江苏省七市2019届高三第二次调研考试数学试题

1 南通 泰州 扬州 徐州 淮安 宿迁 连云港 2019 届高三第二次调研测试 数学试题数学试题 你有能力拿到的分数你有能力拿到的分数 1 1 1313 1515 1717 1818 1 1 2 2 1919 1 1 2 2 20 1 2 20 1 2 共计共计 133133 分分 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 1 已知集合 若 则实数 a 的值为 1 3 Aa 4 5 B AB I 4 答案 4 解析解析 因为 所以 则a 4 AB I 4 4A 2 复数 为虚数单位 的实部为 2i 2i z i 答案 2 5 解析解析 所以实部为 2i2 2 24 2i 2 2 55 ii zi ii 2 5 3 某单位普通职工和行政人员共 280 人 为了解他们在 学习强国 APP 平台上的 学习情况 现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为 56 的样本 已知从普通职 工中抽取的人数为 49 则该单位行政人员的人数为 答案 35 解析解析 抽取的比例为 所以普通职工的人数为 49 5 245 则 561 2805 行政人员的人数为 280 245 35 4 从甲 乙 丙 丁这 4 名学生中随机选派 2 人参加植树活动 则甲 乙两人中恰 有 1 人被选中的概率为 答案 2 3 解析解析 随机选派 2 人 共有 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 共 6 种 Comment 1 原解称为解析 1 2 甲 乙两人中恰有 1 人被选中的有 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 4 种 所以所求事件的概率为 P 4 2 63 5 执行如图所示的伪代码 则输出的 S 的值为 答案 30 解析解析 第 1 步 第 2 步 S 6 i 3 2 5 S 1 2 2i 1 2 3 2 3 第 3 步 S 30 i 5 2 7 退出循环 所以输出 S 30 6 5 解后总结 处理流程图问题 关键在于遵循按部就班的原则 写出每次循环时的 S 和 i 值 同时要注意对循环条件的判定 6 函数的定义域为 416 x y 答案 2 解析解析 由 16 0 得 16 42 解得 x 2 所以函数的定义域为 4x4x 2 7 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象 则的值为 2sin3yx 12 yf x 3 f 答案 2 解析解析 1 1 由题意可知 所以 2sin 3 2sin 3 124 yf xxx 2sin 3 2sin2 3344 f 解析解析 2 2 根据图象平移前后的关系 的值应和中时 值相等 3 f2sin3yx 312 x y Comment 2 此处增加解析 2 Comment 3 误区警示增加一话 3 所以 2sin3 2 3312 f 误区警示 图象的平移变换要按照 左加右减 的原则 若x 前面有系数 需要提取系 数 而解析2 则可能避开可能在这方面犯的错误 8 在平面直角坐标系中 已知双曲线的右顶点到渐近线xOy 2 2 22 1 00 y x ab ab 2 0 A 的 距离为 则 b 的值为 2 答案 2 解析解析 因为双曲线的右顶点为 A 2 0 所以 a 2 双曲线的渐近线的方程为 即 因为右顶点到渐近线的 2 b yx 20bxy 2 0 A 距离为 则有 即 解得 b 2 2 2 2 2 4 b b 22 428bb 9 在 ABC 中 已知 C 120 sinB 2 sinA 且 ABC 的面积为 则 AB 的长2 3 为 答案 2 7 解析解析 设角 A B C 的对边分别为 a b c 因为 sinB 2 sinA 由正弦定理得 b 2a 因为 ABC 的面积为 所以 S 解得 a 2 所以 b 4 则2 3 231 sin1202 3 22 aba AB c 22 2cos416224cos1202 7ababC 10 设 P A B C 为球 O 表面上的四个点 PA PB PC 两两垂直 且 PA 2 m PB 3 m PC 4 m 则球 O 的表面积为 m2 Comment 4 此处由符号必为汉字 Comment 5 此处由符号改为汉字 4 答案 29 解析解析 根据题意 可知三棱锥 P ABC 是长方体的一个角 如图所示 该长方体的 外接球就是经过 P A B C 四点的球 因为 PA 2 PB 3 PC 4 所以 长方体的体对角线的长为即外接球的直径 2R 可得 222 29PAPBPC 29 R 因此外接球的表面积为 S 4 R2 4 29 29 2 2 29 2 解后反思解后反思 几何体的内接球问题 关键要找到球心所在的位置 进而确定半径的值 几何体的内接球问题 关键要找到球心所在的位置 进而确定半径的值 本题 抓住本题 抓住 PA PB PC 两两垂直 将其补形成一个长方体 从而转化为长方体的外 接球的问题 这一类题在各类考题中常有出现 同学们一定要掌握其方法 11 定义在R 上的奇函数满足 且在区间上 f x 4 f xf x 24 223 4 34 xx f x xx 则函数的零点的个数为 5 logyf xx 答案 5 解析解析 因为 可得是周期为4 的奇函数 先画出函数f x 在区间 4 f xf x f x 上的图象 根据奇函数和周期为4 可以画出f x 在 R 上的图象 由 24 0 得 分别画出和的图象 如下图 由 f 5 5 logyf xx 5 logf xx yf x 5 logyx f 1 1 而 5 log 51 而可以得到两个图象有 5 个交 5 3 1 1 log31 ff 55 7 1 1 log7log 7 1 ff 而 点 所以零点的个数为 5 5 解后反思 本题考查了函数的零点问题 以及函数的奇偶性和周期性 考查了转化 与化归 数形结合的思想 函数的零数问题 常转化为函数的图象的交点个数来处理 其中能根据函数的性质作出函数的图象并能灵活地运用图象 找到临界问题是解题的 关键也是难点 12 已知关于 的不等式 a b c R 的解集为 x 3 x 4 则的x 2 0axbxc 2 5c ab 最小值为 思路分析 先根据一元二次不等式的解集 确定 a 0 以及 a b c 的关系 再将所求运用消元 2 5c ab 法 统一成单变量 a 的函数问题 运用基本不等式求最值 答案 4 5 解析解析 依题意得 且 3 和 4 方程 的两根 即 则 0a 2 0axbxc 7 12 b a c a 7 12 ba ca 所以 当且仅当 即 2 5c ab 22 1445144555 242244 5 7666 aa aa aaaaa 2 1445a 时取等号 所以所求最小值为 5 12 a 4 5 误区警示 运用基本不等式求最值要注意 一正 二定 三相等 这里 a 0 要转化为正数 再 求最值 13 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A B 在圆上 且 点 22 4xy 2 2AB 6 P 3 1 设的中点M 的横坐标为 x0 则 x0的所有值为 16POPAPB uuu ruu ruur AB 思路分析 设出M 坐标为 x0 y0 由弦长 求得 OM 条件通过向量的线2 2AB 16POPAPB uuu ruu ruur 性运算转化为 通过上述两个条件 建立方程组 解得 x0的值 216PO PM uuu r uuu r 答案 1 1 5 解析解析 设 M x0 y0 由 AB 2 得 2 42 2OM 222 00 2OMxy 又 216POPAPBPO PM uuu ruu ruuruuu r uuu r 所以 0000 3 1 3 1 3108PO PMxyxy uuu r uuu r 由 解得 x0 1 或 22 00 00 2 32 xy yx 1 5 所以 x0的所有值为 1 1 5 解后反思 1 直线与圆相交的问题 要能充分利用好圆的几何性质 垂径定理是最常见的性质 圆心距是核心问题 通过圆心距可以求出弦长 而给出弦长 要能第一时间求出圆心 距 2 解析几何中的向量问题 往往是向量的坐标运算来处理 但往往需要先通过线性运 算后转化 再通过向量坐标运算来处理 14 已知集合 从集合 中取出个不同元 21 88 NNAx xkkBx xkk Am 素 其和记为 从集合 中取出 个不同元素 其和记为 若 则SBnT967ST 7 的最大值为 nm2 解后反思 由于 要使足够大 则 A 要取第 1 项到第 m 项 B 中要取第 1 项到第967ST nm2 n 项 从而得到 再运用基本不等式求最值 22 21 968mn 答案 44 解析解析 由于 则要使足够大 则 A 要取第 1 项到第 m 项 B 中要取967ST nm2 第 1 项到第 n 项 则有 1 3 5 2m 1 0 8 8 n 1 ST 即 根据基本不等式可得 2 1 21 0 88 4 1 967 22 mmnn mn n 22 21 968mn 此时 等号当且仅当 2222 21 2 21 193644mnmn 2144 245mnmn 即 此时 n 不是整数 故不成立 由于 m n 为正整数 当 m 22 n 11 时 满足题 2144mn 时成立 意 此时 m 2n 44 故的最小值为 44 nm2 解后反思 1 本题得到 m n 的不等式关系式后配方得到 运用基本不等式得到 22 21 968mn m 2n 1 的最小值为 44 进而得到 m 2n 的最小值为 45 但等号验证不成立 由于 m n 为正整数 可以考虑 m 2n 能否取到 44 通过验证不难得到结论 2 运用基本不等式求最值 不仅要掌握课本上的基本不等式 对其变形式 也要能灵活运用 本题正是运用了该不等式 才使得问题得 2 2222 22 abababab 以及 以解决 值得注意的是一定要验证等号成否成立 否则会导致错误 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 设向量 a b 其 cossin sin cos 66 中 0 2 1 若 a b 求 的值 8 2 若 求的值 1 tan2 7 a b 解 1 因为 a b 所以 2 分 coscos sinsin 0 66 所以 4 cos 2 0 6 分 因为 所以 0 2 7 2 666 于是 解得 6 分 2 62 6 2 因为 所以 又 故 0 2 02 1 tan20 7 2 2 因为 所以 sin21 tan2 cos27 cos27sin20 又 22 sin 2cos 21 解得 10 分 27 2 sin2cos2 1010 因此 12 分 a b cossin sincos sin 2 666 sin2 coscos2 sin 66 14 分 367 227 21 10210220 16 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 BCC1B1为正方形 A1B1 B1C1 设 A1C 与 AC1交于 点 D B1C 与 BC1交于点 E 求证 1 DE 平面 ABB1A1 2 BC1 平面 A1B1C 证明 1 因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 所以侧面 ACC1 A1为平行四边形 又 A1C 与 AC1交于点 D 所以 D 为 AC1的中点 同理 E 为 BC1的中点 所以 DE AB 3 分 A B C A1 B1 C1 E D 第 16 题 9 又 AB 平面 ABB1 A1 DE 平面 ABB1 A1 所以 DE 平面 ABB1A1 6 分 2 因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 所以 BB1 平面 A1B1C1 又因为 A1B1 平面 A1B1C1 所以 BB1 A1B1 8 分 又 A1B1 B1C1 BB1 B1C1 平面 BCC1B1 BB1 B1C1 B1 所以 A1B1 平面 BCC1B1 10 分 又因为 BC1 平面 BCC1B1 所以 A1B1 BC1 12 分 又因为侧面 BCC1B1为正方形 所以 BC1 B1C 又 A1B1 B1C B1 A1B1 B1C 平面 A1B1C 所以 BC1 平面 A1B1C 14 分 17 本小题满分 14 分 图 是一栋新农村别墅 它由上部屋顶和下部主体两部分组成 如图 屋顶由 四坡屋面构成 其中前后两坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形 左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全等的三角形 点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H M 已知 HM 5 m BC 10 m 梯形ABFE 的面积是 FBC 面积的 2 2 倍 设 FMH 0 4 1 求屋顶面积 S 关于 的函数关系式 2 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比 比例系数为k k 为正的常数 下部主 体造价与其高度成正比 比例系数为 16 k 现欲造一栋上 下总高度为 6 m 的别墅 试问 当 为何值时 总造价最低 10 17 思路分析 1 先通过线面垂直得到 FH HM 放在直角Rt FHM 中 求出 FM 根据三角形的面 积公式求出 FBC 的面积 根据已知条件就可以得到所求 S 关于 的函数关系式 2 先求出主体高度 进而建立出别墅总造价 y 关于 的函数的关系式 再通过导数法 求函数的最小值 解 1 由题意 FH 平面 ABCD FM BC 又因为 HM 平面 ABCD 得 FH HM 2 分 在 Rt FHM 中 HM 5 FMH 所以 4 分 5 cos FM 因此 FBC 的面积为 1525 10 2coscos 从而屋顶面积 22 V梯形FBCABFE SSS 2525160 222 2 coscoscos 所以 S 关于 的函数关系式为 6 分 160 cos S 0 4 2 在 Rt FHM 中 所以主体高度为 8 分5tan FH 65tan h 所以别墅总造价为16 yS khk 160 65tan 16 cos kk 16080sin 96 coscos kkk 10 分 2sin 8096 cos kk 记 2sin cos f 0 4 所以 2sin1 cos f 2 令 得 又 所以 12 分 0 f 1 sin 2 0 4 6 0 6 6 64 f 0 AB C D EF H M 11 列表 所以当时 有最小值 6 f 答 当 为 时该别墅总造价最低 14 分 6 解后反思 理解题意 建立出函数的关系式 是处理最优解类型应用问题的关键 第 1 问 抓住条件 梯形ABFE 的面积是 FBC 面积的 2 2 倍 只要用 表示 FBC 面积 即可得 到屋顶面积 第 2 问 需要先设出总造价为 y 元 抓住已知条件 求出主体高度 并结合第 1 问中求得的屋顶面积 就可以建立函数关系式 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C1 椭圆 C2 2 2 1 4 x y 2 2 22 1 0 y x ab ab C2与 C1的长轴长之比为 1 离心率相同 2 1 求椭圆 C2的标准方程 2 设点 为椭圆 C2上一点 P 射线与椭圆 C1依次交于点 求证 为定值 POAB PA PB 过点 作两条斜率分别为的直线 且直线与椭圆 C1均有且P 12 kk 12 ll 12 ll 只有一个公共点 求证 为定值 12 kk 思路分析 1 根据已知条件 求出 a b 的值 得到椭圆 C2的标准方程 f 3Z P A B 第 18 题 x y O 12 2 对直线 OP 斜率分不存在和存在两种情况讨论 当 OP 斜率存在时 设直线 OP 的方程为 并与椭圆 C1的方程联立 解得 P 点横坐标 同理求得 A 点横坐标 ykx 再通过弦长公式 求出的表达式 化简整理得到定值 PA PB 设 写出直线 的方程 并与椭圆 C1联立 得到 x 的一元二次方程 根据直 00 P xy 1 l 线 与椭圆 C1有且只有一个公共点 得到方程只有一解 即 整理得1 l0 V 同理得到 从而说明是一元二 222 010010 4 210 xkx y ky 222 020020 4 210 xkx y ky 12 kk 次方程的两个根 运用韦达定理 证得定值 解 1 设椭圆 C2的焦距为 2c 由题意 2 2a 3 2 c a 222 abc 解得 因此椭圆 C2的标准方程为 3 分2b 2 2 1 82 y x 2 1 当直线 OP 斜率不存在时 则 4 分21PA 21PB 21 32 2 21 PA PB 2 当直线 OP 斜率存在时 设直线 OP 的方程为 ykx 代入椭圆 C1的方程 消去 y 得 22 41 4kx 所以 同理 6 分 2 2 4 41 A x k 2 2 8 41 P x k 所以 由题意 同号 所以 22 2 PA xx PA xx与2 PA xx 从而 21 32 2 21 PAPA PBPA xxxx PA PBxxxx 所以为定值 8 分32 2 PA PB 设 所以直线 的方程为 即 00 P xy 1 l 010 yyk xx 1100 yk xk yx 记 则 的方程为 100 tk yx 1 l 1 yk xt 代入椭圆 C1的方程 消去 y 得 222 11 41 8440kxk txt 因为直线 与椭圆 C1有且只有一个公共点 1 l 所以 即 222 11 8 4 41 44 0k tkt V 22 1 410kt 将代入上式 整理得 12 分 100 tk yx 222 010010 4 210 xkx y ky 同理可得 222 020020 4 210 xkx y ky Comment 6 增加解后反思 Comment 7 增加解后反思 13 所以为关于 k 的方程的两根 12 kk 222 0000 4 210 xkx y ky 从而 14 分 2 0 12 2 0 1 4 y kk x 又点在椭圆 C2 上 所以 00 P xy 2 2 1 82 y x 22 00 1 2 4 yx 所以为定值 16 分 2 0 12 2 0 1 21 14 4 4 x kk x 解后反思 1 求时 只要计算横坐标之差即可 把斜线段之比转化为平行于 x 轴的线 PA PB 段之比 体现了化斜为直的思想 从变换的角度看 本题是两个同心圆压缩成椭圆得到 压缩前后对应线段比值不变 放在圆中很容易得到答案 2 证明 为定值 运用了方程的思想 得到的一元二次方程的两个根 12 kk 12 kk 巧妙地运用了韦达定理 值得注意的是本题变量比较多 计算也比较复杂 这里 我们通过换元 令 代入计算 最后再回代 大大简化了计算的过程 同样 100 tk yx 如果将椭圆拉伸为圆 不难看出 原两条切线就是互相垂直的直线 压缩成椭圆后斜 率之积变为定值了 2 2 b a 19 本小题满分 16 分 已知函数 21 2ln 2 f xxxaxa R 1 当时 求函数的极值 3a f x 2 设函数在处的切线方程为 若函数是上 f x 0 xx yg x yf xg x 0 的单调增函数 求的值 0 x 3 是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点 并说明理 yf x 由 14 思路分析 1 求导后通分 令 得到函数的的极值点 通过列表 得到函数的单调性 fx 0 进而确定函数的极值 2 先求出函数 f x 在处的切线方程 将是上 0 xx yg x yf xg x 0 的单调增函数转化为导数大于或等于 0 恒成立 通过两种方法处理恒成立问题 方法一 转化为一元二次不等式恒成立 结合函数图象 得到 确定的值 0 0 2 x x 0 x 方法二 分离出变量 转化求函数的最值问题 运用基本不等式求得函数的最小值 从而得到的不等式 解得的值 0 x 0 x 3 假设存在 设出两个切点坐标 根据导数的几何意义以及同一 111 T xy 222 T xy 切线 得到 的方程组 消去得到的方程 从而将问题转化为方程有两解的问 12 xx 2 x 1 x 题 通过导数法得到函数单调递增 否定两个解 从而得到所求切线不存在 解 1 当时 函数的定义域为 3a 21 2ln3 2 f xxxx 0 则 2 232 3 xx fxx xx 令得 或 2 分 fx 0 1x 2x 列表 所以函数的极大值为 极小值为 4 分 f x 5 1 2 f 2 2ln24f 2 依题意 切线方程为 0000 0 yfxxxf xx 从而 0000 0 g xfxxxf xx 记 p xf xg x x 01 1 12 2 2 fx 0 0 fx 极大值 极小 值 Comment 8 此处增加法 3 Comment 9 上一个式子中多了一个 逗号 已删除 15 则在上为单调增函数 000 p xf xf xfxxx 0 所以在上恒成立 0 0pxfxfx 0 即在上恒成立 8 分 0 0 22 0pxxx xx 0 法一 变形得在上恒成立 0 0 2 0 xxx x 0 所以 又 所以 10 分 0 0 2 x x 0 0 x 0 2x 法二 变形得在上恒成立 0 0 22 xx xx 0 因为 当且仅当时 等号成立 22 22 2xx xx 2x 所以 从而 所以 10 分 0 0 2 2 2x x 2 0 20 x 0 2x 法 3 由在上恒成立知在时取最小值 0 0pxfxfx 0 fx 0 xx 而 其导函数 2 fxxa x 2 2 2 x fx x 所以当时 为减函数 当时 为增 0 2 x 0fx fx 2 x 0fx fx 函数 所以当时 取得极小值也是最小值 2x fx 所以 10 分 0 2x 3 假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点 f x 111 T xy 222 T xy 不妨 则 处切线 的方程为 12 0 xx 1 T 1 l 111 yf xfxxx 处切线 的方程为 2 T 2 l 222 yf xfxxx 因为 为同一直线 所以 12 分 1 l 2 l 12 111222 fxfx f xx fxf xx fx 即 1 12 12 22 1111122222 12 22 1212 2ln2ln 22 xaxa xx xxaxxxaxxaxxxa xx 整理得 14 分 12 22 1122 2 11 2ln2ln 22 x x xxxx 消去得 2 x 22 11 2 1 2 2ln0 22 xx x 令 由与 得 2 1 2 x t 12 0 xx 12 2x x 01 t Comment 10 原稿此处有错误 Comment 11 原稿这里有错误 16 记 则 1 2lnp ttt t 2 22 1 21 10 t p t t tt 所以为上的单调减函数 所以 p t 01 1 0p tp 从而式不可能成立 所以假设不成立 从而不存在一条直线与函数的图象有 f x 两个不同的切点 16 分 解后反思解后反思 第第 3 问的论证运用了反证法 假设存在两个不同的切点 解题的难点在于导出矛盾 问的论证运用了反证法 假设存在两个不同的切点 解题的难点在于导出矛盾 根据已知条件 得到方程解的问题 通过构造函数 研究函数的单调性 得到方程最根据已知条件 得到方程解的问题 通过构造函数 研究函数的单调性 得到方程最 多一解 从而与假设矛盾 证得结论多一解 从而与假设矛盾 证得结论 20 本小题满分 16 分 已知数列的各项均不为零 设数列的前 n 项和为 Sn 数列的前 n 项和 n a n a 2 n a 为 Tn 且 2 340 nnn SST n N 1 求的值 12 aa 2 证明 数列是等比数列 n a 3 若对任意的恒成立 求实数 的所有值 1 0 nn nana n N 思路分析 1 对令 n 1 2 得到方程 解得的值 2 340 nnn SST 12 aa 2 对 n 赋值 作差消去 Tn 再对 n 赋值作差 消去 从而得到 2 340 nnn SST 中 n S 证得数列是等比数列 1 1 2 nn aa n a 3 先求出 由恒成立 确定适合 再运用反证法证明 1 1 2 n n a 1 0 nn nana 0 和不成立 0 0 解 1 因为 2 340 nnn SST n N 令 得 因为 所以 1n 22 111 340aaa 1 0a 1 1a Comment 12 原解称为 解法 1 Comment 13 此处增加解法 2 Comment 14 原解称为解法 1 17 令 得 即 2n 2 2 222 3 14 110aaa 2 22 20aa 因为 所以 3 2 0a 2 1 2 a 分 2 解法 1 因为 2 340 nnn SST 所以 2 111 340 nnn SST 得 2 1111 340 nnnnn SSaaa 因为 所以 5 分 1 0 n a 11 340 nnn SSa 所以 1 340 2 nnn SSan 当时 得 即 2n 11 30 nnnn aaaa 1 1 2 nn aa 因为 所以 0 n a 11 2 n n a a 又由 1 知 所以 1 1a 2 1 2 a 2 1 1 2 a a 所以数列是以 1 为首项 为公比的等比数列 8 分 n a 1 2 解法 2 因为 2 340 nnn SST 所以 2 111 340 nnn SST 得 2 1111 340 nnnnn SSaaa 因为 所以 1 0 n a 11 340 nnn SSa 所以 5 分 11 34 0 nnnn SSSS 整理为 又 1 212 323 nn SS 11 221 333 Sa 所以 得 1211 332 n n S 1112 323 n n S 当时 而也适合此式 2n 1 1 1 2 n nnn aSS 1 1a 所以 所以 11 2 n n a 11 2 n n a a 所以数列是以为公比的等比数列 8 分 n a 1 2 3 解法 1 由 2 知 1 1 2 n n a 因为对任意的 恒成立 n N 1 0 nn nana Comment 15 此处增加解法 2 Comment 16 此处增加解题反思 18 所以 的值介于和之间 1 1 2 n n 1 2 n n 因为对任意的恒成立 所以适合 10 分 1 11 0 22 nn nn n N0 若 当 为奇数时 恒成立 从而有0 n 1 11 22 nn nn 记 因为 2 4 2n n p nn 2 22 11 1 21 1 0 222 nnn n nnn p np n 所以 即 所以 4 1p np 2 1 2n n 1 2n n n 从而当时 有 所以不符 13 分 2 5nn 且 1 2 2n n n 0 若 当 为奇数时 恒成立 从而有恒成立 0 n 1 11 22 nn nn 2n n 由 式知 当时 有 所以不符 1 5nn 且 1 2n n n 0 综上 实数 的所有值为 0 16 分 解法 2 由 2 知 故 1 1 2 n n a 1 0 nn a a 所以当时 即 对任意的成立 符合题意 0 1 0 nn nana 2 1 0 nn n a a n N 10 分 因为对任意的 恒成立 n N 1 0 nn nana 所以对任意的大于 3 的偶数 即成立 n 1 0 nn nana 1 0 22 nn nn 亦即对任意的大于 3 的偶数 成立 13 分n 1 3 222 nnn nnn 先证 当时 4n 1 2n n n 记 因为 2 4 2n n p nn 2 22 11 1 21 1 0 222 nnn n nnn p np n 所以 即 所以 4 1p np 2 1 2n n 1 2n n n 所以对任意的大于 3 的偶数 成立 n 3 n 但若 当时 所以不合题意 0 3 n 3 n 0 综上 实数 的所有值为 0 16 分 解后反思 1 对于和的递推关系式 通常运用赋值作差法 消去 从而得到的递推关 n S n a n S n a 系式 也可消去 得到的关系式 特别要注意下标 n 的范围的确定 n a n S Comment 17 增加解后反思 Comment 18 原解称为法 1 19 2 第 3 问中 根据极限的理论可知当 由不等式恒成立 不n 1 0 2n n 1 2n n 难得到 但由于是解答题需要进行严格论证 当时 构造数列 0 0 2 4 2n n p nn 通过作差法研究 p n 的单调性 得到不等式 从而得到当时 有 1 2n n n 2 5nn 且 导出矛盾 否定 同理可证不成立 而解法 2 则是对解法 1 的 1 2 2n n n 0 0 改进 若对任意的恒成立的必要条件是对任意的大于 3 的偶数 1 0 nn nana n Nn 成立 这样避开了对实数 符号的讨论 1 22 nn nn 21 选做题 A 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知 m n R 向量是矩阵的属于特征值 3 的一个特征向量 求 1 1 1 2 m n M 矩阵 M 及另一个特征值 解 由题意得 即3 M 1113 2123 mm nn 所以即矩阵 5 分21 mn 12 21 M 矩阵的特征多项式 M 2 12 140 21 f 解得矩阵的另一个特征值为 10 分M1 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xOy 中 已知直线 的参数方程为 t 为参数 椭圆 C 的参l 1xt yt 数方程为 设直线 与椭圆 C 交于 A B 两点 求线段 AB 的 sin cos2 为参数 y x l 长 解 法 1 由题意得 直线 的普通方程为 l10 xy 椭圆 C 的普通方程为 4 分 2 2 1 2 x y Comment 19 此处增加法 2 20 由 联立 解得 A B 8 分 01 4 1 3 3 所以 10 分 22 4 241 01 333 AB 法 2 令消去 得 12cos sin t t 22 1 1 2 t t 解得或 5 分1t 1 3 t 取 得交点 取 得交点 1t 01 A 1 3 t 4 1 3 3 B 所以 10 分 22 4 241 01 333 AB C 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知 x y z 均是正实数 且求证 164 222 zyx6xyz 证 由柯西不等式得 5 分 2 22 22221 211 2 xyzxyz 因为 所以 222 416xyz 2 9 1636 4 xyz 所以 当且仅当 时取等号 10 分6xyz 2xyz 必做题必做题 第第 22 题题 第第 23 题题 每小题每小题 10 分分 共计共计 20 分分 22 本小题满分 10 分 如图 在四棱锥中 底面是矩形 平面 AB 1 AP AD ABCDP ABCD PAABCD 2 1 求直线与平面所成角的正弦值 PBPCD 2 若点 M N 分别在 AB PC 上 且平面 试确定点 M N 的位置 MNPCD 解 1 由题意知 AB AD AP 两两垂直 以为正交基底 建立如图所示的空间 AB AD AP uu u ruuu ruu u r 直角坐标系 则Axyz 1 0 0 1 2 0 0