柯西不等式及应用

武胜中学高 2009 级培优讲座 1 柯西不等式及应用柯西不等式及应用 武胜中学 周迎新 柯西不等式柯西不等式 设 a1 a2 an b1 b2 bn均是实数 则有 a1b1 a2b2 anbn 2 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 等号当且仅当 ai bi 为常数 i 1 2 3 n 时取到 注 二维柯西不等式 一 一 柯西不等式的证明 柯西不等式有多种证明方法 你能怎么吗 证法一 判别式法判别式法 令 f x a1x b1 2 a2x b2 2 anx bn 2 a12 a22 an2 x2 2 a1b1 a2b2 anbn x b12 b22 bn2 f x 0 0 即 a1b1 a2b2 anbn 2 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 等号仅当 ai bi时取到 证法二 二 二 柯西不等式的应用 柯西不等式的应用 柯西不等式是一个非常重要的不等式 其结构和谐 应用灵活广泛 灵活巧妙的运 用它 可以使一些较为困难的问题迎刃而解 并且柯西不等式本身的证明方法也值得在 不等式证明中借鉴 使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件 继而达到使用柯西不等式解决有 关的问题 1 证明不等式 武胜中学高 2009 级培优讲座 2 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便 而利用柯西不等式的技巧也有很多 如常数的巧拆 结构的巧变 巧设数组等 1 巧拆常数 例 1 设 为正数且各不相等 求证 abc cbaaccbba 9222 分析 均为正 为证结论正确只需证 abc 9 111 2 accbba cba 而 又 2accbbadba 2 111 9 2 重新安排某些项的次序 例 2 为非负数 1 求证 abab Rxx 21 212121 xxaxbxbxax 分析 不等号左边为两个二项式积 每个两项式可以使柯西 RxxRba 21 不等式 直接做得不到预想结论 当把节二个小括号的两项前后调换一下位置 就能证 明结论了 3 改变结构 例 3 若 求证 abc cacbba 411 分析 初见并不能使用柯西不等式 改造结构后便可使用柯西不等式了 cbbaca ca 0 ca 结论改为4 11 cbba ca 武胜中学高 2009 级培优讲座 3 4 添项 例 4 求证 Rcba 2 3 ba c ac b cb a 分析 左端变形111 ba c ac b cb a 只需证此式即可 111 baaccb cba 2 9 2 求最值 利用柯西不等式 可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题 例 5 已知 a b c R 且 a b c 1 求的最大值 141414 cba 例 6 求的最小值 cos 1 1 sin 1 1 aa y 2 0 a 3 在几何上的应用 例 7 三角形三边 a b c 对应的高为 ha hb hc r 为此三角形内切圆半径 若 ha hb hc 9r 试判断此三角形的形状 武胜中学高 2009 级培优讲座 4 例 8 ABC 的三边长为 a b c 其外接圆半径为 R 求证 2 222 222 36 sin 1 sin 1 sin 1 R CBA cba 证明 由三角形中的正弦定理得 所以 同理 R a A 2 sin 2 2 2 4 sin 1 a R A 2 2 2 4 sin 1 b R B 2 2 2 4 sin 1 c R C 于是左边 22 2 2 2 2 2 2 222 36 222 444 R c R a b R a a R a c R b R a R cba 故原不等式获证 以上几例以看出 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式 而且它 对初等数学也有很可的指导作用 利用它能高远瞩 居高临下 从而方便地解决一 些中学数学中的有关问题 练习 1 已知 a1 a2 a3 an b1 b2 bn为正数 求证 2 设求证 21 Rxxx n n n n xxx x x x x x x x x 21 1 2 32 2 1 1984 年全国高中数学联赛题 3 已知实数满足 试求的最值 a b c d3abcd 2222 2365abcd a 4 设 a b c 0 且 acos2 bsin2 c 求证 cba 22 sincos 5 设是内的一点 是到三边的距离 是外接圆的半径 pABCA x y zp a b cRABCA 武胜中学高 2009 级培优讲座 5 柯西不等式 一 公式基本结构 设 ai bi R i 1 2 3 n a1b1 a2b2 a3b3 anbn 2 a12 a22 a32 an2 b12 b22 b32 bn2 当且仅当 bi kai i 1 2 n 时 k 为常数 时等号成立 二阶形式 a1b1 a2b2 2 a12 a22 b12 b22 三阶形式 a1b1 a2b2 a3b3 2 a12 a22 a32 b12 b22 b32 二 证明 先证明较简单的情况 以三阶形式为例 用构造法证明 构造 f x a12 a22 a32 x2 2 a1b1 a2b2 a3b3 x b