有理数及其运算

有理数 3 2 1 3 2 1 如负整数 如正整数 整数 0 零 8 4 3 2 3 1 2 1 如负分数 分数 8 3 3 5 3 1 2 1 如正分数 有理数及其运算知识点汇总有理数及其运算知识点汇总 1 注意 小数归在分数之内 但小数注意 小数归在分数之内 但小数 分数 分数 2 数轴 数轴 在数学中 通常用一条直线上的点表示数 这条直线叫做数轴 3 数轴的三要素 数轴的三要素 原点 正方向 单位长度 三者缺一不可 4 画数轴时要注意以下四点 画数轴时要注意以下四点 1 画直线 2 在直线上取一点作为原点 3 确定正方向 并用箭头表示 4 根据需要选取适当单位长度 5 任何一个有理数 都可以用数轴上的一个点来表示 任何一个有理数 都可以用数轴上的一个点来表示 反过来 不能说数轴上所有的点都表示 反过来 不能说数轴上所有的点都表示 有理数 有理数 数轴上两点表示的数 右边的数总比左边的大 正数大于 数轴上两点表示的数 右边的数总比左边的大 正数大于 0 负数小于 负数小于 0 正数大于负 正数大于负 数 数 6 相反数 相反数 如果两个数只有符号不同 那么称其中一个数为另一个数的相反数 也称这两个数互 为相反数 0 的相反数是 0 在数轴上 表示互为相反数的两个点 位于原点的侧 且到原点的距离相等 在数轴上 表示互为相反数的两个点 位于原点的侧 且到原点的距离相等 7 绝对值 绝对值 在数轴上 一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线 如 2 的绝对值等于 2 记作 2 2 数 a 的 绝对值记作 a 8 互为相反数的两个数的绝对值相等 互为相反数的两个数的绝对值相等 9 绝对值的性质 绝对值的性质 对任何有理数 a 都有 a 0 若 a 0 则 a 0 反之亦然 若 a b 则 a b 对任何有理数 a 都有 a a 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的数 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的数 0 的绝对值是的绝对值是 0 或 0 0 0 0 aa a aa a 0 0 aa aa a 除除 0 外 绝对值为一正数的数有两个 它们互为相反数 外 绝对值为一正数的数有两个 它们互为相反数 任何数的绝对值总是非负数 即任何数的绝对值总是非负数 即 a 0 10 比较两个数的大小 比较两个数的大小 1 利用数轴比较两个负数的大小 右边的数总是大于左边的数 2 利用绝对值比较两个负数的大小 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 11 有理数的加法法则 有理数的加法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 异号两数相加 绝对 值相等时和为 0 绝对值不等时 取绝对值较大的数的符号 并用较大数的绝对值减去较小数的 绝对值 一个数与 0 相加 仍得这个数 12 有理数的减法法则 有理数的减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 有理数减法运算时注意两有理数减法运算时注意两 变变 改变运算符号 改变减数的性质符号 变为相反数 有理数减法运算时注意一个有理数减法运算时注意一个 不变不变 被减数与减数的位置不能变换 也就是说 减法没有交 被减数与减数的位置不能变换 也就是说 减法没有交 0 1 2 3123 越来越大 换律 换律 有理数的加减法混合运算的步骤 有理数的加减法混合运算的步骤 写成省略加号的代数和 在一个算式中 若有减法 应由有理数的减法法则转化为加法 然后再省略加号和括号 利用加法法则 加法交换律 结合律简化计算 注意 减去一个数等于加上这个数的相反数 当有减法统一成加法时 减数应变成它本身 的相反数 13 加法的交换律 结合律在有理数运算中同样适用 加法的交换律 结合律在有理数运算中同样适用 灵活运用运算律 使用运算简化 通常有下列规律 互为相反的两个数 可以先相加 符号相同的数 可以先相加 分母相同的数 可以先相加 几个数相加能得到整数 可以先相加 注意 交换加数的位置时 连同数字前面的符号一起交换 14 有理数的乘法法则 有理数的乘法法则 两数相乗 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 任何数与 0 相乘 积仍为 0 注 解题步骤 1 判断符号 2 计算 注意 多个有理数相乘 当有奇数个负因数时 积为负数 当有偶数个负因数时 积为正数 注意 多个有理数相乘 当有奇数个负因数时 积为负数 当有偶数个负因数时 积为正数 当有因数为当有因数为 0 时 积为时 积为 0 15 求倒数的方法 求倒数的方法 乘积为 1 的两个有理数互为倒数 1 非零整数 直接写成这个数分之一 2 分数 把分子与分母的位置颠倒即可 带分数要化成假分数 小数要化成分数再求 注意 注意 1 倒数为本身的数 倒数为本身的数 1 1 2 0 没有倒数 没有倒数 16 有理数的除法法则 有理数的除法法则 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何非 0 的 数都得 0 注意 注意 0 不能做除数 即分母不能为零 不能做除数 即分母不能为零 除法法则 2 除以一个数等于乘这个数的倒数 17 有理数的乘方 有理数的乘方 求 n 个相同因数 a 的积的运算 一般的一般的 任意多个相同的有理数相乘任意多个相同的有理数相乘 我们通常记作我们通常记作 乘方的结果叫做幂 乘方的结果叫做幂 叫做底数 叫做底数 叫做叫做 n aan 指数 读作 指数 读作 a 的的 n 次方 或次方 或 a 的的 n 次幂 次幂 1818 注意 注意 当底数是负数或分数时当底数是负数或分数时 底数一定要加上括号底数一定要加上括号 这也是辩认底数的方法这也是辩认底数的方法 如 如 32 5 2 3 注意 注意 一个数可以看作是本身的一次方 如 5 51 当底数是负数或分数时 要先用括号将底数括上 再在右上角写指数 19 乘方的运算性质 乘方的运算性质 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 任何数的偶数次幂都是非负数 1 的任何次幂都得 1 0 的任何次幂都得 0 1 的偶次幂得 1 1 的奇次幂得 1 在运算过程中 首先要确定幂的符号 然后再计算幂的绝对值 20 有理数的混合运算顺序 按照从左到右的顺序 先算乘方 再算乘除 最后算加减 如果有 有理数的混合运算顺序 按照从左到右的顺序 先算乘方 再算乘除 最后算加减 如果有 括号 先算括号里面的 括号 先算括号里面的 21 把一个大于 把一个大于 10 的数 写成的数 写成 a 的形式 其中的形式 其中 1 a 10 n 是正整数 这种方法叫做科学是正整数 这种方法叫做科学 n 10 记数法 记数法 注意注意 1