒系数称为泰勒系数 0 k xf a k k f x Pn x o x x0 n 2 0 0 2 xx xf 1 0 1 1 n n n xx n f xR n n xx n xf 0 0 其中其中 定理定理1 泰勒中值定理泰勒中值定理 若函数若函数f x 在在x0点的某邻域点的某邻域 UR x0 内具有直到内具有直到n 1阶连续导数阶连续导数 则当则当x取取UR x0 内任何值内任何值时时 f x 可按可按 x x0 的方幂展开为的方幂展开为 f x f x0 f x0 x x0 在在x0与与x之间之间 Rn x 公式公式 1 称为函数称为函数 f x 在在x0处的处的泰勒公式泰勒公式 1 Rn x 称为称为拉格朗日拉格朗日 Lagrange 余项余项 泰勒系数泰勒系数 0 k xf a k k k 0 1 2 n 是唯一的是唯一的 1 0 1 n xx n n n xx n xf 0 0 2 0 0 2 xx xf 设设 f x f x0 f x0 x x0 k 证证由于由于f x 在在UR x0 内具有内具有n 1阶连续导数阶连续导数 作辅助函数作辅助函数 t f x f t f t x t 2 2 tx tf 1 1 nn n tx n k tx n tf x 0 x0 不妨设不妨设 x0 x时同理可证时同理可证 1 0 1 1 n n n xx n f xR n n x n f x f 0 2 0 2 1 1 1 n n n x n f xR 其中其中 f x f 0 f 0 x 1 当当x0 0时时 在在0与与x之间之间 或令或令 x 0 1 则则 Rn x 1 1 1 n n n x n xf xR 称为函数称为函数 f x 的的麦克劳林麦克劳林 Maclaurin 公式公式 2 0 0 2 xx xf n n xx n xf 0 0 2 f x f x0 f x0 x x0 其误差为其误差为 Rn x 解解 0 xR k x n n k k 1 1 n x n x n e xR 例例1 求求f x e x 在 在x 0的的n阶阶泰勒公式泰勒公式 因为因为 f n x e x n 1 2 3 所以所以 f n 0 e 0 1 n 1 2 3 于是于是 f x e x 在 在x 0的的n阶阶泰勒公式为泰勒公式为 1 2 1 1 2 xRx n xxe n nx 其中其中 0 1 定义定义 如果函数如果函数f x 在在x0的某邻域内是存在的某邻域内是存在任意阶任意阶 导数导数 则幂级数则幂级数 称为函数称为函数f x 在在x0处的处的泰勒级数泰勒级数 2 0 0 2 xx xf f x0 f x0 x x0 n n xx n xf 0 0 二二 泰勒级数泰勒级数 0 0 0 n n n xx n xf 称为函数称为函数 f x 的的麦克劳林级数麦克劳林级数 n n x n f x f xff 0 2 0 0 0 2 0 0 n n n x n f 问题问题 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f x 不一定不一定 解解 2 sin n xxf n 2 sin 0 n f n 2 例例2 求求 f x sinx在在x 0的的泰勒级数泰勒级数 当当n 2k时时 f 2k 0 sin k 0 k 0 1 2 当当n 2k 1时时 f 2k 1 0 sin k 1 k 得得 因因 12 32 lim lim 12 32 1 n x n x xu xu n n n n n n 0 于是于是 R 0 0 n n n x n f 0 12 12 1 k k k k x 22 32 lim 2 nn x n 0 12 12 1 n n n n x 定理定理2 f x 在在x0点的点的泰勒级数泰勒级数在在UR x0 内收敛于内收敛于f x 在在UR x0 内内 Rn x 0 12 1 5 1 3 1 12 53 n x xxx n n 32 lim lim 32 32 n n n n n x n f xR 32 lim 32 n x n n 0 所以所以 sin x 0 0 lim xRn n 0 0 n n n x n f 0 12 12 1 n n n n x 0 12 12 1 n n n n x 其中其中收敛区间为收敛区间为 x 32 sin lim 32 32 n n n x n 即即 x y O 麦克劳林多项式麦克劳林多项式逼近逼近sin x 3 3 x xy 5 3 53 xx xy 7 5 3 753 xxx xy 9 7 5 3 9753 xxxx xy 12 1 5 3 sin 12 1 53 n xxx xx n n y sinx y x 7 7 初等函数的幂级数展开式 一一 直接法直接法 泰勒级数法泰勒级数法 二二 间接法间接法 三三 常见函数的幂级数展开式常见函数的幂级数展开式 步骤步骤 0 lim xRn n 1 求求 f n x n 0 1 2 4 讨论讨论 并求出其收敛区间并求出其收敛区间 3 写出幂级数写出幂级数 利用利用泰勒公式泰勒公式或或麦克劳林公式麦克劳林公式将将f x 展开为幂级数展开为幂级数 n n n xx n xf 0 1 0 若若为为0 则幂级数在此则幂级数在此收敛收敛区间内等区间内等于于函数函数 f x 若若不为不为0 则幂级数虽然则幂级数虽然收敛收敛 但它的但它的和不是和不是 f x 一一 直接法直接法 泰勒级数法泰勒级数法 2 计算计算 an f n x0 n 0 1 2 解解 0 n n n x 1 1 n x x n e 例例1 将将 f x e x 在展开成 在展开成 x的幂级数的幂级数 因因 f n x e x n 1 2 3 f n 0 e 0 1 于是于是 f x e x 在 在x 0的的麦克劳林级数麦克劳林级数为为 n x n xx 1 2 1 1 2 其中其中 1 1 1 n n n x n xf xR 0 1 1 lim lim 1 n x n n n x n e xR 1 lim 1 n x e n n x 0 所以所以 e x 1 x 0 n n n x x n x n x 1 2 1 2 0 lim xRn n 收敛收敛区间为区间为 nnkkn nnnn bnabba k knnn ba nn bnaaba 1 221 1 1 2 1 二项展开式二项展开式 nxn 1 x n 1 x n 1 nx k x n knnn x nn 1 1 2 1 2 1 x 1 x n x n n x 1 1 2 1 2 解解 lim 1 n n n a a R 例例2 将将 f x 1 x 展开成展开成 x的幂级数的幂级数 n 0 1 2 f n 0 1 2 n 1 1 0 0 n n n x n f 得得 1 x n 1 2 n 1 1 x n 0