椭圆各种类型题

面积类 1 已知椭圆 与正半轴 正半轴的交点分别为 动点 是椭圆上任一点 求面积的最大值 解析 试题分析 先求顶点坐标 再求直线方程 根据椭圆的参数方程表示 出点的坐标 然后再求点到直线的距离 表示出面积 然后求最值 试题解析 依题意 直线 即 设点的坐标为 则点到直线的距离是 当时 所以面积的最大值是 考点 椭圆的参数方程 点到直线的距离 三角函数求最值 2 设点 A 0 B 0 直线 AM BM 相交于点 M 且它们的 斜率之积为 求动点 M 的轨迹 C 的方程 若直线 过点 F 1 0 且绕 F 旋转 与圆相交于 P Q 两点 与轨迹 C 相 交于 R S 两点 若 PQ 求 的面积的最大值和最小值 F 为轨 迹 C 的左焦点 解析 设 则 化简 轨迹的方程为 设 的距离 将代入轨迹方程并整理得 设 则 设 则上递增 考点 椭圆 根与系数关系 基本不等式 坐标表示 3 已知椭圆的右焦点为 上顶点为 B 离心率 为 圆与轴交于两点 求的值 若 过点与圆相切的直线 与的另一交点为 求的 面积 解析 由题意 得 则 得 则 当时 得在圆 F 上 直线 则设 由得 又点到直线 的距离 得的面积 考点 椭圆 根与系数关系 坐标表示等 考查了学生的综合化简计算能力 4 设椭圆的左焦点为 离心率为 过点且与轴 垂直的直线被椭圆截得的线段长为 1 求椭圆方程 2 过点的直线 与椭圆交于不同的两点 当面积最大时 求 解析 1 由题意可得 又 解得 所以椭圆方程为 2 根据题意可知 直线 的斜率存在 故设直线 的方程为 设 由方程组消去得关于的方程 由直线 与椭圆相交于两点 则有 即 得 由根与系数的关系得 故 又因为原点 到直线 的距离 故的面积 令则 所 以当且仅当时等号成立 即时 考点 1 椭圆方程 2 椭圆与直线综合 3 基本不等式 5 已知椭圆的左 右焦点分别为 P 为椭圆 上任意一点 且的最小值为 1 求椭圆的方程 2 动圆与椭圆相交于 A B C D 四点 当 为 何值时 矩形 ABCD 的面积取得最大值 并求出其最大面积 解析 1 因为 P 是椭圆上一点 所以 在 中 由余弦定理得 因为 当且仅当时等号成立 因为 所以 因为的最小值为 所 以 解得 又 所以 所以椭圆 C 的方程为 2 设 则矩形 ABCD 的面积 因为 所以 所以 因为 且 所以当时 取得最大值 24 此时 所以当时 矩形 ABCD 的面积最大 最大面积为 考点 椭圆的定义 余弦定理 二次函数 6 已知 分别是椭圆 的左 右焦点 点 在直线上 线段的垂直平分线经过点 直线 与椭圆交于不同的两点 且椭圆上存在点 使 其中是坐标原点 是实数 求的取值范围 当取何值时 的面积最大 最大面积等于多少 答案 当时 的面积最大 最大面积 为 解析 设椭圆的半焦距为 根据题意得 解方程组得 椭圆的方程为 由 得 根据已知 得关于的方程有两个不相等的实数根 化简得 设 则 1 当时 点 关于原点对称 满足题意 2 当时 点 关于原点不对称 由 得 即 在椭圆上 化简得 即且 综合 1 2 两种情况 得实数的取值范围是 当时 此时 三点在一条直线上 不构成 为使的面积最大 原点到直线 的距离 的面积 成立 即 当时 的面积最大 最大面积为 考点 直线和椭圆的相关问题 综合考查考生的运算求解能力 7 设椭圆的离心率 是其左右焦点 点 是直线 其中 上一点 且直线的倾斜角为 求椭圆的方程 若 是椭圆上两点 满足 求 为坐标原点 面积的最小值 解析 则 故 当直线的斜率不存在时 可设代入椭圆得 此时 当直线的斜率存在时 设 代入椭圆得 设 则 由 得 当时 取等号 又 故的最小值为 考点 直线与椭圆的位置关系综合应用 8 已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为 2 一内角为 的菱形的四个顶点 I 求椭圆的方程 II 直线 与椭圆交于 两点 且线段的垂直平分线经过点 求 为原点 面积的 最大值 解析 I 因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为 2 一 内角为的菱形的四个顶点 所以 椭圆的方程为 II 设因为的垂直平分线通过点 显然直线有斜 率 当直线的斜率为时 则的垂直平分线为轴 则 所以 因为 所以 当且仅当时 取 得最大值为 当直线的斜率不为时 则设的方程为 所以 代入得 到 当 即 方程有两个不同的解 又 所以 又 化简得到 代入 得到 又原点到直 线的距离为 所以 化简得到 因为 所以当时 即时 取得最大值 综上 面积的最大值为 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 9 如图 A B 是椭圆的两个顶点 直线 AB 的 斜率为 求椭圆的方程 2 设直线 平行于 AB 与 x y 轴分别交于点 M N 与椭圆相交于 C D 证明 的面积等于的面积 解析 1 解 依题意 整理得 解得 所以 椭圆的方程为 2 证明 由于 设直线 的方程为 将其代入 消去 整理得 设 所以 证法一 记 的面积是 的面积是 由 则 因为 所以 从而 证法二 记 的面积是 的面积是 则 线段的中点重合 因为 所以 故线段的中点 为 因为 所以 线段的中点坐 标亦为 从而 考点 1 斜率公式 2 直线与曲线的位置关系 3 韦达定理 10 已知椭圆的中心在原点 焦点在轴上 离心率 它的一个顶点恰 好是抛物线的焦点 求椭圆的方程 设椭圆与曲线 的交点为 求面积的最大值 答案 1 2 解析 1 抛物线的焦点为 又椭圆离心率 所以椭圆的方程为 2 设点 则 连交轴于点 由对称 性知 由 得 当且仅当即 时取等号 面积的最大值为 考点 椭圆标准方程的求解 直线与椭圆的位置关系 11 已知椭圆 的右焦点在圆上 直线交椭圆于 两点 1 求椭圆的方程 2 若 为坐标原点 求的值 3 设点关于轴的对称点为 与不重合 且直线与轴交于点 试问的面积是否 存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 解析 1 由题设知 圆的圆心坐标是 半径为 故 圆与轴交与两点 1 分 所以 在椭圆中或 又 所以 或 舍去 于是 椭圆的方程为 2 设 直线 与椭圆方程联立 化简并整理 得 即得 即为定值 3 直线的方程为 令 则 当且仅当即时等 号成立 故的面积存在最大值 考点 直线与椭圆的位置关系 点评 主要是考查了椭圆方程的求解 以及直线 与椭圆位置关系的运用 属于中档题 12 已知两点 F1 1 0 及 F2 1 0 点 P 在以 F1 F2为焦点的椭圆 C 上 且 PF1 F1F2 PF2 构成等差数列 1 求椭圆 C 的方程 2 如图 动直线 l y kx m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点 点 M N 是直 线 l 上的两点 且 F1M l F2N l 求四边形 F1MNF2面积 S 的最大值 解析 1 依题意 设椭圆的方程为 构成等差 数列 又 椭圆的方程 为 2 将直线 的方程代入椭圆的方程中 得 由直线 与椭圆仅有一个公共点知 化简得 设 当时 设直线 的 倾斜角为 则 当时 当时 四边形 是矩形 所以四边形面积的最大值为 考点 直线与椭圆的位置关系 点评 主要是考查了椭圆方程 以及直线与椭圆 的位置关系的运用 属于中档题 13 如图 已知椭圆的左焦点为 过点的直线交椭圆于两 点 线段的中点为 的中垂线与轴和轴分别交于两点 1 若点的横坐标为 求直线的斜率 2 记 的面积为 为原点 的面积为 试问 是否存在直线 使得 说 明理由 解析 解 依题意 直线的斜率存在 设其方程为 将其代入 整理得 设 所以 故点的横坐标为 依题 意 得 解得 解 假设存在直线 使得 显然直线不能与轴垂直 由 可得 因为 所以 解得 即 因为 所以 所以 整理得 因为此方程无 解 所以不存在直线 使得 考点 直线与椭圆相交的位置关系 点评 直线与椭圆相交时常联立方程借助于 方程根与系数的关系整理化简 此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据 处理能力 14 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆 的左 右焦点 若椭圆的焦距为 2 求椭圆的方程 设为椭圆 上任意一点 以为圆心 为半径作圆 当圆与椭圆的右准线 有 公共点时 求 面积的最大值 解析 因为 且 所以 2 分 所以 4 分 所以椭圆的方程为 设点的坐标为 则 因为 所以直线 的方程为 由于圆与 有公共点 所以到 的距离小于或等 于圆的半径 因为 所以 即 又因为 所以 解得 又 当时 所以 考点 本题主要考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关 系 不等式的解法 点评 中档题 求椭圆的标准方程 主要运用了椭圆的几 何性质 a b c e 的关系 曲线关系问题 往往通过联立方程组 得到一元二次 方程 运用韦达定理 简化解题过程 利用函数观点 建立三角形面积的表达 式 确定其最值 15 已知椭圆的中心在原点 焦点在轴上 离心率为 它的一个顶点恰 好是抛物线的焦点 求椭圆的方程 过点的 直线 与椭圆相切 直线 与轴交于点 当为何值时 的面积有最小值 并求出最小值 解析 设方程为 抛物线的焦点为 则 双曲线的离心率 所以 得 椭圆 C 的方程为 设直线 的方程为 由对称性不妨设 由消 得 依题意 得 由 令 得 即 当且仅当即时取等号 因为故时 有最小值 考点 直线与椭圆的位置关系 点评 主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运 用 属于中档题 16 已知椭圆的离心率为 短轴的一个端点到右焦点 的距离为 直线交椭圆于不同的两点 1 求椭圆的方程 2 若坐标原点到直线 的距离为 求面积的最大值 解析 1 由 椭圆的方程为 2 由已知 联立和 消 去 整理可得 设 则 当且仅当时取等号 显然时 考点 本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系 17 已知椭圆的离心率为 且过点 1 求椭 圆的标准方程 2 四边形 ABCD 的顶点在椭圆上 且对角线 A C BD 过 原点 O 若 i 求的最值 ii 求证 四边形 ABCD 的面积为定值 解析 1 由题意 又 解得 椭圆的标准方程为 2 设直线 AB 的方程为 设 联立 得 i 当 k 0 此时满足 式 即直线 AB 平行于 x 轴时 的最小值为 2 又直线 AB 的斜率不存在时 所以的 最大值为 2 11 分 ii 设原点到直线 AB 的距离为 d 则 即 四边形 ABCD 的面积为定值 考点 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系 点评 对于直线与圆锥曲线的综 合问题 往往要联立方程 同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解 而对于最值问题 则可将该表达式用直线斜率 k 表示 然后根据题意将其进行 化简结合表达式的形式选取最值的计算方式 向量点乘类 1 在直角坐标系中 点到两点的距离之和等于 4 设点的 轨迹为 直线与交于两点 1 写出的方程 2 求 的值 解析 1 设 由椭圆定义可知 点的轨迹是以为焦 点 长半轴为 2 的椭圆 它的短半轴 故曲线的方 程为 2 证明 设 其坐标满足消去并整理 得 故 即 而 于 是 解得 考点 椭圆的方程 直线与椭圆的位置关系 2 已知椭圆的离心率为 且过点 1 求椭圆 的方程 2 若过点 C 1 0 且斜率为的直线 与椭圆相交于不同的两点 试问在轴上是否存在点 使是与 无关的常数 若存 在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 椭圆离心率为 1 分 又椭圆 过点 1 代入椭圆方程 得 所以 4 分 椭圆方程为 即 2 在 x 轴上存在点 M 使是与 K 无关的常数 证明 假 设在 x 轴上存在点 M m 0 使是与 k 无关的常数 直线 L 过 点 C 1 0 且斜率为 K L 方程为 由 得 设 则 设常数为 t 则 整理得对任意的 k 恒成立 解得 即在 x 轴上存在点 M 使 是与 K 无关的常数 考点 椭圆的标准方程及几何性质 直线与椭圆的位置关系 平面向量的数量 积 点评 中档题 曲线关系问题 往往通过联立方程组 得到一元二次方程 运用韦达定理 求椭圆标准方程时 主要运用了椭圆的几何性质 建立了 a bac 的方程组 3 已知椭圆的离心率为 以原点为圆心 椭圆的短 半轴为半径的圆与直线相切 直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 求椭圆 C 的方程 求的取值范围 解析 由题意知 即 又 故椭圆的方程为 解 由得 设 A x1 y1 B x2 y2 则 的取值范围 是 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 平面向量数量积的运算 椭圆的标准方 程 4 如图 F1 F2是离心率为的椭圆 C a b 0 的左 右焦点 直线 x 将线段 F1F2分成两段 其长度之比为 1 3 设 A B 是 C 上的 两个动点 线段 AB 的中垂线与 C 交于 P Q 两点 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上 求椭圆 C 的方程 求的取值范围 解析 设 F2 c 0 则 所以 c 1 因为离心率 e 所 以 a 所以椭圆 C 的方程为 当直线 AB 垂直于 x 轴时 直线 AB 方程为 x 此时 P 0 Q 0 当直线 AB 不垂直于 x 轴时 设直线 AB 的斜率为 k M m m 0 A x1 y1 B x2 y2 由 得 x1 x2 2 y1 y2 0 则 1 4mk 0 故 k 此时 直线 PQ 斜率为 PQ 的直线方程为 即 联立 消去 y 整理得 所以 于是 x1 1 x2 1 y1y2 令 t 1 32m2 1 t 29 则 又 1 t 29 所以 综上 的取值范围为 考点 椭圆的方程 平面向量的数量积 韦达定理 5 如图 已知椭圆 的离心率为 以椭圆的左顶 点为圆心作圆 设圆与椭圆交于点与 点 1 求椭圆的方程 2 求的最小值 并求此时圆的方 程 3 设点是椭圆上异于 的任意一点 且直线分别与 轴交于点 为坐标原点 求证 为定值 解析 1 依题意 得 故 椭圆的方程为 2 点与点关于轴对称 设 不妨设 由于点在椭圆上 所以 由已知 则 所以 由于 故当 时 取得最小值为 由 式 故 又点在圆上 代入圆的方程得到 故圆的方程为 3 设 则直线的方程为 令 得 同理 故 又点与点在椭圆上 故 代入 式 得 所以 为定值 考点 1 椭圆方程 2 配方法求最值 6 已知椭圆的离心率为 以原点为圆心 椭圆的短 半轴为半径的圆与直线相切 直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 1 求椭圆 C 的方程 2 求的取值范围 解析 由题意知 即 又 故椭圆的方程为 解 由得 设 则 的取值范围 是 考点 1 椭圆的方程 2 椭圆的离心率 3 直线和椭圆的综合应用 4 向量的数 量积 7 已知椭圆 为其右焦点 离心率为 求椭圆 C 的标准方程 若点 问是否存在直线 使 与椭圆交于 两点 且 若存在 求出 的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 由题意知 离心率 故所求椭圆 C 的标准方程为 假设存在这样的直线满足题意 并设 因为 所以 由 得 根据题意 得 且 所以 即 解得 或 当时 显然符合 题意 当时 代入 得 解得 综上所述 存在这样的直线 其斜率 的取值范围 是 考点 椭圆的方程 直线与圆锥曲线的位置关系 一元二次方程根和系数的关 系 8 已知椭圆的离心率为 且经过点 求椭 圆的方程 如果过点的直线与椭圆交于两点 点与点不重 合 求的值 当为等腰直角三角形时 求直线的方 程 解析 因为椭圆经过点 因为 解得 所以椭圆的方程为 若过点的直线的斜率不存在 此时两点中有一个点与点重合 不满足题目条件 所以直线的斜率存在 设其斜率为 则的方程为 把代入椭圆方程得 设 则 因 为 所以 由 知 如果 为等腰直角三角形 设的中点为 则 且 若 则 显然满足 此时直线 的方程为 若 则 解得 所以直线 的方程为 即或 综上所述 直 线的方程为或或 考点 1 求椭圆方程 2 直线与二次曲线的位置关系 9 已知椭圆 的离心率为 直线 与以原点为圆 心 以椭圆的短半轴长为半径的圆相切 求椭圆的方程 设 椭圆的左焦点为 右焦点 直线 过点且垂直于椭圆的长轴 动直线 垂直 于点 线段垂直平分线交于点 求点的轨迹的方程 设与轴交于点 不同的两点在上 且满足 求 的取值范围 解析 直线 相切 椭圆的方程是 动点到定直线 的距离等于它到定点 的距离 动点的轨迹是为 准线 为焦点的抛物线 点 的轨迹的方程为 设 化简得 当且仅当即 时等号成立 又 当 即时 故的取值范围是 考点 1 椭圆方程 2 抛物线的定义 3 坐标法的应用 10 已知 是椭圆的左 右焦点 且离心率 点 为椭圆上的一个动点 的内切圆面积的最大值为 1 求椭圆的方程 2 若是椭圆上不重合的四个点 满足向量与共线 与 共 线 且 求的取值范围 解析 1 由几何性质可知 当内切圆面积取最大值时 即取最 大值 且 由得 又为定 值 综上得 又由 可得 即 经计算得 故椭圆方程为 2 当直线与中有一条直线垂直于轴时 当直线斜率存在但不为 0 时 设的方程为 由 消去 可得 代入弦长公式得 同理由消去可得 代入弦长公式得 所 以 令 则 所以 由 可知 的 取值范围是 考点 1 椭圆方程 2 直线与椭圆的位置关系 3 函数的值域 11 在平面直角坐标系中 已知椭圆的左焦点为 左 右顶点分别为 上顶点为 过三点作圆 若线段是 圆的直径 求椭圆的离心率 若圆的圆心在直线上 求椭 圆的方程 若直线交 中椭圆于 交轴于 求 的最大值 解析 由椭圆的方程知 点 设 F 的坐标为 是的直径 2 分 解得 椭圆离心率 过点三点 圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上 也在 BC 的 垂直平分线上 FC 的垂直平分线方程为 的中点为 的垂直平分线方程为 由 得 即 在直线上 由得 椭圆的方程为 由得 设 则 当且仅当 时取等号 此时方程 中的 0 的最大值为 1 考点 直线与椭圆的位置关系 12 在平面直角坐标系中 已知定点 A 2 0 B 2 0 异于 A B 两 点的动点 P 满足 其中 k1 k2分别表示直线 AP BP 的斜率 求动点 P 的轨迹 E 的方程 若 N 是直线 x 2 上异于点 B 的任意 一点 直线 AN 与 I 中轨迹 E 交予点 Q 设直线 QB 与以 NB 为直径的圆的 一个交点为 M 异于点 B 点 C 1 0 求证 CM CN 为定值 解析 设 由得 其中 整理得 点的轨迹方程为 设点 设 则 从而 而 直线斜率 直线与以为直径的圆的另一个交点为 方程为 即 过定点 定值 证法一 即三点共线 又是以为直径的圆的切线 由切割线定理可知 为定值 定值证法二 直线 直 线 联立得 为定值 考点 椭圆的方程 直线与椭圆的位置关系 点评 关于曲线的大题 第一问一 般是求出曲线的方程 第二问常与直线结合起来 当涉及到交点时 常用到根 与系数的关系式 13 如图 已知椭圆 是长轴的左 右端点 动 点满足 联结 交椭圆于点 1 当 时 设 求的值 2 若为常数 探究满足的条件 并说明理由 3 直接写出为常数的一个不同于 2 结论类型的几 何条件 解析 1 直线 解方程组 得 所以 2 设 因为三点共线 于是 即 又 即 所以 所以 当时 为常数 3 设为椭圆的焦点 为短轴的顶点 当为等腰三角形时 为常数或 或给出 当时 为常数 或 考点 直线与椭圆的位置关系 点评 主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运 用 属于中档题 14 已知圆的方程为 过点作圆的两条切线 切点分别为 直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点 求 椭圆的方程 设是椭圆 垂直于轴的一条弦 所在直线的方程为且是椭圆上异于 的任意一点 直线 分别交定直线于两点 求证 解析 观察知 是圆的一条切线 切点为 设为圆心 根据圆的切线性质 所以 所以直线的方 程为 线与轴相交于 依题意 所求椭圆的 方程为 椭圆方程为 设 则有 在直线的方程中 令 整理得 同理 并将代入得 而 且 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 点评 本题考查直线与圆锥 曲线的位置关系 考查椭圆的标准方程 考查数形结合思想 考查学生的运算 能力 分析问题解决问题的能力 难度较大 15 已知点 P 4 4 圆 C 与椭圆 E 有一个公共点 A 3 1 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 直线 PF1与圆 C 相切 求 m 的值与椭圆 E 的方程 设 Q 为椭圆 E 上的一个动点 求的取值范围 解析 1 代入点 A 3 1 得 m 1 或 5 得 m 1 2 分 设 PF 斜率为 k 列方程组得 解得 所求椭圆方程为 2 设点 Q 考点 本题主要考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关 系 平面向量的坐标运算 三角函数辅助角公式 点评 中档题 求椭圆的标 准方程 主要运用了椭圆的几何性质 a b c e 的关系 曲线关系问题 往往通 过联立方程组 得到一元二次方程 运用韦达定理 简化解题过程 通过向量 的坐标运算 得到三角函数式 应用辅助角公式 化一 后 确定数量积的范 围 16 已知椭圆 设椭圆的半焦距 且 成等差数列 求椭圆的方程 设 1 中的椭圆与直线 相交于两点 求的取值范围 解析 由已知 且 解得 4 分 所以椭圆的方程是 将代入椭圆方程 得 化简得 设 则 所以 由 所以的取值 范围是 考点 椭圆方程性质及椭圆与直线的位置关系 点评 椭圆中离心率 当直线与椭圆相交时 常将直线与椭圆方程联立方程组 利 用韦达定理设而不求的方法将所求问题转化为交点坐标表示 17 已知椭圆的两个焦点为 点在椭圆上 求 椭圆的方程 已知点 设点是椭圆上任一点 求的 取值范围 解析 1 设椭圆的方程为 由椭圆定义 故所求的椭圆方程为 2 设 点在椭圆上 有最小值 有最大值 的范围是 考点 直线与椭圆的位置关系 点评 主要是考查了直线与椭圆的位置关系 以 及向量的数量积的运用 属于基础题 垂直平分线类 1 如图 A 点在 x 轴上方 外接圆半径 弦在轴上且轴垂直平分边 1 求外接圆的标准方程 2 求过点且以为焦点的椭圆方程 答案 1 2 解析 本试题主要是考查了圆与直线的位置关系 以及椭圆方程的求解 1 因为根据已知可知外接圆半径 那 么可知外接圆的半径 然后得到方程 2 根据过点且以为焦点的椭 圆 那么可知椭圆中的长轴长为 20 焦距为 10 因此可知椭圆方程 2 在平面直角坐标系中 椭圆为 1 若一直线与椭圆交 于两不同点 且线段恰以点为中点 求直线的方程 2 若过点的直线 非轴 与椭圆相交于两个不同点试问在 轴上是否存在定点 使恒为定值 若存在 求出点的坐标 及实数的值 若不存在 请说明理由 解析 1 点在椭圆内部 直线与椭圆必有公共点 设点 由已知 则有 两式相减 得 而直线的斜率 为 直线的方程为 2 假定存在定点 使恒为定值 由于直线 不可能为轴 于 是可设直线 的方程为且设点 将代入 得 显然 则 若存在定点使为 定值 与值无关 则必有 在轴上存在 定点 使恒为定值 3 如图 已知椭圆是长轴的一个端点 弦 BC 过 椭圆的中心 O 且 1 求椭圆的方程 2 若 AB 上的一点 F 满足求证 CF 平分 BCA 3 对于椭圆上的两点 P Q PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴时 是否存在实数 使得 解析 I 又 AOC 是等腰直角三角形 A 2 0 C 1 1 而点 C 在椭圆上 所求椭圆方程为 证明 C 1 1 则 B 1 1 又 即点 F 分所成的 定比为 2 设 CF x 轴 ACF FCB 45 即 CF 平分 BCA 对于椭圆上两点 P Q PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴 PC 与 CQ 所在直线关于 x 1 对称 kpC k 则 kcQ k 设 C 1 1 则 PC 的直线 方程 y 1 k x 1 y k x 1 1 QC 的直线方 y 1 k x 1 y k x 1 1 将 代入得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0 C 1 1 在椭圆上 x 1 是方程 的一个根 xp 1 1 同 理将 代入 x2 3y2 4 得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0 C 1 1 在椭圆上 x 1 是方程 的一个根 xQ 1 存在实数 使得 4 已知椭圆的离心率为 直线 与以原点 为圆心 以椭圆的短半轴长为半径的圆相切 I 求椭圆的方程 II 设椭圆的左焦点为 右焦点 直线 过点且垂直于椭圆的长轴 动直 线垂直 于点 线段垂直平分线交于点 求点的轨迹的方程 解析 直线 相切 椭圆 C1 的方程是 MP MF2 动点 M 到定直线的距离等于它到定点 F1 1 0 的距离 动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线 F2 为焦点的抛物线 点 M 的轨迹 C2 的方程为 5 本小题满分 14 分 已知椭圆的两焦点分别为 且椭圆上的 点到的最小距离为 求椭圆的方程 过点作直线 交椭圆于两点 设线段的中垂线交轴于 求 m 的取值范 围 解析 由题意可设椭圆为 故椭圆的方程为 当 的斜率不存在时 线段的中垂线为 轴 8 分 当 的 斜率存在时 设 的方程为 代入得 由得 设 则 线段的 中点为 中垂线方程为 令得 由 易得 综上可知 实数 m 的取值范围是 6 如图所示 已知圆 为定点 为圆上的动点 线 段的垂直平分线交于点 点的轨迹为曲线 E 求曲线的方 程 过点作直线 交曲线于两点 设线段的中垂线交 轴于点 求实数 m 的取值范围 解析 由题意知 又 动点 D 的轨迹是以点为焦点的椭圆 且椭圆的长轴长 焦距 曲线的方程为 当 的斜率不存在时 线段的中垂线为 轴 当 的斜率存在时 设 的方程为 代入 得 由得 设 则 线段的 中点为 中垂线方程为 令得 由 易得 综上可知 实数 m 的取值范围是 7 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 焦点在轴上 离心率为 且椭圆 E 上 一点到两个焦点距离之和为 4 是过点且相互垂直的两条直线 交椭圆 E 于 两点 交椭圆 E 于 两点 的中点分别为 1 求椭圆 E 的标准方程 2 求直线 的斜率的取值范围 3 求证直线与直线的斜率乘积为定值 解析 1 设椭圆 E 的方程为 由得 所以所求椭圆 E 的标准方程为 2 由题意知 直线 的斜率存在且不为零 由于 则 由消去并化简整理 得 根据题意 解得 同理可得 即 有 解得 3 设 那么 则 即 同理可得 即 即直线与直线的斜率乘积为定值 8 已知椭圆 C 点 M 2 1 1 求椭圆 C 的焦点坐标和离心率 2 求通过 M 点且被这点平分的弦所在的直线方程 解析 1 由 得 所以 焦点坐标是 离心率 2 显然直线不与 x 轴垂直 可设此直线方程为 且它与椭圆的交 点分别为 A x1 y1 B x2 y2 则 所以 又 所以 直线方程为 9 如图 椭圆 C a b 0 的离心率为 其左焦点到点 P 2 1 的 距离为 不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 且线段 AB 被直线 OP 平分 求椭圆 C 的方程 求ABP 的面积取最大时直线 l 的方 程 解析 由题 1 左焦点 c 0 到点 P 2 1 的距离为 2 由 1 2 可解得 所求椭圆 C 的方程为 易得直线 OP 的方程 y x 设 A xA yA B xB yB R x0 y0 其中 y0 x0 A B 在椭圆上 设直线 AB 的方程为 l y m 0 代入椭圆 显然 m 且 m 0 由上又有 m AB 点 P 2 1 到直线 l 的距离为 SABP d AB 其中 m 且 m 0 利用导数解 令 则 当 m 时 有 SABP max 此时直线 l 的方程 10 已知椭圆的左右焦点为 F1 F2 离心率为 以线段 F1 F2为直径的圆的面积为 1 求椭圆的方程 2 设直线 l 过椭圆的右焦点 F2 l 不垂直坐标轴 且与椭圆交于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M m 0 试求 m 的取值范围 答案 1 由离心率为得 又由线段 F1 F2 为直径的圆的面 积为得 c2 c2 1 由 解得 a c 1 b2 1 椭圆方程 为 2 由题意 F2 1 0 设 l 的方程为 整理 得 6 分 因为 l 过椭圆的右焦点 设 则 8 分 令 10 分 由于 11 已知 椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点为 F1 F2 e 过 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A B 两点 AF2 AB BF2 成等差数 列 且 AB 4 I 求椭圆 C 的方程 II M N 是椭画 C 上的两点 若线段 MN 被直线 x 1 平分 证明 线段 MN 的中垂线过定点 答案 成等差数列 得 又 所以 所求的椭圆方程为 设 由题意知 两式相减得 所以 易证 此直线经过定点 平行线类 1 已知 A1 A2 B 是椭圆 1 a b 0 的顶点 如图 直线 l 与椭 圆交于异于顶点的 P Q 两点 且 l A2B 若椭圆的离心率是 且 A2B 1 求此椭圆的方程 2 设直线 A1P 和直线 BQ 的倾 斜角分别为 试判断 是否为定值 若是 求出此定值 若不是 说 明理由 答案 解析 略 2 已知椭圆 的离心率为 直线与以 原点为圆心 以椭圆的短半轴长为半径的圆相切 1 求椭圆的方程 2 设椭圆的左焦点为 右焦点为 直线过点且垂直于椭圆的长 轴 动直线垂直于点 线段的垂直平分线交于点 i 求点 的轨迹的方程 ii 若为点的轨迹的过点的两条相互 垂直的弦 求四边形面积的最小值 答案 1 直线 与圆相切 椭圆的方程是 2 i 动点到定