双曲线的简单几何性质导学案

1 2 2 22 2 2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 学习目标 学习目标 1 通过对双曲线标准方程的讨论 掌握双曲线的范围 对称性 顶点 渐近线和离心率 通过对双曲线标准方程的讨论 掌握双曲线的范围 对称性 顶点 渐近线和离心率 等几何性质与双曲线的中心 实轴 虚轴 渐进线 等轴双曲线的概念 加深对等几何性质与双曲线的中心 实轴 虚轴 渐进线 等轴双曲线的概念 加深对 a b c e 的关系及其几何意义的理解 的关系及其几何意义的理解 2 能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题 能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题 学习重点学习重点 双曲线的简单几何性质及其应用 双曲线的简单几何性质及其应用 学习难点学习难点 渐近线方程的导出 渐近线方程的导出 知识回顾 1 双曲线的定义 2 双曲线的标准方程 3 回想椭圆有哪些几何性质 是如何探讨的 学习过程学习过程 一 一 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 一 试一试 类比探究椭圆的简单几何性质的方法 根据双曲线的标准方程 研究它的几何性质 22 22 1 0 0 xy ab ab 范围 由双曲线的标准方程可得 2 2 b y 从而得 x 的范围 即双曲线在不等式 和 所表示的区域内 从而得 y 的范 2 2 a x 围为 对称性 以代 方程不变 这说明 x x 所以双曲线关于 对称 同理 以代 方程不变y y 得双曲线关于 对称 以代 且以代 方程也不变 得双曲线关于 x xy y 对称 2 顶点 即双曲线与对称轴的交点 在方程里 令 y 0 得 x 得1 2 2 2 2 b y a x 到双曲线的顶点坐标为 我们把 1 A 2 A 1 B 2 B 也画在 y 轴上 如图 线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴 它们的 长分别为 离心率 双曲线的离心率 e 范围为 思考 离心率可以刻画椭圆的扁平程度 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征 探究 探究 在学习椭圆时 以原点为中心 2a 2b 为邻边的矩形 对于估计 仍以原点为中心 2a 2b 为邻边作一矩形 板书图形 那么双曲线和这个矩形有什么 关系 当 a b 为已知时 这个矩形的两条对角线的方程是什么 双曲线特有性质 5 双曲线的渐近线方程为 双曲线各支向外延伸时 与它的 22 22 1 xy ab 渐近线 二 想一想 1 根据上述五个性质 画出椭圆 与双曲线的图象 1 916 22 yx 1 916 22 yx 3 探究案 1 整合前面的探究结果 类比出双曲线焦点在 y 轴时的几何性质 完成下表 标准方程 a 0 b 0 1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 1 2 2 2 2 b x a y 图 象 范围 对称轴 对称中心 实虚轴 顶点 渐近线 离心率 a b c 关系 2 等轴双曲线定义及性质是什么 3 探究共渐近线的双曲线系 二二 例题讲解例题讲解 一 已知双曲线方程研究几何性质 一 已知双曲线方程研究几何性质 4 例例 1 求双曲线 的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标 顶点坐标 离心率 22 916144yx 渐进线方程 练习 1 的实轴长 虚轴长 顶点坐标 22 832xy 焦点坐标 离心率 2 的实轴长为 虚轴长 顶点坐标 22 4xy 焦点坐标 离心率 渐近线方程 拓展提升 的渐近线方程为 的渐近线方程为 1y 4 x 2 2 2 2 4 4 x y 的渐近线方程为 的渐近线方程为 2 2 1 4 x y 2 2 4 4 x y 思考 共渐近线的双曲线方程有什么特点 二 由双曲线方程性质求双曲线方程 二 由双曲线方程性质求双曲线方程 例例 2 2 求中心在原点 对称轴为坐标轴 过点 A 5 3 且离心率 e 的双曲线的标准2 方程 5 变式变式 求顶点在 x 轴上 两顶点间距离为 8 离心率 e 的双曲线的标准方程 4 5 3 3 小结小结 四 四 当堂检测当堂检测 1 双曲线的实轴长和虚轴长分别是 1 43 22 yx A 4 B 4 C 3 4 D 2 32323 2 如果双曲线的实半轴长为 2 焦距为 6 那么双曲线的离心率为 A B C D 2 2 3 2 6 2 3 3 双曲线的渐近方程是 焦点在坐标轴上 焦距为 10 其方程为 xy 2 1 A B 或 1 520 22 yx 1 520 22 yx 1 520 22 xy C D 1 205 22 yx 1 520 22 xy 4 等轴双曲线的一个焦点是 F1 4 0 则它的标准方程是 渐近线方程 是 5 求与椭圆有公共焦点 且离心率的双曲线方程 1 2449 22 yx 4 5 e 6 6 若双曲线的渐近线方程为求双曲线的离心率 x 4 3 y 7 若双曲线的离心率 求 k 的范围 1 k 4 22 yx 2 1e