现场清扫、洒水制度 (2)

广东工业大学试卷用纸 共 3 页 第 1 页 学学 院 院 专专 业 业 学学 号 号 姓姓 名名 装 订 线 线性代数复习题线性代数复习题 一 一 填空题 每小题填空题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 1 函数中 的系数为 x xx x xf 12 1 312 3 x 2 设 则 01 11 30 01 21 AA 2 1 A0 0A A 1 A 3 设是矩阵 且 而 则 A4 3 2R A 102 020 103 B R AB 4 设矩阵与相似 则 A 3 3 2 B EA 5 若为可逆阵的特征值 则的一个特征值为 2 A 1 2 1 3 A 二 二 选择题 每小题选择题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 1 下列命题正确正确的是 A 若 则可逆且ABE A 1 AB B 方阵的行列式阶子式AB ABBA C 若方阵不可逆 则都不可逆AB A B D 若阶矩阵或不可逆 则必不可逆nABAB 2 设为阶矩阵 为其伴随矩阵 则 An A Ak A B C D A n k n k A 1 n n kA n n kA 1 广东工业大学试卷用纸 共 3 页 第 2 页 3 若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数 那么 Axb A 必有无穷多解 B 必有非零解 Axb0 Ax C 仅有零解 D 一定无解 0 Ax0 Ax 4 设有向量组 与 1 1 1 2 4 2 0 3 1 2 3 3 0 7 14 4 1 2 2 0 则向量组的极大线性无关组是 5 2 1 5 10 A B 231 241 C D 251 2451 5 设 为 n 阶实对称可逆矩阵 则下面命题错误错误的是 AB A 有可逆矩阵 使得 B 有可逆矩阵 使得PQAPBQ PBAABPP 1 C 有可逆矩阵 使得 D 有正交矩阵 使得P 221 APBP PBAPPAPP T 1 三 计算行列式 三 计算行列式 6 分 分 设 计算的值 其中是代数余子式 4322 3211 4311 3151 A 44434241 AAAA 4 3 2 1 4 iA i 四 四 10 分 分 设矩阵满足关系 其中 求 X2 AXAX 423 110 123 AX 五五 10 分 分 设线性方程组为 532 4 03 321 321 321 xxx bxaxx xxx 问 取何值时 方程组无解 有唯一解 有无穷多解 在有无穷多解时求出其ab 通解 六六 10 分 分 设是的一个基础解系 不是的解 即 k 21 0 Ax 0 Ax0 A 讨论 向量组线性相关还是线性无关 k 21 广东工业大学试卷用纸 共 3 页 第 3 页 七 七 10 分 分 设 问 A 能否对角化 若能对角化 则求出可逆矩阵 460 350 361 A 使得为对角阵 P 1 P AP 八 八 共 共 14 分 证明题 分 证明题 1 6 分 分 若为阶幂等阵 求证 AnAA 2 n EArAr n 2 8 分 分 设是实矩阵 是维实列向量 Anm 0 m 证明 1 秩 2 非齐次线性方程组有解 AArAr T TT AAxA 广东工业大学试卷用纸 共 3 页 第 4 页 一 一 填空题 每小题填空题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 1 2 2 3 2 4 280 5 1100 1000 00 3 1 0 0001 3 4 二 二 选择题 每小题选择题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 12345 DCBBD 三 三 解 解 分 分 分 66 5 32 11 16 320 110 126 11 2060 0160 1260 3151 3 1111 3211 4311 3151 2 2 44434241 AAAA 评分说明 本题方法不唯一 但都要求计算必须有过程 结果不对的酌情给分 四 解 解 由已知 2 分 2 AE XA 因为 8 分 100386 2 010296 0012129 r AE A 广东工业大学试卷用纸 共 3 页 第 5 页 故 10 分 1 386 2 296 2129 XAEA 评分说明 本题方法不唯一 若结果不对的根据步骤酌情给出 五 解 五 解 3 分 1200 1110 0131 5312 41 0131 ba baA 当 2 时 方程组有唯一解 5 分 a 当 2 1 时 方程组无解 7 分 a b 当 2 1 时 2 3 方程组有无穷多组解 a b Ar Ar 其通解为 为任意常数 10 分 TT k 1 1 2 0 1 3 k 六 解 六 解 设有使得 k xxxx 210 1 0 22110 kk xxxx 2 4 分 0 2211210 kkk xxxxxxx 若 则可由线性表示 0 210 k xxxx k 21 是的解 与已知矛盾 故必有 0 Ax0 210 k xxxx 从而 7 分0 2211 kk xxx 由是的一个基础解系知线性无关 k 21 0 Ax k 21 0 21 k xxx 0 210 k xxxx 因此向量组线性无关 10 分 k 21 七 解七 解 由 2 460 35012 361 AE 得全部特征值为 4 分 123 1 2 将代入得方程组 12 1 0AE x 广东工业大学试卷用纸 共 3 页 第 6 页 解之得基础解系 6 分 12 12 12 360 360 360 xx xx xx 1 2 1 0 2 0 0 1 同理将代入得方程组的基础解系 7 分 3 2 0AE x 3 1 1 1 T 由于 所以线性无关 123 201 1010 011 123 令 则有 10 分 123 201 101 011 P 1 100 010 002 P AP 八 八 14 14 分分 1 1 证明 证明 AA 2 0 n EAA 3 3 分分nEArAr n 又 AEAE nn nn EArArAErArn 故 6 6 分分 n EArArn 2 证明 证明 1 因为若 则 0 A00 AAAT 而当时 由0 AAT 得 00 2 TTTT AAAAA 0 A