河南2016中考专题——中点问题

1 20162016 河南中考专题河南中考专题 中点专题中点专题 一 中线分面积相等两部分 1 用三种不同的方法把一个三角形四等分 练习应用 1 探索 在图 1 至图 3 中 已知 ABC 的面积为 a 1 如图 1 延长 ABC 的边 BC 到点 D 使 CD BC 连接 DA 若 ACD 得面积为 S1 则 S1 用含 a 的代数式表示 2 如图 2 延长 ABC 的边 BC 到点 D 延长边 CA 到点 E 使 CD BC AE CA 连接 DE 若 DEC 得面积为 S2 则 S2 用含 a 的代数式表示 3 在图 2 的基础上延长 AB 到点 F 使 BF AB 连接 FD FE 得到 DEF 如图三 若阴影部分的面积为 S3 则 S3 用含 a 的代数式表示 运用上诉 2 的 结论写出理由 发现 像上面一样 将 ABC 各边均顺次延长一倍 连接所得端点 得到 DEF 如 图三 此时 称 ABC 向外扩展了一次 可以发现 扩展一次后得到的 DEF 的面 积是原来 ABC 面积的 倍 应用 要在一块足够的大的空地上栽种花卉 工程人员进行了如下的团设计 首先 在 ABC 的空地上种红花 然后将 ABC 向外扩展三次 图四已给出了前两次扩 展的图案 在第一次扩展区域内种黄花 第二次种紫花 第三次种蓝花 如果红 花的区域 ABC 的面积是 10 平方米 运用上诉结论求出 1 紫花区域的面 积 2 蓝花区域的面积 2 E G F H 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD AB BC CD 的中点 2 1 如图 1 四边形 EBFD 与四边形 ABCD 的面积关系 2 如图 2 若阴影面积为 20 则 S1 S2 S3 S4 3 定义 我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做 友好三角形 性质 如果两个三角形是 友好三角形 那么这两个三角形的面积相等 理解 如图 在中 CD 是 AB 边上的中线 那么和 是 友好三角形 并且 应用 如图 在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 6 点 E 在 AD 上 点 F 在 BC 上 AE BF AF 与 BE 交于点 O 1 求证 和是 友好三角形 2 连接 OD 若和是 友好三角形 求四边形 CDOF 的面积 探究 在中 AB 4 点 D 在线段 AB 上 连接 CD 和是 友好三角形 将沿 CD 所在直线翻折 得到 与重合部分的面积等于面积的 请直接写出 的面积 3 二 直角三角形与等腰三角形 4 已知 如图 四边形 ABCD 中 角 ABC 角 ADC 90 M 是 AC 的中点 求证 MD MB 5 在 Rt POQ 中 OP OQ 4 M 是 PQ 的中点 把一三角尺的直角顶点放在点 M 处 以 M 为旋转中心 旋转三角尺 三角尺的两直角边与 POQ 的两直角边分 别交于点 A B 1 求证 MA MB 2 连接 AB 探究 在旋转三角尺的过程中 AOB 的周长是否存在最小值 若存在 求出最小值 若不 存在 请说明理由 4 6 阅读材料 如图 ABC 与 DEF 都是等腰直角三角形 ACB EDF 90 且点 D 在 AB 边上 AB EF 的中点均为 O 连结 BF CD CO 显然点 C F O 在同一条直 线上 可以证明 BOF COD 则 BF CD 解决问题 1 将图 中的 Rt DEF 绕点 O 旋转得到图 猜想此时线段 BF 与 CD 的数量关 系 并证明你的结论 2 如图 若 ABC 与 DEF 都是等边三角形 AB EF 的中点均为 O 上述 1 中的结论仍然成立吗 如果成立 请说明理由 如不成立 请求出 BF 与 CD 之 间的数量关系 3 如图 若 ABC 与 DEF 都是等腰三角形 AB EF 的中点均为 0 且顶角 ACB EDF 请直接写出 BF CD 的值 用含 的式子表示出来 练习 7 如图 DE 为 ABC 的中位线 点 F 在 DE 上 且 AFB 90 若 AB 5 BC 8 则 EF 的长为 8 2013 鄂州 著名画家达芬奇不仅画艺超群 同时还 是一个数学家 发明家 他曾经设计过一种圆规如图所示 有两个互相垂直的滑槽 滑槽宽度忽略不计 一根没有 弹性的木棒的两端 A B 能在滑槽内自由滑动 将笔插入位 于木棒中点 P 处的小孔中 随着木棒的滑动就可以画出一 个圆来 若 AB 20cm 则画出的圆的半径为 cm 5 9 如图 在 ABC 中 ABC 90 BD 为 AC 的中线 过点 C 作 CE BD 于点 E 过 点 A 作 BD 的平 行线 交 CE 的延长线于点 F 在 AF 的延长线上截取 FG BD 连接 BG DF 若 AG 13 CF 6 则四边形 BDFG 的周长为 10 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 6 D 为 BC 的中点 1 若 E F 分别是 AB AC 上的点 且 AE CF 求证 AED CFD 2 当点 F E 分别从 C A 两点同时出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿 CA AB 运动 到点 A B 时停止 设 DEF 的面积为 y F 点运动的时间为 x 求 y 与 x 的函数关系式 3 在 2 的条件下 点 F E 分别沿 CA AB 的延长线继续运动 求此时 y 与 x 的函数关系式 11 在梯形 ABCD 中 AD 平行 BC DCB 45 CD 2 BD CD 过点 C 作 CE AB 于 E 交对角线 BD 于 F 点 G 为 BC 的中点 连接 EG AF 1 求 EG 的长 2 求证 CF AB AF 6 三 倍长中线类型 13 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 3 AD 4 ABC 60 过 BC 的中点 E 作 EF AB 垂足为 F 与 DC 的延长线相交于点 H 则 DEF 的面积是多少 7 四 见中点或等分点做平行用相似 14 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 连接 EF 并延长 分别与 BA CD 的延长线交于点 M N 则 BMN CNE 不必证明 温馨提示 在图 1 中 连接 BD 取 BD 的中点 H 连接 HE HF 根据三角形中位线 定理 证明 HE HF 从而 1 2 再利用平行线的性质 可证明 BMN AB D 点在 AC 上 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 连接 EF 并延长 与 BA 的延长线交于点 G 若 EFG 600 连接 GD 判断 三角形 AGD 形状并证明 8 15 已知 在 AOB 与 COD 中 OA OB OC OD 1 如图 1 点 C D 分别在边 OA OB 上 连结 AD BC 点 M