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第三讲有关对称问题 学习目标 基础落实 1 掌握中心对称和轴对称的概念 2 掌握对称轴是特殊直线 如x轴 y轴 y x等 的对称问题的处理方法 3 会根据对称的定义处理对称轴是一般直线的对称问题 2 直线2x 3y 6 0关于点 1 1 对称的直线方程是 A 3x 2y 2 0B 2x 3y 7 0C 3x 2y 12 0D 2x 3y 8 0 选D 设对称直线上任一点为P x y 它关于 1 1 的对称点为 x0 y0 则 所以x0 2 x y0 2 y 代入已知直线方程得2 2 x 3 2 y 6 0 即2x 3y 8 0 3 已知点P 3 2 与点Q 1 4 关于直线l对称 则直线l的方程为 A x y 1 0B x y 0C x y 1 0D x y 0 选A 因为l是PQ的中垂线 所以 所以PQ的中点是 2 3 所以直线l的方程是y 3 x 2 即x y 1 0 4 直线x 2y 1 0关于直线x 1对称的直线方程是 A x 2y 1 0B x 2y 1 0C 2x y 3 0D x 2y 3 0 对称轴是特殊直线的对称 问题光线从点A 2 4 射出 经过y轴反射 反射光线又经过x轴反射后 经过点B 4 2 1 求入射光线所在直线的方程 2 求光线从A到B经过的路程S 1 如图 A 2 4 B 4 2 A B y 4 即y x 2 与y轴交点为 0 2 所以入射光线所在直线的方程为y x 2 2 A到B经过的路程S A B 对称轴是特殊直线如x轴 y轴 直线y x等 其对称点可利用已知的结论直接得到 1 已知直线l1和l2夹角的平分线为y x 如果l1的方程是ax by c 0 ab 0 那么l2的方程是 A bx ay c 0B ax by c 0C bx ay c 0D bx ay c 0 对称轴是一般直线的对称问题 已知直线l x 2y 1 0 l1 x y 2 0 求直线l1关于l对称的直线l2的方程 在轴对称问题中 点关于直线的对称是最基本 最重要的对称 处理这种对称问题要紧紧抓住对称的意义 利用垂直 平分两个条件列出方程组 本题中两种解法是解这类问题的基本解法 2 已知 ABC的一个顶点 A 1 4 内角 B C的角平分线所在的直线方程分别是l1 y 1 l2 x y 1 0 求BC边所在直线的方程 由角平分线的性质可知 点A关于直线l1 l2的对称点在BC边所在的直线上 显然 点A 1 4 关于直线l1的对称点为M 1 2 设点A关于直线l2的对称点为N a b 则 对称的实际应用问题 某地两邻镇在一直角坐标系下的坐标为A 1 2 B 4 0 一条河所在的直线方程为l x 2y 10 0 若在河边l上建一座供水站P 使到A B两镇的管道最省 问应建在什么地方 如图所示 过A作直线l的对称点A 连接A B交l于P 则P为所求 这是因为 若在P 异于P AP P B A P BP A B 凡是路程之和最近 光的行程最短等问题的求解都可考虑利用点关于直线对称进行处理 3 求函数的最小值 因为所以上式可看做x轴上的点P x 0 到A 0 1 B 2 2 的距离之和 如图 因为A 0 1 关于x轴的对称点为A 0 1 所以A B的方程为y x 1 令y 0 得x 故当x 时 y取最小值 所以ym