新课程下数学解题的步骤

1 N M A B D C O 新课程下数学解题的步骤新课程下数学解题的步骤 单位 江苏省镇江第一中学 姓名 王建华 邮编 212016 电话内容摘要 本文针对高中数学学科的特点 结合自己的教学实践 提出 解题的 5 个步骤 提醒学生注意题目的隐含条件 考虑各种可行的方案 行不 通时如何调整 最后要注意解题的反思 从而拓展思路 提高解题能力 关键词 解题 反思 能力 许多学生都觉得数学题目难解 往往感觉无从下手 特别是对一些综合性 的题目很难拿到分 或者拿全分 我根据自己的教学实践 结合新的课程标准 认为解题应从 5 个步骤下手进行分析 一 认真读题一 认真读题 拿到题目要认真读题 特别是不会解的题目一定要多读几遍 从题目中获 得尽可能多的信息 已知条件是什么 未知数是什么 隐含的条件是什么 条 件是否充分 有没有多余条件或矛盾条件 从脑海中收集和联想与本题有 关的各种信息 不管它是否是对解题有用 我们先把它存储在脑海中 以便解 题之用 例如 08 年安徽高考题如图 在四棱锥中 底面是四边OABCD ABCD 长为 1 的菱形 4 ABC OAABCD 平平 为的2OA MOA 中点 为的中点 NBC 证明 直线 MNOCD平平 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 求点 B 到平面 OCD 的距离 分析 拿到此题首先读题 在四棱锥OABCD 中 底面是四边长为 1 的菱形 可想到底面菱形的形状已ABCD 4 ABC 经完全确定 每一条边 每一个角都已经知道 再读 可想OAABCD 平平 到 OA 和底面每一条边都垂直 则进一步可知 OAD OAB 都是直角三角形 2 面 OAD 面 OAB 与底面 ABCD 垂直 继续读题 可知四棱锥2OA 的每一条棱都可以求出 从而整个四棱锥就完全确定了 最后读题 OABCD 为的中点 为的中点 则告诉我们 MN 的位置和大小 条件搞清MOANBC 出了 下面解题就不难了 二 考虑各种可能的方案 二 考虑各种可能的方案 由于题目不同 解题方案也大不相同 可以正面考虑 也可以反面分析 可以整体思考 也可逐步突破 哪个方案是最优的 开始选择时并不要求十全 十美 也不要求能确定全部过程 但是大致方向应当清楚 在这个选择的过程 中可以考虑已经学过的解题模式 已经做过的习题 某些中途点所给的启 示 以一般的规律联想本问题的解题途径 旧知识和一般规律掌握越多 方 向就越明确 选择方案就会越迅速 准确 回到刚才那题 第一问 证明 直线 你可以通过以前总MNOCD平平 结的证明线面平行的一般思路 考虑利用线线平行 面面平行 第二问 求异 面直线 AB 与 MD 所成角的大小 可考虑通过平移求解 可平移 AB 也可 平移 MD 第三问 求点 B 到平面 OCD 的距离 求点面的距离可直接作出垂 线求解 也可转化为其它 容易求解的点如 A 点到平面 OCD 的距离 还可以 考虑体积转换 先把这些可能用到的方案提供出来 然后在进行选择 三 调整和确定新方案 三 调整和确定新方案 当碰到新问题 原方案不适应时 应调整方案 若原方案行不通或太繁时 应更换方案 这种调整过程往往不是一次完成的 而是不断获取新的信息 不 断调整方案最后才确定的 从思维来说这更多地靠发散思维 包括求异思维 逆向思维 靠思维的灵活性和创造性 一般地说 一般规律没有解决的原 因往往是有它的个性 它有与一般规律不同的情况 必需根据不同点考虑新的 解决途径 所以必需 求异 创新 3 例如 已知锐角满足 则的取值范围是 刚开 tancossin 始解题时 往往会通过对的化简 寻找的某个三角函数值 tancossin 然后去确定的取值范围 但解到一半发现无法求出的某个三角函数值 这 时需要重新调整 为什么题目只要求解范围 也就是区间 抓住这个 不同点 联想到根的区间应结合 二分法 则此题便引刃而解 四 实施方案 四 实施方案 题目分析好 解题的方案已经确立 则必须按具体方案进行演算和推理 这时要有较强的运算能力和逻辑推理能力 解答题还要注意规范的书写要求 最后可及时检查其正确性 验算方法有估值法 逆运算 特殊值代入 多种解 法对照 甚至有时靠直觉 有人总是按原方法重新算一遍作为检查验算 但这 种方法经常会受到思维定势的影响而再重复前一次的错误 建议尽量不要用这 种方法 在这个步骤中思维方面更多地要求严密性和批判性 例如 08 年陕西高考卷 已知实数满足如果目标函数xy 1 21 y yx xym 的最小值为 则实数等于 像这种求解具体值的题目 最后zxy 1 m 可把求出的具体值带入原题 验证 z 的最小值 则可以很快判断所求解的正确 性 五 题后总结与反思 五 题后总结与反思 当前的学生往往只限于解出题目 很少进行总结和反思 这样导致学生只 会解一道题 而没有掌握一类题目 导致考试时题目稍有变化 学生就无从下 手 为此做完题后我们必须进行反思 从解题的成败中总结经验 吸取教训 并进一步引申 从多种角度研究问题 使得对问题的认识更深刻 得到一些新 的知识 认知一些新的规律 从而提高自己的解题能力 这个步骤中 要求学 生具有较好的概括能力 并有更高层次的思维能力 4 例如 设 A为抛物线上一点 过焦点 F 的弦为 AB 求 F 分 22 2xy4 2 的比为 AB 2 反思 1 对于一般的抛物线该如何求解 如设 A为抛物线上一点 过焦点 F 的弦为 AB 求 00 yxpxy2 2 0 p F 分的比为 AB p x02 解 设 则直线 AB 的方程为 0 2 p F A F B 代入抛物线方程 整理得 2 2 0 0 p x p x y y 22 2 0 0 p y y px x 于是 F 分的比为0 2 2 0 02 py y px py 2 pyy BA AB 2 2 2 p px yy y y y FB AF A BA A B A p x p xA 0 22 反思 2 如果抛物线变为双曲线 椭圆又会有什么样的结论 如设 A为椭圆上一点 过焦点 F1 F2 00 yx 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 c 的弦分别为 AB AC 求 F1分的比为 求 F2 0 c AB 2 0 22 1 2 b cxca 分的比为 AC 2 0 22 2 2 b cxca 如设 A为双曲线上一点 过焦点 00 yx 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x F1 F2的弦分别为 AB AC 求 F1分的比为 0 c 0 c AB 5 求 F2分的比为 2 0 22 1 2 b cxca AC 2 0 22 2 2 b cxca 证明思路完全同反思 1 只是把抛物线变为椭圆或双曲线方程带入化简 反思 3 对于非标准情况下的圆锥曲线又该如何求解 如设 A为焦点 F 在原点 对应准线是的圆锥曲线上的 00 yx 0 ppx 一点 则 F 分焦点弦的定点分比为 AB p px 0 2 大家还可以思考若反知 F 分的比 如何确定点 A 的坐标 若过 AB 抛物线的焦点变为两条弦 如何求两个定比分点的和 或差 的范围 如果解每一道题 都这样多角度的思考 学生的解题能力则会大大提高 而且数学的题目不再是杂乱无章的 而是有规律可寻的有限几种题型 从以上可以知道 解题的方法主要分这些步骤 当然根据每个学生的已有 的知识和能力 可能会减少步骤 迅速的解决问题 此外学生平时总结规律越 多 基础掌握的好 就可以更多的启迪思维灵感 可以开辟新的思维途径 从 而就可以使我们解题更灵活 更简捷 参考文献 1 涂荣豹 数学教学