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函数模型及应用 例1国内投寄信函 外埠 邮资按下列规则计算 1 信函质量不超过100g时 每20g付邮资80分 即信函质量不超过20g 付邮资80分 信函质量超过20g 且不超过40g付邮资160分 依此类推 2 信函质量超过100g且不超过2000g时 每100g付邮资200分 即信函质量超过100g 但不超过200g付邮资 A 200 分 A为质量为100g的信函的邮资 信函质量超过200g 但不超过300g付邮资 A 400 分 依此类推 设一封xg 0 x 200 的信函应付的邮资为y 单位 分 试写出y与x之间的函数关系式 并画出这个函数的图像 这是一个分段函数问题 例1 某工厂在甲 乙两地的两个分厂各生产某种机器12台与6台 现在要销售给A地10台 B地8台 又已知从甲地调运一台到A地 B地的运费分别为400元与800元 从乙地调运一台到A地 B地的运费分别为300元与500元 1 设从乙地调运x台到A地 求总运费y元关于x的函数关系式 2 若总运费不超过9000元 问一共有几种调运方案 3 求出总运费最低的调运方案及最低的运费 2 为保护环境 实现城市绿化 某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD 如下图所示 上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR 公园的两边分别落在BC和CD上 但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF 问如何设计才能使公园占地面积最大 并求出最大面积 已知AB 200m BC 160m AE 60m AF 40m 设PO x 则S x 190 2 1902 0 x 200 即x 190时 最大面积为24067m2 该家庭所在地制定的收费办法是 煤气费 基本费 超额费 保险费 若每月用气量不超过最低限度A立方米 只支付基本费3元和每户每月的定额保险费C元 若用气量超过A立方米 则超出部分每立方米支付B元 又已知保险费C不超过5元 试根据上面的表格求A B C的值 例3 某家庭今年一月份到三月份煤气用量以及所支付的费用如下表表示 解 设每月用气量x米3 支付费用为y元 则得由0 C 5 有3 3 C 8 由于第二 第三月份的费用都大于8元 即用气量25米3 35米3都大于最低限度A米3 则两式相减 得B 0 5 A 2C 3 再分析一月份的用气量是否超过最低限度 不妨设A 4 将x 4代入y 3 B x A C 得3 0 5 C 3 5 由此推出3 5 4 矛盾 A 4 一月份付款额为3 C 3 C 4 即C 1 将C 1代入A 2C 3 得A 5 A 5 B 0 5 C 1 例4 某工厂生产某种零件 每个零件的成本为40元 出厂单价为60元 该厂为鼓励销售商订购 决定当一次订购量过100个时 每多订购一个 订购的全部零件的出厂单价就降低0 02元 但实际出厂单价不能低于51元 当一次订购量为多少个时 零件的实际出厂单价恰好降为51元 设一次订购量为x个 零件的实际出厂单价为y元 写出y关于X的函数解析式 因此 解决应用题的一般程序是 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 解模 求解数学模型 得出数学结论 作答 将用数学知识和方法得出的结论 还原为实际问题的意义 实际问题 数学模型 实际问题的解 抽象概括 数学模型的解 还原说明 推理演算 解应用题的一般思路 答 数学运用 2 课内练习 1 今有一组实验数据如下 现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律 其中最接近的一个是 2 一个高为H 盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示 现以均匀速度往水瓶中灌水 直到灌满为止 如果水深h时水的体积为V 则函数V f h 的图像大致是 3 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y m2 与时间t 月 的关系 y at 有以下叙述 这个指数函数的底数为2 第5个月时 浮萍面积就会30m2 浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1 5个月 浮萍每月增加的面积都相等 若浮萍蔓延到2m2 3m2 6m2所经过的时间分别为t1 t2 t3 则t1 t2 t3 其中正确的是 P 16 842 O 1234t 月 y m2 A B C D 数学运用 4 据报道 1992年底世界人口达到54 8亿 若世界人口的年平均增长率为x 到2008年底全世界人口数为y亿 则y与x的函数关系是 5 某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N N0e t 其中N0 是正常数 I 说明该函数是增函数还是减函数 II 把t表示成原子数N的函数 III 求当N N0 2时 t的值 课后作业 一水池有2个进水口 1个出水口 每个进水口或出水口的进出水速度如图甲 乙所示 某天0点到6点 该水池的蓄水量如图丙所示 至少打开一个水口 给出以下3个论断 0点到3点只进水不出水 3点到4点不进水只出水 4点到6点不进水不出水 则以上3个论断中一定正确的是 3 某纯净水制造厂在净化水的过程中 每增加一次过滤可减少水中杂质20 要使水中杂质减少到原来的5 以下 则至少需要过滤的次数为 参考数据lg2 0 3010 lg3 0 4771 4 某医药研究所开发一种新药 如果成年人按规定的剂量服用 据检测 服药后每毫升血液中的含药量y 毫克 与时间t 小时 之间近似满足如图所示的曲线 OA为线段 AB为某二次函数图像的一部分