高三复习第二讲---函数

1 第二讲第二讲 函数函数 一 函数部分的知识点梳理一 函数部分的知识点梳理 1 设 A B 是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 使对于集合 A 中的任意一个数 在集合fx B 中都有惟一确定的数和它对应 那么就称为集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 xfBAf Axxfy 2 一个函数的构成要素为 定义域 对应关系 值域 如果两个函数的定义域相同 并且对应关系完全 一致 则称这两个函数相等 3 函数的三种表示方法 解析法 图象法 列表法 4 注意函数单调性的证明方法 1 定义法 设那么上是增函数 2121 xxbaxx 0 21 baxfxfxf在 上是减函数 步骤 取值 作差 变形 定号 判断 0 21 baxfxfxf在 格式 解 设且 则 baxx 21 21 xx 21 xfxf 2 导数法 设函数在某个区间内可导 若 则为增函数 xfy 0 x f xf 若 则为减函数 0 x f xf 5 一般地 如果对于函数的定义域内任意一个 都有 那么就称函数为偶 xfx xfxf xf 函数 偶函数图象关于轴对称 y 6 一般地 如果对于函数的定义域内任意一个 都有 那么就称函数为 xfx xfxf xf 奇函数 奇函数图象关于原点对称 7 一般地 如果 那么叫做 的次方根 其中 axn xan Nnn 1 8 当为奇数时 当为偶数时 naa nn naa nn 9 我们规定 mn m n aa 1 0 mNnma 0 1 n a a n n 10 运算性质 Qsraaaa srsr 0 Qsraaa rs s r 0 Qrbabaab rr r 0 0 11 记住图象 12 记住图象 1 0 aaay x 1 0log aaxy a 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y logax o y x 2 13 性质 14 性质 15 指数与对数互化式 对数恒等式 基本性质 log x a aNxN logaN aN 01log a 1log a a 16 运算性质 当时 0 0 1 0 NMaa NMMN aaa logloglog NM N M aaa logloglog MnM a n a loglog 19 换底公式 重要公式 a b b c c a log log log 0 1 0 1 0 bccaaloglogn m a a m bb n 倒数关系 a b b a log 1 log 1 0 1 0 bbaa 20 几种幂函数的图象 21 方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点 0 xf xfy x xfy 22 零点存在性定理 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数 xfy ba 0 bfaf 在区间内有零点 即存在 使得 这个也就是方程的根 xfy ba bac 0 cfc 0 xf 23 掌握二分法 1 a10 a 图 象 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 1 定义域 0 2 值域 R 3 过定点 1 0 即 x 1 时 y 0 4 在 0 上是 增函数 4 在 0 上是减 函数 性 质 5 0log 1 xx a 0log 10 xx a 5 0log 1 xx a 0log 10 xx a 1 a10 a 图 象 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 1 定义域 R 2 值域 0 3 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 4 在 R 上是增函数 4 在 R 上是减函数 性 质 5 0 1 x xa 0 01 x xa 5 0 01 x xa 0 1 x xa 3 24 几类不同增长的函数模型 25 函数模型的应用举例 解决问题的常规方法 先画散点图 再用适当的函数拟合 最后检验 附 附 1 ABAx ByfBAB x yx fyyxy 映射定义 设 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 使对于集合中的任意一个元素 在集合中都有唯一确定的元素与之对应 那么就称对应 为从集合到集合的一个映射 传统定义 如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值 定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应 那么就是的函数 记作 函数及其表示 函数 1212 12 f x a ba xxbf xf xf xa ba b f xf xf xa ba b a 近代定义 函数是从一个数集到另一个数集的映射 定义域 函数的三要素值域 对应法则 解析法 函数的表示方法列表法 图象法 单调性 函数的基本性质 传统定义 在区间上 若如 则在上递增 是 递增区间 如 则在上递减 是的递减区间 导数定义 在区间 1 2 00 0 0 y f xIMx If xM xIf xMMy f x bf xf xa ba bf x f xa ba b 最大值 设函数的定义域为 如果存在实数满足 对于任意的 都有 存在 使得 则称是函数的最大值 最值 最 上 若 则在上递增 是递增区间 如 则在上递减 是的递减区间 1 2 00 1 2 y f xINx If xN xIf xNNy f x fxf x xDf x fxf x xDf x 小值 设函数的定义域为 如果存在实数满足 对于任意的 都有 存在 使得 则称是函数的最小值 定义域 则叫做奇函数 其图象关于原点对称 奇偶性定义域 则叫做偶函数 其图 0 1 11 2 y f xf x Tf x Tf xT Tf x yy xa xy f x a a 象关于轴对称 奇偶函数的定义域关于原点对称 周期性 在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数 为周期 的最小正值叫做的最小正周期 简称周期 描点连线法 列表 描点 连线 向左平移个单位 向右平移个 平移变换 函数图象的画法 变换法 11 11 11 101 1 1 1 1 01 1 yy xa xy f x a bxx yb yy b f x bxx yb yy b f x xww wxwxy f wx yAA 单位 向上平移个单位 向下平移个单位 横坐标变换 把各点的横坐标缩短 当时 或伸长 当时 到原来的倍 纵坐标不变 即 伸缩变换 纵坐标变换 把各点的纵坐标伸长 或缩短 到 1 22 1010 2 2 0000 22 1010 22 1010 2 00 11 11 2 00 22 1010 A yy Ay f x x xxxxx xyyy fxx y yyyyy x xxxxx x xy fxx y yyy x xxx y yyy f yyyyyy 原来的倍 横坐标不变 即 关于点对称 关于直线对称 对称变换 关于直线对称 1 1 1 x x x y xy fx y y 关于直线对称 4 0 0 0 0 0 yf xf xxyf x yf xa bf af b yf xa bca bf cc f x f x 零点 对于函数 我们把使的实数叫做函数的零点 定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 零点与根的关系 那么 函数在区间内有零点 即存在使得这个也是方 程的根 反之不成立 关系 方程 函数与方程 函数的应用 1 0 2 3 0 0 0 0 0 yf xyf xx a bf af b a bc f c f cc f af cbcxa b f cf bacx 有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点 确定区间验证给定精确度 求区间的中点 计算 二分法求方程的近似解 若则就是函数的零点 若则令 此时零点 若则令 此时零点 4 24 c b abab 判断是否达到精确度 即若则得到零点的近似值或否则重复 几类不同的增长函数模型 函数模型及其应用用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 附 附 2 一 函数的定义域的常用求法 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数大于等于零 3 对数的真数大于零 4 指数 函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 5 三角函数正切函数中 余tanyx 2 xkkZ 切函数中 6 如果函数是由实际意义确定的解析式 应依据自变量的实际意义确定其取值cotyx 范围 二 函数的解析式的常用求法 1 定义法 2 换元法 3 待定系数法 4 函数方程法 5 参数法 6 配方法 三 函数的值域的常用求法 1 换元法 2 配方法 3 判别式法 4 几何法 5 不等式法 6 单调性法 7 直接法 四 函数的最值的常用求法 1 配方法 2 换元法 3 不等式法 4 几何法 5 单调性法 五 函数单调性的常用结论 1 若均为某区间上的增 减 函数 则在这个区间上也为增 减 函数 f x g x f xg x 2 若为增 减 函数 则为减 增 函数 f x f x 3 若与的单调性相同 则是增函数 若与的单调性不同 则 f x g x yf g x f x g x 是减函数 yf g x 4 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 5 5 常用函数的单调性解答 比较大小 求值域 求最值 解不等式 证不等式 作函数图象 六 函数奇偶性的常用结论 1 如果一个奇函数在处有定义 则 如果一个函数既是奇函数又是偶0 x 0 0f yf x 函数 则 反之不成立 0f x 2 两个奇 偶 函数之和 差 为奇 偶 函数 之积 商 为偶函数 3 一个奇函数与一个偶函数的积 商 为奇函数 4 两个函数和复合而成的函数 只要其中有一个是偶函数 那么该复合函数 yf u ug x 就是偶函数 当两个函数都是奇函数时 该复合函数是奇函数 5 若函数的定义域关于原点对称 则可以表示为 f x f x 该式的特点是 右端为一个奇函数和一个偶函数 11 22 f xf xfxf xfx 的和 七 函数的周期性 周期性 若函数对定义域内任意的满足 则称 T 是函数的一个周期 若 T 是周 xfx xfTxf 期 则也是函数的周期 注意周期性还有其它的表达形式 如 0 kZkkT且 axfaxf aT2 xfaxf aT2 xfaxf aT2 1 xf axf aT2 等等 baTbxfaxf 还要注意若一个函数有对称轴和对称中心 有两条对称轴或有两个对称中心则都是周期函数 二 经典题例 二 经典题例 例 1 1 函数 y 的定义域为 2 函数 y lg 2x 1 的定义域是 x2 3x 4 x 1 3x 2 3 函数 f x Error 则 f f f 5 4 规定记号 表示一种运算 即 3 2 若 则函数的值域是 ababab a bR 13k fxkx 针对训练 1 函数对任何恒有 已知 则 f xxR 1212 f xxf xf x 8 3f 2 f 2 设函数f x 的定义域为 0 1 求下列函数的定义域 1 H x f x2 1 2 G x f x m f x m m 0 例 2 定义在区间 1 1 上的函数 f x 满足 2f x f x lg x 1 则 f x 的解析式为 6 针对训练 已知函数的图象关于直线对称 且当时 有则当 xfy 1 x 0 x 1 x xf 时 的解析式为 A B C D 2 x xf x 1 2 1 x2 1 x2 1 x 例 3 已知函数 f x 是 R 上的偶函数 且在 0 上有 f x 0 若 f 1 0 那么关于 x 的不等式 xf x 0 的解集是 针对训练 已知偶函数 f x 在区间 0 上单调增加 则满足 f 2x 1 1 时 f x 0 x1 x2 1 求 f 1 的值 2 判断 f x 的单调性 3 若 f 3 1 解不等式 f x 0 上最大值是 3 最小值是 2 则实数 a 的取值范围是 A 0 a 1 B 0b cB a c bC b a cD c a b 18 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 并满足 f x 2 当 2 x 3 f x x 则 f 5 5 1 xf A 5 5 B 5 5C 2 5D 2 5 19 已知函数 则 2 2 1 x f x x 11 1 2 3 23 fffff 20 设 f x 2x 3 g x 2 f x 1 则 g x 21 定义域为上的函数 f x 是奇函数 则 a 2 32 4 aa 22 设 则 32 3 2f xxx g xx g f x 8 23 设偶函数 f x 在上为减函数 则不等式 f x f 2x 1 的解集是 0 24 已知 f x 与 g x 的定义域是 x x R 且 x 1 若 f x 是偶函数 g x 是奇函 数 且 f x g x 则 f x g x x 1 1 25 若函数 f x 4x3 ax 3 的单调递减区间是 则实数 a 的值为 2 1 2 1 26 已知定义域为 0 0 的函数 f x 是偶函数 并且在 0 上是增函数 若 f 3 0 则不等式 0 的解集是 xf x 27 作出函数的图象 并利用图象回答下列问题 2 23yxx 1 函数在 R 上的单调区间 2 函数在 0 4 上的值域 28 定义在 R 上的函数f x 满足 如果对任意x1 x2 R 都有f f x1 f x2 则称函 12 2 xx 1 2 数f x 是 R 上的凹函数 已知函数f x ax2 x a R 且a 0 求证 当a 0 时 函数f x 是凹函数 29 若函数是 R 上的偶函数 在上是减函数 且 求使的取值范围 xf 0 0 2 fxxf的0 30 函数在区间 A 上是增函数 求 A 1 xxy 31 设 其中为常数 若求 7 35 cxbxaxxfcba Rx 17 7