集合(重点、难点、易错题完整版)

台州市孺子牛教育有限公司台州市孺子牛教育有限公司 学好数学千万不可把分数的看得过重 关键在于总结 仅供本公司学员使用 总部地址 台州市椒江区开元路 223 号 2 楼 答疑 QQ 1242226214 联系电话13736216865 1 集合与简易逻辑 重点 易错点 集合与简易逻辑 重点 易错点 一 一 集合元素具有确定性 无序性和互异性 在求有关集合问题时 尤其要注意元素的互异性尤其要注意元素的互异性 如如 1 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q 若 则 ab aP bQ 0 2 5 P 6 2 1 Q P Q 中元素的有 个 答 8 2 设 那么点 Ux yxR yR 20 Ax yxym Bx yxyn 0 的充要条件是 答 3 2 BCAP u 5 1 nm 3 非空集合 且满足 若 则 这样的共有 个 答 7 5 4 3 2 1 SSa Sa 6S 二 二 遇到时 你是否注意到 极端 情况 或 同样当时 你是否忘记AB A B AB 的情形 要注意到是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 如如 A 集合 且 则实数 答 10 Ax ax 2 320Bx xx ABB a 1 0 1 2 a 已知集合 A x x2 m 2 x 1 0 x R 若 A R 则实数 m 的取值范围是 答 m 4 三 三 对于含有个元素的有限集合 其子集 真子集 非空子集 非空真子集的个数依次为 nM n 2 12 n 如如 满足集合 M 有 个 12 n 2 2 n 1 2 1 2 3 4 5 M 答 7 四 四 集合的运算性质 ABABA ABBBA AB BCAC UU BABCA U BAUBACU U CAB UU C AC B 如 如 UUU CABC AC B 1 1 设全集 若 则 A 5 4 3 2 1 U 2 BA 4 BACU 5 1 BCAC UU B 答 2 3 A 2 4 B 2 设全集 U x 0 x0 O k x1 x2 x 台州市孺子牛教育有限公司台州市孺子牛教育有限公司 学好数学千万不可把分数的看得过重 关键在于总结 仅供本公司学员使用 总部地址 台州市椒江区开元路 223 号 2 楼 答疑 QQ 1242226214 联系电话13736216865 4 如 如 1 1 不等式的解集是 则 答 3 2 xax 4 ba 1 8 2 2 若关于的不等式的解集为 其中 则关于的不等x0 2 cbxax nm 0 nmx 式的解集为 答 0 2 abxcx 1 1 nm 3 3 不等式对恒成立 则实数的取值范围是 答 2 3210 xbx 1 2 x b 4 4 已知集合 且 求的取 2Axxa 23 By yxxA 2 Cz zxxA CB a 值范围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答 1 3 2 a 5 5 已知集合 22 230 0Ax xxBx xaxb 且 34ABR AB xx 34ABR ABxx 求a b 的值 答 a 3 b 4 集合 难点集合 难点 集合思想及应用 难点磁场 已知集合 A x y x2 mx y 2 0 B x y x y 1 0 且 0 x 2 如果 A B 求实数 m 的取值范围 案例探究 例 1 设 A x y y2 x 1 0 B x y 4x2 2x 2y 5 0 C x y y kx b 是否存在 k b N 使得 A B C 证明此结论 例 2 向 50 名学生调查对 A B 两事件的态度 有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分之三 其余的不 赞成 赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人 其余的不赞成 另外 对 A B 都不赞成的学生数比对 A B 都赞成的学生数 的三分之一多 1 人 问对 A B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人 锦囊妙计 1 解答集合问题 首先要正确理解集合有关概念 特别是集合中元素的三要素 对于用描述法给出的集合 x x P 要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P 要重视发挥图示法的作用 通过数形结合直 观地解决问题 2 注意空集的特殊性 在解题中 若未能指明集合非空时 要考虑到空集的可能性 如 AB 则有 A 或 A 两种可能 此时应分类讨论 难点训练 一 选择题 台州市孺子牛教育有限公司台州市孺子牛教育有限公司 学好数学千万不可把分数的看得过重 关键在于总结 仅供本公司学员使用 总部地址 台州市椒江区开元路 223 号 2 楼 答疑 QQ 1242226214 联系电话13736216865 5 1 集合 M x x k Z N x x k Z 则 42 kx 22 k A M NB M NC M ND M N 2 已知集合 A x 2 x 7 B x m 1 x 2m 1 且 B 若 A B A 则 A 3 m 4B 3 m 4 C 2 m 4D 20 b 0 当 A B 只有一个元素时 a b 的关系式是 b y a x 三 解答题 5 集合 A x x2 ax a2 19 0 B x log2 x2 5x 8 1 C x x2 2x 8 0 求当 a 取什么实数时 A B 和 A C 同时成立 6 已知 an 是等差数列 d 为公差且不为 0 a1和 d 均为实数 它的前 n 项和记作 Sn 设集合 A an n N n Sn B x y x2 y2 1 x y R 4 1 试问下列结论是否正确 如果正确 请给予证明 如果不正确 请举例说明 1 若以集合 A 中的元素作为点的坐标 则这些点都在同一条直线上 2 A B 至多有一个元素 3 当 a1 0 时 一定有 A B 7 已知集合 A z z 2 2 z C 集合 B w w zi b b R 当 A B B 时 求 b 的值 2 1 8 设 f x x2 px q A x x f x B x f f x x 1 求证 AB 2 如果 A 1 3 求 B 参考答案 难点磁场 解 由得 x2 m 1 x 1 0 20 01 02 2 xyx ymxx A B 方程 在区间 0 2 上至少有一个实数解 首先 由 m 1 2 4 0 得 m 3 或 m 1 当 m 3 时 由 x1 x2 m 1 0 及 x1x2 1 0 知 方程 只 有负根 不符合要求 当 m 1 时 由 x1 x2 m 1 0 及 x1x2 1 0 知 方程 只有正根 且必有一根在区间 0 1 内 从而方 程 至少有一个根在区间 0 2 内 故所求 m 的取值范围是 m 1 歼灭难点训练 一 1 解析 对 M 将 k 分成两类 k 2n 或 k 2n 1 n Z M x x n n Z x x 4 n n Z 对 N 将 k 分成四类 k 4n 或 k 4n 1 k 4n 2 k 4n 3 n Z N x x n n Z 4 3 2 x x n n Z x x n n Z x x n n Z 4 3 4 5 台州市孺子牛教育有限公司台州市孺子牛教育有限公司 学好数学千万不可把分数的看得过重 关键在于总结 仅供本公司学员使用 总部地址 台州市椒江区开元路 223 号 2 楼 答疑 QQ 1242226214 联系电话13736216865 6 答案 C 2 解析 A B A BA 又 B 即 2 m 4 121 712 21 mm m m 答案 D 二 3 a 0 或 a 8 9 4 解析 由 A B 只有 1 个交点知 圆 x2 y2 1 与直线 1 相切 则 1 即 ab b y a x 22 ba ab 22 ba 答案 ab 22 ba 三 5 解 log2 x2 5x 8 1 由此得 x2 5x 8 2 B 2 3 由 x2 2x 8 0 C 2 4 又 A C 2 和 4 都不是关于 x 的方程 x2 ax a2 19 0 的解 而 A B 即 A B 3 是关于 x 的方程 x2 ax a2 19 0 的解 可得 a 5 或 a 2 当 a 5 时 得 A 2 3 A C 2 这与 A C 不符合 所以 a 5 舍去 当 a 2 时 可以求得 A 3 5 符合 A C A B a 2 6 解 1 正确 在等差数列 an 中 Sn 则 a1 an 这表明点 an 的坐标适合方程 2 1n aan 2 1 n Sn n Sn y x a1 于是点 an 均在直线 y x a1上 2 1 n Sn 2 1 2 1 2 正确 设 x y A B 则 x y 中的坐标 x y 应是方程组的解 由方程组消去 y 得 1 4 1 2 1 2 1 22 1 yx axy 2a1x a12 4 当 a1 0 时 方程 无解 此时 A B 当 a1 0 时 方程 只有一个解 x 此时 方 1 2 1 2 4 a a 程组也只有一解 故上述方程组至多有一解 1 2 1 1 2 1 4 4 2 4 a a y a a y A B 至多有一个元素 3 不正确 取 a1 1 d 1 对一切的 x N 有 an a1 n 1 d n 0 0 这时集合 A 中的元素作为点的坐标 其 n Sn 横 纵坐标均为正 另外 由于 a1 1 0 如果 A B 那么据 2 的结论 A B 中至多有一个元素 x0 y0 而 x0 0 y0 0 这样的 x0 y0 A 产生矛盾 故 a1 1 d 1 时 A B 所以 a1 0 时 5 2 2 4 1 2 1 a a 4 3 2 01 xa 一定有 A B 是不正确的 台州市孺子牛教育有限公司台州市孺子牛教育有限公司 学好数学千万不可把分数的看得过重 关键在于总结 仅供本公司学员使用 总部地址 台州市椒江区开元路 223 号 2 楼 答疑 QQ 1242226214 联系电话13736216865 7 7 解 由 w zi b 得 z 2 1 i bw22 z A z 2 2 代入得 2 2 化简得 w b i 1 i bw22 集合 A B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面 集合 A 表示以点 2 0 为圆心 半径为 2 的圆面 集 合 B 表示以点 b 1 为圆心 半径为 1 的圆面 又 A B B 即 BA 两圆内含 因此 2 1 即 b 2 2 0 b 2 22 01 2 b 8 1 证明 设 x0是集合 A 中的任一元素 即有 x