层次分析法例题

数数 学学 建建 模模 作作 业业 班级 高分子材料与工程 姓名 林志许 朱金波 任宇龙 学号 1211020115 1211020126 1211020134 层次分析法层次分析法 某物流企业需要采购一台设备 在采购设备时需要从功能 价格与可 维护性三个角度进行评价 考虑应用层次分析法对 3 个不同品牌的设备进 行综合分析评价和排序 从中选出能实现物流规划总目标的最优设备 其 层次结构如下图所示 以 A 表示系统的总目标 判断层中 1 B 表示功能 2 B 表示价格 3 B 表示可维护性 1 C 2 C 3 C 表示备选的 3 种品牌的设备 购买设备 A 功能 B1价格 B2 维护性 B3 产品 C1产品 C2产品 C3 目标层 判断层 方案层 图 设备采购层次结构图 解题步骤 解题步骤 1 标度及描述标度及描述 人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示 即同样重要 稍微重 要 较强重要 强烈重要 绝对重要 当需要较高精度时 可以取两个相 邻属性之间的值 这样就得到9个数值 即9个标度 为了便于将比较判断定量化 引入1 9比率标度方法 规定用 1 3 5 7 9分别表示根据经验判断 要素i与要素j相比 同样重要 稍 微重要 较强重要 强烈重要 绝对重要 而2 4 6 8表示上述两判断 级之间的折衷值 标度标度定义 比较因素定义 比较因素 i 与与 j 1因素 i 与 j 同样重要 3因素 i 与 j 稍微重要 5因素 i 与 j 较强重要 7因素 i 与 j 强烈重要 9因素 i 与 j 绝对重要 2 4 6 8两个相邻判断因素的中间值 倒数因素 i 与 j 比较得判断矩阵 a ij 则因素 j 与 i 相比的判断为 aji 1 aij 注 aij表示要素i与要素j相对重要度之比 且有下述关系 aij 1 aji aii 1 i j 1 2 n 显然 比值越大 则要素i的重要度就越高 2 构建判断矩阵 构建判断矩阵 A 判断矩阵是层次分析法的基本信息 也是进行权重计算的重要依据 根据结构模型 将图中各因素两两进行判断与比较 构造判断矩阵 判断矩阵 BA 即相对于物流系统总目标 判断层各因素相对重要性 比较 如表1所示 判断矩阵 CB 1 相对功能 各方案的相对重要性比较 如表 2 所示 判断矩阵 CB 2 相对价格 各方案的相对重要性比较 如表 3 所示 判断矩阵 CB 3 相对可维护性 各方案的相对重要性比较 如表 4 所 示 表 1 判断矩阵 BA A1 B 2 B 3 B 1 B 11 32 2 B 315 3 B 1 21 51 表 2 判断矩阵 CB 1 1 B 1 C 2 C 3 C 1 C 1l 31 5 2 C 311 3 3 C 531 表 3 判断矩阵 B2 C 2 B 1 C 2 C 3 C 1 C 127 2 C 1 215 3 C 1 71 51 表 4 判断矩阵 CB 3 3 B 1 C 2 C 3 C 1 C 13l 7 2 C l 311 9 3 C 791 3 计算各判断矩阵的特征值 特征向量及一致性检验指标 计算各判断矩阵的特征值 特征向量及一致性检验指标 一般来讲 在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量 必不 需要较高的精度 用求和法或求根法可以计算特征值的近似值 求和法 1 将判断矩阵A按列归一化 即列元素之和为1 bij aij aij 2 将归一化的矩阵按行求和 ci bij i 1 2 3 n 3 将ci归一化 得到特征向量W w1 w2 wn T wi ci ci W即为A的特征向量的近似值 4 求特征向量W对应的最大特征值 求根法 1 计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根 i 1 n n j iji aw 1 2 n 2 将归一化 得到 W w1 w2 wn T即为A的 i w n i i i i w w w 1 特征向量的近似值 3 求特征向量W对应的最大特征值 1 判断矩阵判断矩阵 BA 的特征根 特征向量与一致性检验的特征根 特征向量与一致性检验 计算矩阵计算矩阵 BA 的特征向量 的特征向量 计算判断矩阵 BA 各行元素的乘积 i M 并求其n次方根 如 3 2 2 3 1 1 1 M 874 0 3 11 MW 类似地有 466 2 3 22 MW 464 0 3 33 MW 对向量 T n WWWW 21 规范化 有 230 0 464 0 466 2 874 0 874 0 1 1 1 n i i W W W 类似地有 684 0 2 W 122 0 3 W 所求得的特征向量即为 T W 122 0 648 0 230 0 计算矩阵计算矩阵 BA 的特征根的特征根 T AW 122 0 648 0 230 0 15 12 1 513 23 11 69 0 122 0 2648 0 3 1 230 0 1 1 AW 类似地可以得到 948 1 2 AW 3666 0 3 AW 按照公式计算判断矩阵最大特征根 004 3 122 0 3 3666 0 648 0 3 948 1 230 0 3 69 0 1 max n i i i nW AW 一致性检验 实际评价中评价者只能对A进行粗略判断 这样有时会犯不一致的错 误 如 已判断C1比C2重要 C2比C3较重要 那么 C1应该比C3更重要 如果又判断C1比C3较重要或同等重要 这就犯了逻辑错误 这就需要进行 一致性检验 根据层次法原理 利用A的理论最大特征值 max与n之差检验一致性 一致性指标 计算 002 0 13 3004 3 1 max n n CI 0 1 1 0003 0 RI CI CR 查同阶平均 随机一致性指标 表 5 所示 知 58 0 RI 一般认为 CI 0 1 CR 0 1 时 判断矩阵的一致性可以接受 否则重新两两进行比较 表 5 平均随机一致性指标 阶数34567891011121314 RI0 580 891 121 261 361 411 461 491 521 541 561 58 2 判断矩阵判断矩阵 CB 1 的特征根 特征向量与一致性检验的特征根 特征向量与一致性检验 类似于第 1 步的计算过程 可以得到矩阵 CB 1 的特征根 特征向量与 一致性检验如下 T W 637 0 258 0 105 0 039 3 max 1 0033 0 CR 3 判断矩阵判断矩阵 CB 2 的特征根 特征向量与一致性检验的特征根 特征向量与一致性检验 类似于第 1 步的计算过程 可以得到矩阵刀 C 的特征根 特征向 量与一致性检验如下 T W 075 0 333 0 592 0 014 3 max 1 0012 0 CR 4 判断矩阵判断矩阵 CB 3 的特征根 特征向量与一致性检验的特征根 特征向量与一致性检验 类似于第 1 步的计算过程 可以得到矩阵 CB 3 的特征根 特征向量与 一致性检验如下 T W 785 0 066 0 149 0 08 3 max 1 0069 0 CR 4 层次总排序 层次总排序 获得同一层次各要素之间的相对重要度后 就可以自上而下地计算各 级要素对总体的综合重要度 设二级共有m个要素c1 c2 cm 它们对总值 的重要度为w1 w2 wm 她的下一层次三级有p1 p2 pn共n个要素 令 要素pi对cj的重要度 权重 为vij 则三级要素pi的综合重要度为 方案C1的重要度 权重 0 230 0 105 0 648 0 529 0 122 0 149 0 426 方案C2的重要度 权重 0 230 0 258 0 648 0 333 0 122 0 066 0 283 方案C3的重要度 权重 0 230 0 637 0 648 0 075 0 122 0 785 0 291 依据各方案综合重要度的大小 可对方案进行排序 决策 层次总排 序如表6所示 表 6 层次总排序 1 B 2