基与正交基特征值与特征向量ppt课件.ppt

时间 年月日 星期 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 1 友情提示 本次课讲第五章第一 二节 向量组的内积与正交 特征值概念下次课讲第五章第二三节 特征值 相似矩阵与对角化下次上课时交作业P41 42 2 2 结论1 任何n个线性无关的n维向量都是向量空间Rn的一个基 由此可知Rn的维数为n 分析 因为任意n 1个n维向量线性相关 所以按照线性相关的线性表示定理 任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示 显然 n个无关向量可自身表示 故以上结论成立 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 3 4 向量由基线性表示的系数 坐标 3 过渡矩阵概念 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 4 例4 设 验证是R3的一个基 并求在这个基中的坐标 解 第十二讲 方程组解的解构与向量空间 5 且 第十二讲 方程组解的解构与向量空间 6 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 7 ii iii 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 8 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 9 2 齐次性 3 三角不等式 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 10 1 正交向量组的概念的引入 由此可得 向量的内积满足施瓦茨不等式 特殊地 零向量与任何向量都正交 2 正交向量组定义 如果向量组向量两两正交 则称为正交向量组 三 向量的正交与正交基 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 11 2 正交向量组的性质 无关性 即 同理可得 因此向量组线性无关 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 12 3 如何求与已知向量组正交的向量 组 4 正交基 1 正交基的定义 用正交向量组作向量空间的基 称为向量空间的正交基 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 13 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 14 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 15 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 16 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 而且 由正交化过程 显然A B两组向量可互相线性表示 17 再把单位化 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 18 例2已知求一组非零向量使两两正交 解 都应满足方程 即 得基础解系 取 及 及 把基础解系正交化 取 即为所求 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 19 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 20 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 21 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 22 亦即 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 23 正交矩阵的性质 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 24 四 特征值与特征向量的概念1 定义 设A是n阶矩阵 如果 和n维非零列向量x使关系式 1 成立 那么称数 为方阵A的特征值 非零向量x称为A对应于特征值 的特征向量 注意 定义的几个要点 1 A是n阶矩阵 即方阵 2 特征值 是数 3 特征向量x是非零向量 2 如何求特征值与特征向量 1 特征值的求法 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 25 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 26