武汉理工大学2014年数学建模课程论文

武汉理工大学武汉理工大学 20142014 年数学建模课程论文年数学建模课程论文 题目 金属板切割问题 姓 名 学 院 专 业 学 号 选课老师 黄小为 2014 年 6 月 23 日 金属板切割问题 在一个金属板加工车间内将要从尺寸为 48 分米 96 分米的大块矩形金属 板上切割下小块的金属板 此车间接到订单要求为 生产 8 块大小为 36 分米 50 分米的矩形金属板 13 块大小为 24 分米 36 分米的矩形金属板 以及 15 块大小为 18 分米 30 分米的矩形金属板 这些金属板都需要从现有的大块金 属板上切割下 为生产出满足订单要求的金属板 最少可以使用多少块大块金 属板 摘要摘要 本文介绍了金属板切割问题的数学模型的建立方法 要求对车间生产切割 金属板的方式进行数学规划 以达到经济效益最大化 可以采用穷举法和实际 意义相结合的方法 找出题目的隐含条件 通过各种搭配找到合理的切割金属 板的模式 在找到各种模式后 通过建立非线性规划的数学模型 以模式为基点 将 本题中的订单转化为切割金属板的各种约束条件 最后通过 LINGO 软件中的数 学规划模型求解功能求解出目标函数值 并且通过验证证明 该模型求解出的 最少原料使用量与具体切割方式是完全满足题目要求的 关键词关键词 切割方式 非线性规划 LINGO 1 问题要求 本题主要是讨论金属板的最优切割方式 并拟定最合理的方案使工厂经济 效益实现最大化 由已知条件知道工厂需要将一块完整的大矩形金属板切割成多块不同的小 矩形金属板 并且已经给出了所需产品的尺寸和数量 从经济方面来看 金属 板材料是最大的成本因素 因此 建立出的模型必须要遵循着节约材料的原则 然后结合实际情况 制定最合理的切割计划 2 模型假设 1 假设车间是以减少原料投入为主要节省方式 实际上 金属加工生产中的 余废料价值远远小于完整的原料价值 因此这样假设确立了模型是以最小原料 使用量为目标 2 金属切割时不发生原料总面积减少 在生产实践当中 由于切割工艺问题 在切割板材是会使切割线位置出现原料耗损 如融化 形变等 在模型中假设 这种耗损不存在 3 不考虑切割方式增加所带来的成本成本增加 作为简单的直线切割问题 生产模式的增加对设备要求 人力要求很少 因此对成本的增加微乎其微可以 忽略 即不限制切割模式的数量 4 假设所有原材料的大小规格完全一致 这样假设避免一些不确定因素对模 型求解时的不利影响 简化模型 1 3 模型建立 符号说明符号说明 原料使用量z 1 2 3 4 5 6 第 种方案所用的原料数ixii 产品A 5036dm 产品B 3624dm 产品C dm3018 问题分析问题分析 根据题目可知 即将原料的金属板材切割成 A B C 三种样式 dm9648 的产品 由于题中所涉及数据量较少 因此只需建立一个简单的非线性规划模 型 求解目标函数 Z 的最优解即可 在求解 Z 最优值的时候 根据订单所需的各项指标 采用原料使用量最少 原则 以达到工厂经济效益的最大化 模型建立模型建立 此题总体思路为建立一个非线性规划模型 通过题目要求条件对目标函数 的控制 实现目标函数的最优解 1 穷举法 利用穷举法 根据板材切割后余料不可能再生产产品的原则 穷举 9 种模式 的合理的生产模式 如下表所示 表 1 切割模式 产品 模式123456 A111000 B210540 C013018 2 非线性规划 首先确立目标函数 654321xxxxxxz 由于采用原料使用量最少原则 因此只需将各种模式下使用原材料的数量 加和得到目标函数 Z 并求解其最小值 再确立目标函数的各项约束条件 8321 xxx 图表中所给模式当中 有模式 1 2 3 能切割 A 型产品 并且 A 型产品数 量不能小于订单需求 135421 xxxx 图表中所给模式当中 有模式 1 2 4 5 能切割 B 型产品 并且 B 型产 品数量不能小于订单需求 156532 xxxx 图表中所给模式当中 有模式 2 3 5 6 能切割 C 型产品 并且 C 型产 品数量不能订单需求 4 模型求解 编写 LINGO 软件程序 利用其中的数学规划功能求解该问题 1 确立目标函数 2 编写约束条件 控制求解中的整数问题 2 min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 8 x1 x2 x4 x5 13 x2 x3 x5 x6 15 gin x1 gin x2 gin x3 gin x4 gin x5 gin x6 求解结果 Global optimal solution found Objective value 15 00000 Extended solver steps 0 Total solver iterations 4 Variable Value Reduced Cost X1 0 000000 1 000000 X2 15 00000 1 000000 X3 0 000000 1 000000 X4 0 000000 1 000000 X5 0 000000 1 000000 X6 0 000000 1 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 15 00000 1 000000 2 7 000000 0 000000 3 2 000000 0 000000 4 0 000000 0 000000 由计算结果知 最少使用 15 块大金属板 生产模式为 15 块大金属板均采用 模式 2 6 实验结果分析与检验 由运算结果可知 将 15 块金属板材用模式 2 进行切割 最终可得 15 块 A 型板 15 块 B 型板 15 块 C 型板 虽然部分产品型号超过了订单需求 而使 超过需求的部分成为废料 但如此规划切割模式 仍然能使所用大金属板的数 量达到最小 在实际生产当中 成型的板材废料比切割过程中出现的边角废料的可利用率 更高 因此 该模型求解结果依然具有较强的现实意义 7 模型的优缺点 模型的优点即 在建立过程中 充分考虑了在解决此问题当中的实际意义 确立了以所用原料最少的目标函数 使模型的大体方向正确 利于解决实际问 题 模型的缺点为 对于一个二维的非线性规划问题 如果一点涉及的规划条 件复杂化 很难采用穷举法将所有可能的情况全部举例说明 而且可能遗漏部 分需要讨论的情况 因此 对待更加复杂的非线性规划问题 应该采用模型约 束条件来限制目标函数 8 参考文献 1 百度文库 板材切割 LINGO 求解 ozqimXAPux2ORcBgKmpXhT3RglvBBF42Y4BwNOhBqqkS154BtK agYNfM3HS13 IQRN7TTRjcut6CpFreaAn Xkg