有理数的乘除(提高)

地址 北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话 010 82025511 传真 010 82079687 第 1 页 共 9 页 有理数的乘除法 提高 有理数的乘除法 提高 撰稿 吴婷婷 审稿 常春芳 学习目标学习目标 1 会根据有理数的乘法法则进行乘法运算 并运用相关运算律进行简算 2 理解乘法与除法的逆运算关系 会进行有理数除法运算 3 巩固倒数的概念 能进行简单有理数的加 减 乘 除混合运算 4 培养观察 分析 归纳及运算能力 要点梳理要点梳理 要点一 有理数的乘法要点一 有理数的乘法 1 有理数的乘法法则 1 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 2 任何数与 0 相乘 积为 0 要点诠释 要点诠释 1 不为 0 的两数相乘 先确定符号 再把绝对值相乘 2 当因数中有负号时 必须用括号括起来 如 2 与 3 的乘积 应列为 2 3 不应该写成 2 3 2 有理数的乘法法则的推广 1 多个不为 0 的有理数相乘时 可以先确定积的符号 再将绝对值相乘 2 几个数相乘 如果有一个乘数为 0 那么积就等于 0 要点诠释 要点诠释 1 在有理数的乘法中 每一个乘数都叫做一个因数 2 几个不等于 0 的有理数相乘 积的符号由负因数的个数决定 当负因数有奇数个时 积为负 当负因数的个数有偶数个时 积为正 3 几个数相乘 如果有一个因数为 0 那么积就等于 0 反之 如果积为 0 那么至少有 一个因数为 0 3 倒数的意义 若两个有理数的乘积为 1 就称这两个有理数互为倒数 要点诠释 要点诠释 1 互为倒数 的两个数是互相依存的 如 2 的倒数是 2 和是互 1 2 1 2 相依存的 2 0 和任何数相乘都不等于 1 因此 0 没有倒数 3 倒数的结果必须化成最简形式 使分母中不含小数和分数 4 互为倒数的两个数必定同号 同为正数或同为负数 4 有理数的乘法运算律 1 乘法交换律 两个数相乘 交换因数的位置 积不变 即 a b b a 2 乘法结合律 三个数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积不 变 即 a b c a b c 3 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 再把 积相加 即 a b c a b a c 要点诠释 要点诠释 1 在交换因数的位置时 要连同符号一起交换 2 乘法运算律可推广为 三个以上的有理数相乘 可以任意交换因数的位置 或者把 其中的几个因数相乘 如 abcd d ac b 一个数同几个数的和相乘 等于把这个数分别同 这几个数相乘 再把积相加 如 a b c d ab ac ad 3 运用运算律的目的是 简化运算 有时 根据需要可以把运算律 顺用 也可以 把运算律 逆用 要点二 有理数的除法要点二 有理数的除法 有理数除法法则 地址 北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话 010 82025511 传真 010 82079687 第 2 页 共 9 页 法则一 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0 法则二 除以一个数 不等于 0 等于乘以这个数的倒数 即 1 0 abab b A 要点诠释 要点诠释 1 一般在能整除时应用法则一方便些 在不能整除的情况下应用法则二 2 因为 0 没有倒数 所以 0 不能当除数 3 法则一与有理数乘法法则相似 两数相除时先确定商的符号 再确定商的绝对 值 要点三 有理数的乘除混合运算要点三 有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算 应按从左往右的顺序计算 一般先将除法化成乘法 然后确 定积的符号 最后算出结果 要点四 有理数的加减乘除混合运算要点四 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算 如无括号 则按照 先乘除 后加减 的顺序进行 如 有括号 则先算括号里面的 典型例题典型例题 类型一 有理数的乘法运算类型一 有理数的乘法运算 1 计算 1 54 3 1 0 25 65 2 1 2 2 3 3 4 19 20 3 5 8 1 3 14 0 答案与解析 几个不等于零的数相乘 首先确定积的符号 然后把绝对值相乘 因数是 小数的要化为分数 是带分数的通常化为假分数 以便能约分 几个数相乘 有一个因数 为零 积就为零 解 1 54 3 1 0 25 65 5919 3 6548 2 1 2 2 3 3 4 19 20 19 1 1 1 1 1 个 1 相乘 3 5 8 1 3 14 0 0 总结升华 几个不等于零的数相乘 积的符号由负因数的个数确定 与正因数的个数无 关 当因数中有一个数为 0 时 积为 0 但注意第一个负因数可以不用括号 但是后面的 负因子必须加括号 2 运用简便方法计算 1 2 1 0 25 0 534 5 24511 27 188 39271717 答案与解析 根据题目特点 1 可以先用乘法交换律把与 4 相乘 再运用乘法结0 25 合律将与相乘 2 计算的值可运用分配律 计算0 5 1 3 5 245 27 3927 的值则可逆用分配律 11 188 1717 地址 北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话 010 82025511 传真 010 82079687 第 3 页 共 9 页 解 1 原式 161168 0 25 0 54 0 25 4 5255 2 24511 27 188 39271717 24511 2727 27 188 39271717 11 18 125 1 8 1717 3 总结升华 首先要观察几个因数之间的关系和特点 适当运用 凑整法 进行交换和结 合 举一反三 举一反三 变式 用简便方法计算 1 2215 130 34 13 0 34 3737 2 3 14 35 26 28 23 3 1 57 36 4 答案 解 1 原式 2125 13 13 0 340 34 3377 2125 13 0 34 3377 13 1 0 34 1 130 3413 34 2 3 14 35 26 28 23 3 1 57 36 4 3 14 35 2 3 14 2 23 3 3 14 18 2 3 14 35 2 46 6 18 2 3 14 100 314 类型二 有理数的除法运算类型二 有理数的除法运算 3 计算 17 49 2 3 33 思路点拨 对于乘除混合运算 首先由负数的个数确定结果的符号 同时应将小数化成 分数 带分数化成假分数 算式化成连乘积的形式 再进行约分 但要注意除法没有分配 律 答案与解析 地址 北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话 010 82025511 传真 010 82079687 第 4 页 共 9 页 解 17 49 2 3 33 331 49 773 331 493 773 总结升华 进行乘除混合运算时 往往先将除法转化为乘法 再确定积的符号 最后求 出结果 举一反三 举一反三 高清课堂 有理数乘除高清课堂 有理数乘除 3 381226 有理数除法例有理数除法例 1 3 变式 计算 111 3 2 1 335 答案 解 原式 103525 37621 类型三 有理数的乘除混合运算类型三 有理数的乘除混合运算 4 计算 94 81 16 49 答案与解析 在有理数的乘除运算中 应按从左到右的运算顺序进行运算 94441 81 16 811 499916 总结升华 在有理数的乘除运算中 可先将除法运算转化为乘法运算 乘除运算是同一 级运算 再应按从左到右的顺序进行 举一反三 举一反三 变式 计算 144 10 2 893 答案 解 144 10 2 893 194181941243 10 8432843216 类型四 有理数的加减乘除混合运算类型四 有理数的加减乘除混合运算 5 计算 12112 3031065 答案与解析 解 方法 1 12112 3031065 12035 121 303010 方法 2 21121 3106530 2112 30 10 31065 所以 121121 303106510 总结升华 除法没有分配律 在进行有理数的除法运算时 若除数是和的形式 一般先 地址 北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话 010 82025511 传真 010 82079687 第 5 页 共 9 页 算括号内的 然后再进行除法运算 也可以仿照方法 2 利用倒数关系巧妙解决 如果按 a b c a b a c 进行分配就错了 举一反三 举一反三 变式 1 2 21121 3106530 753 18 1 45 63 95 6 9618 答案 1 原式 2112 30 2035 1210 31065 2 原式 753 1818181 45 63 95 6 9618 14 153 1 453 95 6 22 5 617 类型五 含绝对值的化简类型五 含绝对值的化简 6 已知 a b c 为不等于零的有理数 你能求出的值吗 abc abc 思路点拨 当 a b c 分别大于 0 时 当 a b c 分别小 1 a a 1 b b 1 c c 于 0 时 1 a a 1 b b 1 c c 答案与解析 解 分四种情况 1 当 a b c 三个数都为正数时 1 1 13 abcabc abcabc 2 当 a b c 三个数中有两个为正数 一个为负数时 不妨设 a 为负数 b c 为正数 1 1 11 abcabc abcabc 3 当 a b c 三个数中有一个为正数 两个为负数时 不妨设 a 为正数 b c 为负数 1 1 11 abcabc abcabc 4 当 a b c 三个数都为负数时 1 1 1 3 abcabc abcabc 综上 的值为 abc abc 3 3 1 1 总结升华 在含有绝对值的式子中 当不知道绝对值里面的数的正负时 需分类讨论 举一反三 举一反三 高清课堂 有理数乘除高清课堂 有理数乘除 381226 有理数除法例有理数除法例 2 地址 北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话 010 82025511 传真 010 82079687 第 6 页 共 9 页 变式 计算的取值 ab ab 答案 解 1 当 a 0 b 0 时 1 12 ab ab 原式 2 当 a 0 b 0 时 1 12 ab ab 原式 3 当 a 0 b 0 时 1 10 ab ab 原式 4 当 a 0 b 0 时 1 10 ab ab 原式 综上 的值为 ab ab 2 2 0 巩固练习巩固练习 一 选择题一 选择题 1 若 a c 0 b 则 abc 与 0 的大小关系是 A abc 0 B abc 0 C abc 0D 无法确定 2 若 x 1 y 2 z 3 0 则 x 1 y 2 z 3 的值为 A 48 B 48 C 0 D xyz 3 已知 a 0 1 b 0 则 a ab ab2由小到大的排列顺序是 A a ab ab2 B ab2 ab a C a ab2 ab D ab a ab2 4 若 是一种数学运算符号 并且 1 1 2 2 1 3 3 2 1 4 4 3 2 1 则的值是为 100 98 A B 99 C 9900 D 2 50 40 5 下列计算 0 5 5 3 9 12 293 342 若 则 x 的倒数是 6 其中正确的个数是 36 9 4 2 3x A 1 B 2 C 3 D 4 6 一个纸环链 纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列 截去其中的一部分 剩下部分如图所 示 则被截去部分纸环的个数可能是 A 2010B 2011C 2012D 2013 地址 北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话 010 82025511 传真 010 82079687 第 7 页 共 9 页 7 已知世运会 亚运会 奥运会分别于公元 2009 年 2010 年 2012 年举办 若这三项运 动会均每四年举办一次 则这三项运动会均不在下列哪一年举办 A 公元 2070 年 B 公元 2071 年 C 公元 2072 年 D 公元 2073 年 二 填空题二 填空题 8 计算 12 7 32 16 4 之值为 9 已知 且 则的值是 4x 1 2 y 0 xy x y 10 如果 则化简 0yx xxy xxy 11 某商场销售一款服装 每件标价 150 元 若以八折销售 仍可获利 30 元 则这款服装 每件的进价为 元 12 在与它的倒数之间有个整数 在与它的相反数之间有个整数 则3 5a3 5b 2abab 13 如果有理数都不为 0 且它们的积的绝对值等于它们积得相反数 则 a b c d 中最少有 个负数 最多有 个负数 a b c d 三 解答题三 解答题 14 计算 1 117313 48 126424 2 11 370 0 25 24 5 25 5 42 3 15 3 3 8 11 2 36 4 9 4 2 5 2004 1 1 1 2003 1 1 5 1 4 1 1 1 3 1 2 1 1 6 2004 20032003 2003 2004200404 15 受金融危机的影响 华盛公司去年 1 3 月平均每月亏损 15 万元 4 6 月平均每月盈 利 20 万元 7 10 月平均每月盈利 17 万元 11 12 月平均每月亏损 23 万元这个公司决定 若平均每月盈利在 3 万元以上 则继续做原来的生产项目 否则要改做其他项目 请你帮 助该公司进行决策是否要改做其他项目 并说明你的理由 16 用计算器计算下列各式 将结果写在横线上 999 21 999 22 999 23 红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫 地址 北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话 010 82025511 传真 010 82079687 第 8 页 共 9 页 999 24 1 你发现了什么规律 请用字母 为正整数 表示 nn 2 不用计算器 直接写出结果 999 29 答案与解析答案与解析 一 选择题一 选择题 1 答案 C 解析 abc 中负因子的个数有两个 所以最后的积应为正的 2 答案 B 解析 由 x 1 y 2 z 3 0 可求得 x 1 y 2 z 3 所以 x 1 y 2 z 3 2 4 6 48 3 答案 C 解析 利用特殊值法 取 a 2 b 则 ab 2 易 1 2 1 2 1 2 1 2 ab 比较得到 4 答案 C 解析 这类问题需根据题中所给的运算法则计算即可 100 100 99 98 2 1 98 98 97 2 1 故原式 100 99 9900 5 答案 B 解析 正确 6 答案 D 解析 从图可得 截下的部分应该为 蓝 紫 红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 蓝 紫 红 每5 个一个循环 总个数应该是被5 除余3 的数 所以答案应为 2013 7 答案 B 解析 由已知 我们可总结出每 4 年举办一次 只要每个选项与 2009 2010 2012 的 差有一个是 4 的倍数 则能在这一年举办某项运动会 否则这三项运动会均不在这一年举 办 二 填空题二 填空题 8 答案 232 解析 原式 12 224 4 232 9 答案 8 解析 因为 x 4 所以 x 4 或 4 同理 或 又因为 所以 1 2 y 1 2 0 xy x y 异号 所以 8 x y 10 答案 0 解析 所以和为 0 0 1 x x x 0 0 1 xy xy xy 11