经济应用数学第二章ppt课件.ppt

经济应用数学讲义 主讲人 杨利琴讲课时间 2014 9 19邮箱 第一章 经济函数与极限 第二章 导数及其经济应用 第三章 积分及其经济应用 第四章 矩阵与行列式 第五章 概率统计 目录 第二章导数及其经济应用 导数与微分的概念导数的计算边际分析弹性分析函数的极值最优化分析 2 1导数与微分的概念 一 导数概念的引入 二 导数的定义 三 基本初等函数的导数公式 2 1 1 引例 引例1 产品总产量的变化率 在生产过程中 生产总量是时间的函数 设为 开始时刻的总产量为 从开始时刻到时刻的总产量改变量为 产品的平均变化率为 当时 若产量平均变化率的极限存在 则称此极限为总产量在时刻的变化率 即 取 求产量在时刻的变化率 首先取邻近左边时刻 计算出产量在个点的平均变 化率 产品总产量的平均变化率 从表可以看出 当时间段很小时 平均变化率很接近某一确定的值2 结果如下 然后取邻近右边时刻计算产量在各点的平均变化率 从表可以看出 当时间段的变化很小时 平均变化率很接近某一确定的值2 切线的定义 设有经济函数C及C上一点M 在点M附近取一点N 当点N沿曲线C无限趋于点M时 割线MN趋于极限位置MT 直线MT就称为曲线C在M点的切线 引例2 如何求我们的切线方程呢 设 则 根据上述定义只要求出切线的斜率就行了 为此 设 于是割线MN的斜率为 当点N沿曲线C趋于M时 即时 此时斜率如果存在 则有 此时 切线方程为 注意 1 与曲线只有一个交点的直线不一定是切线 2 切线可能与曲线有多个交点 3 切线可能穿过曲线位于曲线两侧 思考 引例1 产品的平均变化率引例2 曲线的斜率 有什么共同特征 2 1 2导数的定义 1 导数在某一点的定义 设函数在点的某个临域内有定义 当自变量在处取得某个增量时 相应的函数取得增量 如果与的比值当时的极限存在 则称在处可导 并称这个极限为在处的导数 记为 即 导数的几何意义 2 左 右导数 若函数在点处以下左 右极限存在 则称函数分别在处存在左右导数 记作 定义2 1 3 注 函数在点处可导的充要条件是左右导数都存在且相等 左导数 右导数 3 函数在区间上的导数 如果函数在开区间上每一点都有导数 此时对于每一个 都对应着一个确定的导数 从而构成一个新的函数 并称这个函数为在开区间内的导函数 即 如果在区间上可导 且都存在 则称在区间上可导 3 基本初等函数的导数公式 1 常数函数的导数 若 则 2 幂函数的导数 一般地 对于幂函数 有 3 指数函数的导数 一般地 对于指数函数 有 4 对数函数的导数 一般地 对于对数函数 有 5 三角函数的导数 6 反三角函数的导数 例 利用导数的定义求极限 已知 求解 求下列函数的导数 求下列函数在指定点的导数 2 2导数的计算 一 导数的四则运算法则 二 复合函数求导法则 1 导数的四则运算法则 1 和差求导法则 设在点可导 则两个函数的代数和在点也可导 且 特别地 有 其中为常数 例1求曲线的水平切线 解 令 解得所以 曲线在处有水平切线 曲线上相应的点为 2 积导数法则 设在点可导 则两个函数的积在点也可导 且 例2求的导数 解 3 商导数法则 设在点可导 则两个函数的商在点也可导 且 特别地 有 例3用商导法则求的导数 解 用函数求导的四则运算法则求下列函数的导函数 2 复合函数求导法则 如果在点可导 而在点可导 则复合函数在点可导 且有 设 则复合函数的导数为 例4 求 解 原函数可以分解为因为故有 用函数复合函数的导函数 2 3边际分析 一 边际函数 二 边际成本 三 边际收益 四 边际利润 五 边际需求 1 边际函数 定义设函数在点处可导 则其导数在经济学中被称为的边际函数 根据导数的定义我们知道 当函数的自变量在处发生一个很小的变化时 函数的增量为当很小时有以下近似公式 例如 对于 有 在附近的变化如下表 2 边际成本 定义设函数是产量为时的总成本函数 当产量改变时 总成本的改变量为而表示总成本对产量的变化率 当时 若极限存在 则称此极限为产量为时的边际成本 由边际成本的定义可知 边际成本是成本函数的一阶导数 即因为对于产品变化量来讲 最小改变量就是一个单位 所以边际成本在经济学上的解释为 边际成本表示产量为时 若再增加 或减少 一个单位 总成本增加或减少的数量 例设成本函数为 1 求边际成本函数 2 生成50个单位时的平均单位成本和边际成本值 并解释后者的经济意义 解 1 边际成本函数为 2 时的平均单位成本和边际成本分别为经济意义 当生产达到50个单位时 如果再多生产一个产品就会增加成本17 5元 例设成本函数为 1 指出固定成本 可变成本 2 求边际成本函数及产量为200时的边际成本 并解释其的经济意义 3 如果国家对该厂征收固定税收 固定税收对产品的边际成本是否会有影响 为什么 举例说明 解 1 固定成本为200 可变成本为 2 边际成本函数为 经济意义为 在产量为200单位的基础上 再增加一个单位产品 总成本增加24元 3 因国家对该厂增加的固定税收与产量无关 这种税收可列入固定成本 因而对边际成本没有影响 例如 国家征收的固定税收为100元 则总成本为边际成本为 3 边际收益 定义设收益函数可导 其中R表示收益 Q表示商品销售量 则其边际函数称为边际收益函数 记作MR 经济意义 销售量达到Q时 如果销售量增加或减少一个单位产品 则收益相应增加或减少MR个单位 例设产品的需求函数为 其中分别为需求量和价格 求边际收入函数 以及时的边际收益 并解释所得结果的经济意义 解 总收益函数为由题设的需求函数为于是 总收益函数为所以 边际收益函数为 经济意义 当销售量即需求量为20个单位时 再增加销售可使总收入增加 再多销售1个单位 总收入增加12个单位 当销售量为50个单位时 总收入达到最大值 再增加销售总收入不会增加 当销售量为70个单位时 再多销售1个单位 总收入反而减少8个单位 当 4 边际利润 定义设是利润函数 则总成本 总收入和总利润之间的关系为两边求导 得称为边际利润 经济意义 当产量达到Q时 如果销售量增加或减少一个单位产品 则总利润相应增加或减少的数量 例某工厂生产一批产品的固定成本为2000元 每增加一吨产品成本增加50元 设该产品的市场需求规律为 P为价格 产销平衡 试求 产品为100t时的边际利润 解由于 故总收益为又因为因此 边际利润为当产量为100t时 边际利润为 5 边际需求 定义边际需求是需求函数的导数 经济意义 当价格为P时 价格上涨或下跌一个单位 需求量将减少或增加的数量 例某商品的需求函数为 求当时的边际需求 并说明其经济意义 解 边际需求为当时的边际需求为经济意义 它表示价格为4时 价格上涨或下跌一个单位时 需求量将减少或增加8个单位 例题 2 4弹性分析 一 弹性的概念 二 需求弹性 三 供给弹性 1 弹性的概念 引例 一台电视机的价格为1000元 1kg的水果价格约为1元 现在两件商品都涨价1元 两件商品价格的绝对改变都是1元 但是各与其原价相比 两者涨价的百分比却有很大不同 电视机涨了0 1 而水果涨了100 显然前者更容易被消费者接受 因此 仅仅考虑变量的绝对增长对经济函数的影响是不科学的 有时要用相对改变量来刻画其变化情况 定义设函数在的某个邻域内有定义 且 如果极限存在 则称此极限为函数在点处的弹性 记为并称 比值为函数在点与之间的弧弹性 由定义可知 定义如果函数在区间可导 且则称为函数在区间内的弹性函数 经济意义 反映了的百分比变化相对于的百分比变化的强烈程度或灵敏度 例求函数的弹性函数以及 解 2 4 2需求弹性 定义设某商品的市场需求量为 价格为 需求函数可导 则定义为该产品在价格为时的需求价格弹性 简称需求弹性 经济意义 需求弹性表示价格为P时 价格变动1 需求量将变化 它反映了需求量对价格变动反应的强烈程度或灵敏度 注 一般地 需求函数是单调递减函数 需求量随价格的提高而减少 故 因此 需求弹性所以 需求弹性一般式负值 这表明当商品的价格上涨1 时 其需求量将减少 因此说某商品的需求弹性大指的是绝对值大 例设某商品的需求函数 求 1 需求弹性函数 2 时的需求弹性 并解释其经济意义 解 1 2 说明当P 21时 价格上涨1 或下跌 1 需求将减少 或增加 0 7 即P 21时 需求变动的幅度小于价格变动的幅度 说明当P 30时 价格上涨 或下跌 1 需求将减少 或增加 1 即P 30时 需求变动的幅度等于价格变动的幅度 说明当P 45时 价格上涨 或下跌 1 需求将减少 或增加 1 5 即P 45时 需求变动的幅度大于价格变动的幅度 3 供给弹性 定义设某商品供给函数在处可导 则定义为该产品在价格为P时的供给弹性 经济意义 供给弹性表示价格为P时 价格上涨 或下跌 1 供给量将上涨 或下跌 它反映了供给量对价格变动反应的强烈程度或灵敏度 例设某产品的供给函数为 求 1 供给弹性函数 2 P 3时的供给弹性 并说明其经济意义 解 1 2 说明P 3时 价格上涨 下跌 1 供给将增加1 5 即当P 3时 供给变动的幅度大于价格变动的幅度 例题分析 2 5函数的极值 一 函数的单调性 二 函数的极值 函数的单调性 股票曲线 2 5 1 利用导数判断函数的单调性 如果函数在上单调增加 那么它的图形是一条沿轴正向上升的曲线 其上各点切线对轴的倾斜角都是锐角 因此它们的斜率是正的 即 如果函数在上单调递减 那么它的图形是一条沿轴正向下降的曲线 其上各点切线对轴的倾斜角都是钝角 因此它们的斜率是负的 即 定理2 5 1设在内可导 则 1 在上单调递增的充要条件是 2 在上单调递减的充要条件是 例讨论的单调性 例已知某产品的平均成本函数为试讨论其单调性 解 因为令 解得 令 解得 即 1 当时 平均成本函数单调递增 2 当时 平均成本函数单调递减 2 5 2函数的极值 定义设函数在的某个邻域内有定义 对于邻域内异于的任一点 如果恒有 则称是函数的一个极大值点 如果在某个邻域内恒有 则称是函数的一个极小值点 注 函数的极大值和极小值是一个局部性概念 如果是函数的极大值 极小值 那只是就附近的一个局部范围来说 是最大值 最小值 对于整个定义于来说不一定是最大值 最小值 由图可以看出 在函数的极值点处 如果曲线存在切线 那么切线一定是水平的 因此 我们得到极值存在的必要条件 定理2 5 2设在点处可导 且在处取得极值 那么有 定义使一阶导数等于0的点称为函数的驻点 如果在极值点处导数存在时 极值点一定是驻点 但是驻点不一定是极值点 注 函数的极值点并不一定是导数等于0的点 导数不存在的点也有可能取得极值 定理2 5 3 函数极值的第一充分条件 定理2 5 4 函数极值的第二充分条件 求函数极值的步骤有哪些 2 6最优化分析 一 函数的最大值与最小值 二 最优化分析 2 6 1函数的最大值与最小值 产品最多 用料最省 成本最低 效率最高 最大值 最小值 思考 最值与极值有什么关系 最大一定是极大吗 极大一定是最大码 最小一定是极小吗 极小一定是最小码 设f x 为闭区间上的连续函数 肯定有最大值和最小值 而