数理方程第讲勒让德多项式ppt课件.ppt

第六章勒让德多项式 6 1勒让德方程及其解的表示 1勒让德方程勒让德多项式在分离变量法一章中 我们已经知道拉普拉斯方程 1 1 在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程 和球谐函数方程 2 1 2 式的解 与半径 无关 故称为球谐函数 或简称为球函数 球谐函数方程进一步分离变量 令 得到关于 的常微分方程 1 3 称为 阶连带勒让德方程 令 和 把自变数从 换为 则方程 1 3 可以化为下列 阶连带勒让德方程 形式的 1 4 若所讨论的问题具有旋转轴对称性 即定解问题的解与 无关 则 即有 1 5 称为 阶勒让德 legendre 方程 同样若记 则上述方程也可写为下列形式的 阶勒让德方程 1 6 2勒让德多项式的表示 1 勒让德多项式的级数表示 我们知道 在自然边界条件下 勒让德方程的解 为 1 7 式中 上式具有多项式的形式 故称 为 阶勒让德多项式 勒让德多项式也称为第一类勒让德函数 式 1 7 即为勒让德多项式的级数表示 注意到 故可方便地得出前几个勒让德多项式 勒让德多项式的图形可通过计算机仿真 如MATLAB仿真 得到 计算 这应当等于多项式 的常数项 如 为 即为奇数 时 则 只含奇 数次幂 不含常数项 所以 8 即为偶数 时 则 含有常数项 即 7 中 的那一项 所以 9 式中记号 而 因此 2 勒让德多项式的微分表示 1 10 上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯 Rodrigues 表示式 下面证明表达式 1 10 和 1 7 是相同的 证明 略 6 2勒让德多项式的性质 1勒让德多项式的性质 1 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点 有如下结论 i 的 个零点都是实的 且在 内 ii 的零点与 的零点互相分离 2 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式 作代换 容易得到 2 1 即当 为偶数时 勒让德多项式 为偶函数 为奇数时 为奇函数 3 勒让德多项式的正交性及其模 不同阶的勒让德多项式在区间 上满足 2 2 其中 当 时满足 2 3 称为正交性 相等时可求出其模 2 4 下面给出公式 2 2 及其模 2 4 的证明 证明 1 正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程 故有 两式相减 并在 1 1 区间上对x积分 得 因为上面等式左边的积分值为 所以当 时 必然有 根据 成立 2 模 利用分部积分法证明 为了分部积分的方便 把上式的 用微分表示给出 则有 注意到 以 为 级零点 故其 阶导数 必然以 为一级零点 从而上式已积出部分的值为零 再进行 次分部积分 即得 是 次多项式 其 阶导数也就是最高幂项 的 阶导数为 故 再对上式分部积分一次 容易看出已积出部分以 为零点 至此 分部积分的结果是使 的幂次降低一次 的幂次升高一次 且积分乘上一个相应的常数因子 继续分部积分 计 次 即得 故勒让德多项式的模为 且有 4 广义傅里叶级数 定理2 1在区间 1 1 上的任一连续函数 可展开为勒让德多项式的级数 2 5 其中系数 2 6 在实际应用中 经常要作代换 此时勒让德方程的解为 这时有 2 7 其中系数为 2 8 2 勒让德多项式的应用 广义傅氏级数展开 例2 1将函数 按勒让德多项式形式展开 解 根据 2 5 设 考虑到 由 2 6 显然有 所以 例2 2将函数 展开为勒让德多项式 形式 解 用直接展开法 令 则由 我们知道 可设 考虑到勒让德函数的奇偶性 显然 由 项的系数 显然得出 故有 下面我们给出一般性结论 结论1 设 为正整数 可以证明 结论2 根据勒让德函数的奇偶性 若需展开的函数 为奇函数 则展开式 2 5 系数 若需展开的函数 为偶函数 则展开式 2 5 系数 例2 3以勒让德多项式为基 在 1 1 区间上把 展开为广义傅里叶级数 解 本例不必应用一般公式 事实上 是三次多项式 注意 既非奇函数 也非偶函数 设它表示为 比较同次幂即得到 由此得到 例3 1求 解 勒让德多项式的递推公式 证明 略 例3 2 求积分 解 利用递推公式 3 11 故有 例