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文档简介

第五章 定积分及其应用 本章内容 第一节定积分的概念与性质 第二节微积分基本公式 第三节定积分的计算 第四节广义积分 第五节定积分在几何上的应用 第六节定积分在物理上的应用 第五章第一节 定积分的概念与性质 本节主要内容 一 定积分的定义 三 定积分的几何意义 二 可积函数类 四 定积分的性质 引例1 求右图中曲边梯形的面积 思路 将曲边梯形分割成 若干个小曲边梯形 用小矩形的面积近似 小曲边梯形的面积 a b 曲边梯形 曲边梯形如图所示 则曲边梯形面积 曲边梯形面积为 引例2 求变速直线运动的路程 思路 上 设某物体作直线运动 已知速度 是时间 间隔 求物体在这段时间内所经过的路程 的一个连续函数 且 度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间 的无限细分过程求得路程的精确值 把整段时间分割成若干小段 每小段上速 1 分割 部分路程值 3 求和 4 取极限 路程的精确值 2 取近似 路程的近似值 求曲边梯形的面积 求直线运动的路程 一 定积分的定义 定义 若干个分点 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 积分区间 积分下限 积分上限 几点说明 1 两个任意性 积分值与区间的分割方法以及 i的选取方法无关 2 定积分的值只决定于被积函数和积分区 一个结论 当能够判定定积分存在时 可采用特殊的 间 因而与积分变量的写法无关 分割方法和对 i的特殊取法 通过定义求积分值 3 定积分的本质 二 可积函数类 定理1 定理2 定理3 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 三 定积分的几何意义 3 一般情况下 例1 根据定积分的几何意义知 此定积分是以R为 解 R 半径的圆面积的四分之一 故 例2 解 由定积分的几何意义知 练习 例利用定义计算定积分 解 证明 在下面的讨论中 假定定积分都存在 且不 四 定积分的性质 两个补充规定 说明 证 性质1 k为常数 考虑积分上下限的大小 有特殊规定除外 证 此性质可以推广到有限多个函数之和的情况 性质2 说明 不论的相对位置如何 上式总成立 例如 若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 证 性质4 性质5 注意 推论 证 补充 解 令 于是 证 性质6 证 注 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质7 的最大值及最小值 则 估值不等式 解 解 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质8 积分中值定理 则在积分区间 a b 上至少存在一个点 即 积分中值公式的几何解释 注意 定理中函数在 a b 区间 上连续的条件不能减弱 若被积函数不连续 则结 论可能不成立 解 由积分中值定理知有 使 定积分的实质 特殊和式的极限 定积分的思想和方法 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值 定积分 以直代曲 以不变代变 取近似 3 定积分的几何意义 4 定积分的性质 来源于极限的性质和连续函数的性质 利用定积分
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