几何图形初步讲义

几何图形初步讲义几何图形初步讲义 知识要点知识要点 1 1 几何图形的分类几何图形的分类 2 2 立体图形与平面图形的相互转化 立体图形与平面图形的相互转化 1 1 立体图形的平面展开图 立体图形的平面展开图 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形 把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形 通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来 2 2 从不同方向看 从不同方向看 主 正 视图 从正面看 几何体的三视图 左 右 视图 从左 右 边看 俯视图 从上面看 3 3 几何体的构成元素及关系 几何体的构成元素及关系 几何体是由点 线 面构成的 点动成线 线与线相交成点 线动成面 面与面相交成线 面动成体 体是 由面组成 要点二 直线 射线 线段要点二 直线 射线 线段 1 1 直线 射线与线段的区别与联系直线 射线与线段的区别与联系 立体图形 棱柱 棱锥 圆柱 圆锥 球等 平面图形 三角形 四边形 圆等 几何图形 2 2 基本性质基本性质 1 1 直线的性质直线的性质 两点确定一条直线 2 2 线段的性质线段的性质 两点之间 线段最短 3 3 画一条线段等于已知线段画一条线段等于已知线段 1 1 度量法 度量法 可用直尺先量出线段的长度 再画一条等于这个长度的线段 2 2 用尺规作图法 用尺规作图法 用圆规在射线 AC 上截取 AB 如下图 4 4 线段的比较与运算 线段的比较与运算 1 1 线段的比较 线段的比较 比较两条线段的长短 常用两种方法 一种是度量法 一种是叠合法 2 2 线段的和与差 线段的和与差 如下图 有 AB BC AC 或 AC a b AD AB BD 3 3 线段的中点 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点 叫做线段的中点 如下图 有 1 2 AMMBAB 要点三 角要点三 角 1 1 角的度量 角的度量 1 1 角的定义 角的定义 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 这个公共端点是角的顶点 这两条射线是角的两条边 此外 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 2 2 角的表示方法 角的表示方法 角通常有三种表示方法 一是用三个大写英文字母表示 二是用角的顶点的一个大写英文字 母表示 三是用一个小写希腊字母或一个数字表示 例如下图 D BA C B Ab a b a MBA 3 3 角度制及角度的换算 角度制及角度的换算 1 周角 360 1 平角 180 1 60 1 60 以度 分 秒为单位的角的度量制 叫做角度制 4 4 角的分类 角的分类 5 5 画一个角等于已知角 画一个角等于已知角 1 借助三角尺能画出 15 的倍数的角 在 0 180 之间共能画出 11 个角 2 借助量角器能画出给定度数的角 3 用尺规作图法 2 2 角的比较与运算 角的比较与运算 1 1 角的比较方法 角的比较方法 度量法 叠合法 2 2 角的平分线 角的平分线 从一个角的顶点出发 把这个角分成相等的两个角的射线 叫做这个角的平分线 例如 如下图 因为 OC 是 AOB 的平分线 所以 1 2 1 2 AOB 或 AOB 2 1 2 2 类似地 还有角的三等分线等 3 3 角的互余互补关系 角的互余互补关系 余角补角余角补角 1 若 1 2 90 则 1 与 2 互为余角 其中 1 是 2 的余角 2 是 1 的余角 锐角直角钝角平角周角 范围0 90 90 90 180 180 360 2 若 1 2 180 则 1 与 2 互为补角 其中 1 是 2 的补角 2 是 1 的补角 3 结论 同角 或等角 的余角相等 同角 或等角 的补角相等 4 4 方位角 方位角 以正北 正南方向为基准 描述物体运动的方向 这种表示方向的角叫做方位角 知识结构图知识结构图 直线 线段 直线性质 射线 线段的比较和画法 线段的中点 线段性质 两点间的距离 角 角的分类 角的比较 度量和画法 相关角 角平分线 平角 直角 锐角 周角 钝角 余角和补角 定义 性质 同角 或等角 的补角相等 同角 或等角 的余角相等 基础巩固 1 在右面的图形中是正方体的展开图的有 A 3 种 B 4 种 C 5 种 D 6 种 2 下图中 是正方体的展开图是 A B C D 3 如图四个图形都是由 6 个大小相同的正方形组成 其中是正方体展开图的是 A B C D 4 由下列条件一定能得到 P 是线段 AB 的中点 的是 A AP AB B AB 2PB C AP PB D AP PB AB 2 1 2 1 5 若点 B 在直线 AC 上 下列表达式 AB BC AC 2AB AB BC AC ACAB 2 1 其中能表示 B 是线段 AC 的中点的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 如果点 C 在线段 AB 上 下列表达式 AC AB AB 2BC AC BC AC BC AB 中 能表示 C 是 AB 中点的有 1 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7 已知线段MN P是MN的中点 Q是PN的中点 R是MQ的中点 那么MR MN 8 如图所示 B C 是线段 AD 上任意两点 M 是 AB 的中点 N 是 CD 中点 若 MN a BC b 则线段 AD 的 长是 A 2 a b B 2a b C a b D a b 9 如图 BO CO分别平分 ABC和 ACB 1 若 A 60 求 O 2 若 A 100 O是多少 若 A 120 O又是多少 3 由 1 2 你又发现了什么规律 当 A的度数发生变化后 你的结论仍成立吗 提示 三角形的内角和等于 180 10 如图 O是直线AB上一点 OC OD OE是三条射线 则图中互补的角共有 对 A 2 B 3 C 4 D 5 11 互为余角的两个角 A 只和位置有关 B 只和数量有关 ADBMCN C 和位置 数量都有关 D 和位置 数量都无关 12 已知 1 2 互为补角 且 1 2 则 2 的余角是 A 1 2 B 1 C 1 2 D 2 1 2 1 2 1 2 1 2 典型例题典型例题 例例 1 1 下列判断错误的有 延长射线 OA 直线比射线长 射线比线段长 如果线段 PA PB 则点 P 是线段 AB 的中点 连接 两点间的线段 叫做两点间的距离 A 0 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 举一反三举一反三 变式 下列说法正确的个数有 若 1 2 3 90 则 1 2 3 互余 互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 因为钝角没有余 角 所以 只有当角为锐角时 一个角的补角比这个角的余角大 这个说法才正确 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 例例 2 2 如图所示 它们的平面展开图是由 5 个大小相同的正方形组成 其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的 是 举一反三 举一反三 变式 已知 O 为圆锥的顶点 M 为圆锥底面圆上一点 点 P 在 OM 上 一只蜗牛从 P 点出发 绕圆锥侧面爬行 回到 P 点时 所爬过的最短路线的痕迹如图所示 若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展平 所得侧 面展开图 如图 是 例例 3 3 河北 将正方体骰子 相对面上的点数分别为 1 和 6 2 和 5 3 和 4 放置于水平桌面上 如图1 所示 在 图 2 中 将骰子向右翻滚 90 然后在桌面上按逆时针方向旋转 90 则完成一次变换 若骰子的初始位置为图 1 所示的状态 那么按上述规则连续完成 10 次变换后 骰子朝上一面的点数是 A 6 B 5 C 3 D 2 例例 4 4 安徽芜湖 如图所示的 4 4 正方形网格中 1 2 3 4 5 6 7 等于 A 330 B 315 C 310 D 320 举一反三 举一反三 变式 如图所示 AB 和 CD 都是直线 AOE 90 3 FOD 1 27 20 求 2 3 例例 5 5 山东潍坊 用 A B C 分别表示学校 小明家 小红家 已知学校在小明家的南偏东25 小红家在小明 家正东 小红家在学校北偏东 35 则 ACB 等于 A 35 B 55 C 60 D 84 例例 6 6 如图所示 B C 是线段 AD 上的两点 且 3 2 CDAB AC 35cm BD 44cm 求线段 AD 的长 例例 7 同一直线上有 A B C D 四点 已知 AD 5 9 DB AC 9 5 CB 且 CD 4cm 求 AB 的长 例例 8 如图所示 时钟的时针由 3 点整的位置 顺时针方向 转过多少度时 与分针第一次重合 例例 9 9 1 如图 已知 AOB 是直角 BOC 30 OM 平分 AOC ON 平分 BOC 求 MON 的度数 2 在 1 中 AOB 其它条件不变 求 MON 的度数 3 你能从 1 2 中发现什么规律 A 0 M B N C 例例 10 将两个三角板两个直角的顶点重合在一起 放置成如图所示的位置 O 1 如果重叠在一起猜想 40 BOC AOD 2 如果重叠在一起 猜想 50 BOC AOD 3 在 1 2 中 计算 AODBOC 4 由此可知 三角板绕重合点旋转 不论旋转到任何位置 与始终满足 的AOBOAOD BOC 关系 5 图中与满足 的关系 AOC BOD 例例 1111 如图 三点在同一直线上 平分且求 A O E20 DOEOB AOC 2 3 CODBOC 的度数 AOC 作业 1 分析下列说法 正确的有 长方体 正方体都是棱柱 三棱柱的侧面是三角形 圆锥的三视图中 主视图 左视图是三角形 俯视图 是圆 球体的三种视图均为同样大小的图形 直六棱柱有六个侧面 侧面为长方形 A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 2 在 4 个图形中 只有一个是由如图所示的纸板折叠而成 请你选出正确的一个 D C B OE A 3 下面说法错误的是 A M 是线段 AB 的中点 则 AB 2AM B 直线上的两点和它们之间的部分叫做线段 C 一条射线把一个角分成两个角 这条射线叫做这个角的平分线 D 同角的补角相等 4 从点 O 出发有五条射线 可以组成的角的个数是 A 4 个 B 5 个 C 7 个 D 10 个 5 用一副三角板画角 下面的角不能画出的是 A 15 的角 B 135 的角 C 145 的角 D 150 的角 6 如图所示 已知射线 OC 平分 AOB 射线 OD OE 三等分 AOB 又 OF 平分 AOD 则图中等于 BOE 的 角共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7 已知 线段 AC 和 BC 在同一条直线上 如果 AC 5cm BC 3cm 线段 AC 和 BC 中点间的距离是 A 6 B 4 C 1 D 4 或 1 8 平面内两两相交的 6 条直线 其交点个数最少为 m 个 最多为 n 个 则 m n 等于 A 12 B 16 C 20 D 以上都不对 9 若 是它的余角的 2 倍 是 的 2 倍 那么把 和 拼在一起 有一条边重合 组成的角是 度 10 如图是用一样的小立方体摆放的一组几何体 观察该组几何体并探索 照这样摆下去 第五个几何体中共有 个小立方体 第 n 个几何体中共有 个小立方体 11 如图 已知是上一点 且是的中点 20 ABcm D AB6 BDcm C AD BCD A 1 以点为端点的线段有多少条 A 2 求图中所有线段长度的和 12 如图 是线段上的一点 是的中点 是的中点 CABDACEBC 1 若 10 求线段的长 ACcm6BCcm DE BECD A 2 若求线段的长 16 ABcm DE 3 若是线段延长线上的一点 是的中点 是的中点 求线段的长 提示 CABDACEBC16 ABcm DE 根据题意画出示意图 13 操作 如图 1 直线 上有两点 线段是线段上一点 取中点与中点 l A B10 ABcm C ABACMBCN 图 1 l B N C MA 探究 1 图 1 中的长度是 MNcm 2 小明作了进一步思考 若沿直线 向线段外运动 仍然取的中点与的中点 的长ClABACMBCNMN 度有没有变化呢 你能帮助小明解决这个问题么 试试看 请选择图 2 或图 3 中一种情况进行求解 图 3图 2 l AMCN B l AMC NB 14 如图所示 B C 是线段 AD 上任意两点 M 是 AB 的中点 N 是 CD 中点 若 MN a BC b 则线段 AD 的 长是 A 2 a b B 2a b C a b D a b 15 拿一张长方形纸片 按图中所示的方法折叠一