阅读与思考相关关系的强与弱

2 3 2 3 变量间的相关关系变量间的相关关系 学习目标 1 了解相关关系 线性相关 回归直线 最小二乘法的定义 2 会作散点图 并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系 3 会求回归直线方程 并能用回归直线方程解决有关问题 学习重点 变量间的相关性与回归直线方程 课前预习案 知识链接 问题 1 在学校里 老师对学生经常这样说 如果你的数学成绩好 那么你的物理学习就不会有什么大问 题 按照这种说法 似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系 这种说法有没有根据呢 请同学们如实填写下表 在空格中打 好中差 你的数学成绩 你的物理成绩 问题 2 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍 有人经统计发现了一个有趣的现象 如果村庄附近栖息 的天鹅多 那么这个村庄的婴儿出生率也高 天鹅少的地方婴儿的出生率低 于是 他就得出一个结论 天鹅能够带来孩子 你认为这样得到的结论可靠吗 如何证明这个结论的可靠性 知识梳理 1 相关关系 1 定义 如果两个变量中一个变量的取值一定时 另一个变量的取值带有一定的 性 那么这两个 变量之间的关系 叫做相关关系 2 两类特殊的相关关系 如果散点图中点的分布是从 角到 角的区域 那么这两个变量的相 关关系称为正相关 如果散点图中点的分布是从 角到 角的区域 那么这两个变量的相关关 系称为负相关 2 线性相关 1 定义 如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条 附近 我们就称这两个变量之间 具有线性相关关系 这条直线叫做 2 最小二乘法 求线性回归直线方程 x 时 使得样本数据的点到它的 最小的方法 y b a 叫做最小二乘法 其中 的值由以下公式给出 a b Error 其中 是回归方程的 是回归方程在 y 轴上的 b a 小结 线性回归分析涉及大量的计算 形成操作上的一个难点 可以利用计算机非常方便地作散点图 回归直 线 并能求出回归直线方程 因此在学习过程中 要重视信息技术的应用 自主小测 1 下列图形中具有相关关系的两个变量是 2 某单位为了解用电量 y 千瓦时 与气温 x 之间的关系 随机统计了某 4 天的用电量与当天气温 并 制作了对照表 气温 181310 1 用电量 千瓦时24343864 由表中数据得线性回归方程 x 中 2 则 y b a b a 课 上 导 学 案 教师点拨 1 两个变量间的关系分为三类 一类是确定性的函数关系 如正方形的边长与面积的关系 另一类是变量 间确实存在关系 但又不具备函数关系所要求的确定性 它们的关系是带有随机性的 这种关系就是相 关关系 例如 某位同学的 物理成绩 与 数学成绩 之间的关系 我们称它们为相关关系 再一类是不相 关 即两个变量间没有任何关系 教师点拨 2 相关关系与函数关系的异同 相同点 两者均是指两个变量的关系 不同点 函数关系是一种确定的关系 如匀速直线运动中时间 t 与路程 s 的关系 相关关系是一种非确定 的关系 如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 函数关系是一种因果关系 而相关关系不一定是因果关系 可能是伴随关系 线性回归直线方程的性质 1 回归直线过样本数据的中心 所谓样本数据的中心 对于单变量样本数据而言 平均数是样本数据的中心 对于以 xn yn 为样本数据 而言 为样本点的中心 根据最小二乘法原理 回归直线一定过样本点的中心 xy 2 回归直线的单调性与样本数据的相关性 如果样本数据对应的点具有线性相关关系 从回归直线方程来看 当系数 b 0 时 直线单调递增 此时 这两个变量正相关 当 b 0 时 直线单调递减 此时这两个变量负相关 例题讲解 例题 1 设对变量 x y 有如下观察的数据 x151152153154156157158159160162163164 y40414141 54242 5434445454645 5 1 画出散点图 2 判断变量 x y 是否具有相关关系 如果具有相关关系 那么是正相关还是负相关 例题 2 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x 吨 与相应的生产能耗 y 吨标准煤 的几组对照数据 x3456 y2 5344 5 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x y b a 3 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归方程 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤 参考数值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 例题 3 下列变量之间的关系属于相关关系的是 A 圆的周长和它的半径之间的关系 B 价格不变的条件下 商品销售额与销售量之间的关系 C 家庭收入愈多 其消费支出也有增长的趋势 D 正方形面积和它的边长之间的关系 当堂检测 1 已知 x y 的取值如下表 x0134 y2 24 34 86 7 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关 且回归方程为 y 0 95x a 则 a A 3 25 B 2 6 C 2 2 D 0 2 某考察团对全国 10 个城市进行职工人均工资水平 x 千元 与居民人均消费水平 y 千元 统计调查 y 与 x 具有相关关系 回归方程为 y 0 66x 1 562 若某城市居民人均工资为 9 000 元 则其居民人均消费水 平为 千元 3 某商店统计了最近 6 个月某商品的进价 x 与售价 y 单位 元 的对应数据如下 x3528912 y46391214 则x y 6 2 1 i i x 6 1 ii i x y 回归直线方程为 4 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y 万元 有如下的统计资料 使用年限 x23456 维修费用 y2 23 85 56 57 0 若由资料知 y 对 x 成线性相关关系 试求 1 线性回归方程 y bxa 的回归系数b 与 a 2 估计使用年限为 10 年时 维修费用是多少 问题与收获 基础知识答案 1 1 随机 2 左下 右上 左上 右下 2 1 直线 回归直线 2 距离的平方和 斜率 截距 y b x 自主小测答案 1 C A 项中显然任给一个 x 都有唯一确定的 y 和它对应 是一种函数关系 B 项也是一种函数关系 C 项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动 具有相关关系 而且是一种线性相关关 系 D 项中所有的点在散点图中没有显示任何关系 因此变量间是不相关的 2 60 10 40 x 18 13 10 1 4y 24 34 38 64 4 则 40 2 10 60 a y b x 例题答案 例题 1 解 1 画出散点图 2 具有相关关系 根据散点图 左下角到右上角的区域 变量 x 的值由小变大时 另一个变量 y 的值也 由小变大 所以它们具有正相关关系 例题 2 解 1 散点图 如图所示 2 由题意 得xiyi 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 4 i 1 4 5 x 3 4 5 6 4 3 5 y 2 5 3 4 4 5 4 x 32 42 52 62 86 4 i 1 2 i 则 0 7 b 66 5 4 4 5 3 5 86 4 4 52 66 5 63 86 81 3 5 0 7 4 5 0 35 a y b x 故线性回归方程为 0 7x 0 35 y 3 根据线性回归方程的预测 现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0 7 100 0 35 70 35 故消耗能源减少了 90 70 35 19 65 吨 例题 3 正解 因选项 A B D 中的两个变量间都有唯一确定的关系 因而它们都是函数关系 而选 项 C 中家庭收入会对消费支出产生一定的影响 但高收入未必有高消费 因而选项 C 中的关系才是相关 关系 故选 C 当堂检测答案 1 B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点 x y 由取值表可计算x 0 1 34 4 2 y 2 24 34 86 7 4 9 2 知回归方程为 y 0 95x a