第九章-多元函数的积分学

第 9 章 多元函数的积分学 第一节 重积分的概念与性质 一 重积分的概念 引例 1 曲顶柱体的体积 曲顶柱体是指底是面上的有界闭区域 它的侧面是以的边界为准线而母线xOyDD 平行于轴的柱面的一部分 它的顶面是曲面 且z yxfz Dyx 为上的连续函数 如图所示 现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积0 yxfD V 1 分割区域 任取一组曲线网将区域分割成个小闭区域 DDn 1 D 2 D i D n D 2 近似代替 在中任取一点 用表示的面积 则以为底 i D ii i i D i D 以为高的平顶柱体的体积为 于是有 ii f iii f iiii fV 2 1 ni 3 作和 n i iii n i i fVV 11 4 取极限 记 当趋于零时 max 1 i ni d n i iii fV 1 0 lim 引例 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有面上的有界闭区域 它在点处的面密度为xOyD yx 且在上连续 现在要计算该薄片的质量 0 yx DM 首先作分割 将薄片任意分成个小块 在上任取一点 用表示n i D ii i 的面积 就可得到每个小块薄片质量的近似值 i D i M iii 2 1 ni 再通过求和即得平面薄片质量的近似值 n i iii n i i MM 11 记 则 max 1 i ni d n i iii M 1 0 lim 1 二重积分的定义 定义 1 设是有界闭区域上的有界函数 将闭区域任意分割成个小闭区域 yxfDDn 1 D 2 D i D n D 并用表示第 个小闭区域的面积 在每个小区域上任取一点 i i i D i D iii D 作乘积 近似代替 并作和 记 iii f 2 1 ni n i iii f 1 如果当趋于零时和式的极限存在 则称此极 max 1 i ni Dd n i iii f 1 0 lim 限为函数在有界闭区域上的二重积分 记为 yxfD 其中称为被积函数 称为被积 n i iii D fdyxf 1 0 lim yxf dyxf 表达式 称为面积元素 及称为积分变量 称为积分区域 称为二重积分 dxyD 号 定理 1 可积的充分条件 若函数在有界闭区域上连续 则函数在 yxfD yxf 上必可积 D 定理 2 可积的必要条件 若函数在有界闭区域上可积 则函数在 yxfD yxf 上必有界 D 曲顶柱体体积 非均匀平面薄片质量 dyxfV D dyxM D 若 则由引例 1 知表示曲顶柱体的体积 若 曲0 yxf dyxf D 0 yxf 顶柱面位于面的下方 故二重积分为负值 其绝对值恰为曲顶柱体的体积 即xOy 为曲顶柱体体积的负值 若在区域上正负相间 则 dyxf D yxfD 为位于面上方的曲顶柱体体积与位于面下方的曲顶柱体体积的代 dyxf D xOyxOy 数和 这一几何意义与一元函数定积分的几何意义完全类似 2 三重积分的定义 定义 2 设三元函数是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分割成 zyxf 个小闭区域 并用表示第 个小区域的体积 现任取n 1 2 n i V i i 一点 作乘积 近似代替 并作和 iiii iiii Vf 2 1 ni 记 如果当趋于零时和式的极限 n i iiii Vf 1 max 1 i ni d 存在 则称此极限为函数在有界闭区域上的三重积分 n i iiii Vf 1 0 lim zyxfD 记为 即 其中称 dVzyxf n i iiii VfdVzyxf 1 0 lim zyxf 为被积函数 称为被积表达式 称为体积元素 及称为积分变dVzyxf dVxyz 量 称为积分区域 称为三重积分号 称为积分区域 D 与二重积分相类似 若函数在有界区域上连续 则在上的三 zyxf zyxf 重积分必存在 即在上可积 zyxf 如果于上 表示物体在点的体密度 是该物体所占有的空0 zyxf zyx 间闭区域 则在上的三重积分就为该物体的质量 即 zyxf M dVzyxfM 二 重积分的性质 性质 1 如果函数 都在上可积 则对任意常数 函数 yxf yxgD 在上也可积 且有 yxgyxf D DDD dyxgdyxfdyxgyxf 这一性质称为重积分的线性性质 性质 2 如果函数在上可积 用曲线将分成两个闭区域 则 yxfDD 1 D 2 D 在和上仍可积 且有 这 yxf 1 D 2 D 21 DDD dyxfdyxfdyxf 一性质称为重积分的区域可加性 性质 3 如果函数在上可积 并且在上 则 yxfDD0 yxf0 D dyxf 性质 4 如果函数 都在上可积 且在上有 成 yxf yxgDD yxgyxf 立 则 DD dyxgdyxf 性质 5 如果函数在区域上可积 则在上也可积 且有 yxfD yxfD DD dyxfdyxf 性质 6 如果 则有 其中表示的面积 1 yxf Dd D D D 性质 7 如果函数在上连续 则在上至少存在一点 使 yxfDD 此性质称为二重积分中值定理 称 Dfdyxf D 为函数在区域上的函数平均值 D dyxf f D yxfD 性质 8 如果函数在区域上连续可积 为在区域上的最小 yxfDmM yxfD 值和最大值 则有 DMdyxfDm D 上述性质对三重积分仍然成立 例 1 估计二重积分的值 其中为圆形区域 D yx de cossin D4 22 yx 解 对任意均有 故 而 Dyx 1cossin1 yxee e yx cossin 1 4 D 由性质 8 得 ede e D yx 4 4 cossin 第二节 二重积分的计算法 一 直角坐标系下二重积分的计算法 二重积分可表示成 DD dxdyyxfdyxf 设积分区域可用不等式组 D 21 xyx bxa 不妨设函数 则应表示以为底 以为顶的曲顶0 yxf D dxdyyxf D yxfz 柱体的体积 如图所示 从而曲顶柱体可视为平行截面为已知的空间体 由定积分可求得 2 1 x x dyyxfxA 其体积为 从而得积分等式 b a dxxA dxdyyxfdxdyyxf b a x x D 2 1 若为型区域 则Dx 21 bxaxyxyxD 2 1 x x b a D dyyxfdxdxdyyxf 类似的 如果区域可以用不等式组 D 21 yyy dyc 则 2 1 y y d c D dxyxfdydxdyyxf 例 1 计算 其中为 a 由直线 及围成 b 由直 D xydxdyD1 y2 xxy 线和抛物线围成 1 xy62 2 xy 解 a 如图所示 由公式得 21 1 xxyyxD 8 9 2 1 2 1 3 1 2 1 dxxxxydydxxydxdy x D 如按型区域计算 则区域可表示为 由公式得yD 21 2 yxyyxD 8 9 4 2 1 2 1 3 22 1 dyyyxydxdyxydxdy y D b 区域可表示为 由公式得D 42 1 6 2 1 2 yyxyyxD 3642 8 4 2 23 5 1 6 2 1 4 2 2 dyyyy y xydxdyxydxdy y y D 本题如按型区域计算麻烦 x 例 2 计算 其中为是由直线 及所围成的闭区域 D dxdyy sin 2 D0 x1 yxy 解 如图所示 区域既是型域 又是型域 若按型区域计算 由公式得Dxyx 2 1cos1 sin sin sin 1 0 2 0 2 1 0 2 dyyydxydydxdyy y D 二 极坐标系下二重积分的计算法 有些二重积分的积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用D 极坐标变量 表达比较简单 这时 可以考虑利用极坐标系来计算二重积分 r 假设积分区域满足这样的条件 从极点出发且穿过闭区域内部的射线与的边DODD 界至多有两个交点 此时 用极坐标系下的坐标曲线来划分区域 即用过极点的一组DO 射线 常数 及另一组以为圆心的同心圆 常数 来划分区域 那么除了包含 OrD 区域的边界点的小闭区域外 其余小区域均为小曲边四边形 如图所示 考虑一个一般D 性的小闭区域 即 各自取微小增量 后所形成的小曲边四边形区域 如图阴r dr d 影部分 在舍去高阶无穷小的情况下 可把它近似地看成一个小矩形域 矩形的两个边长 分别为 由此得到极坐标系下二重积分的面积元素为 又由直角dr rd rdrdd 坐标与极坐标的关系可知 被积函数 由此 我 sin cos ry rx sin cos rrfyxf 们将二重积分化为极坐标系下的形式 即 D dyxf 此式表明 要将二重积分中的变量由直角 DD rdrdrrfdyxf sin cos 坐标化为极坐标 只要把被积函数中的 分别转换成 并将面积元素xy cosr sinr 换成极坐标系下的面积元素即可 d rdrd 极坐标系下的二重积分 同样可以化为二次积分来计算 设积分区域可用不等式组 来表示 如图所示 其中D 21 rrr 在区间上连续 且 1 r 2 r 0 i r 2 1 i 20 在上任意取定一个值 对应于这个值 上的点的极径从变到 Dr 1 r 于是先以为积分变量 在区间上作定积分 记为 2 rr 21 rr 2 1 sin cos r r rdrrrfF 又因为的变化区间为 于是再以为积分变量对在上求定积分 F 此积分值便为式中对应的二重积分值 从而得到极坐标系下二重积分化为二 dF 次积分的公式为 2 1 sin cos sin cos r r D rdrrrfdrdrdrrf 若积分区域由闭曲线围成 且极点在的内部 如图所示 右边的二次D rr OD 积分为 0 2 0 sin cos r rdrrrfd 若积分区域由闭曲线围成 且极点在的边界上 如图所示 此时求出D rr OD 使的两个角度及 则右边的二次积分为 0 r 0 sin cos r rdrrrfd 例 3 计算 其中是由与所围成的圆环在dxdyyx D 22 D1 22 yx4 22 yx 第 象限部分 解 如图所示区域 可用极坐标系下的不等式表示成 DD 2 0 21 r 由公式得 6 7 2 1 2 2 0 22 drrddxdyyx D 例 4 计算 其中是由所围成 dxdyyx D 22 4Dxyx2 22 解 是由圆曲线所围成 如图所示 其边界曲线的极坐标方程为 由于极D cos2 r 点在的边界上 为了确定的积分限 令 则 积分区域OD cos2 r 22 在极坐标系下可用不等式表示为 由式子得DD 22 cos20 r 3 2 23 16 44 cos2 0 2 2 2 22 rdrrddxdyyx D 例 5 计算 其中为圆域 dxdye D yx 22 D 222 ayx 0 a 解 如图所示 用极坐标系下的不等式表示为 由式子得Dar 0 20 1 2222 0 2 0 a a r D yx erdreddxdye 利用本例所得结果 可以计算一个重要的反常积分 dxe x 0 2 设 222 1 RyxyxD 2 222 2 RyxyxD RyRxyxS 由图可见 由于被积函数 所以有 21 DSD 0 22 yx e dxdyedxdyedxdye D yx S yx D yx 2 2222 1 22 由例 5 知 1 2 1 22 R D yx edxdye 1 2 2 22 2R D yx edxdye 而积分 2 0 2 22222222 4 R x R R x R R y R R R R xyx R R S yx dxedxedyedxedyeedxdxdye 所以 1 4 1 1 4 1 222 2 2 0 R R xR edxee 令 上式两端趋于同一极限 于是得 R 4 2 0 2 dxe x 第三节三重积分的计算法 一 直角坐标系下三重积分的计算方法 称为三重积分的直角坐标系形式 称为直角坐标系下的体 dxdydzzyxf dxdydz 积元素 将积分区域投影到面的投影柱面把的边界曲面分成下边界曲面和上边 xOy 1 界曲面 其方程分别为 2 1 1 yxzz 2 2 yxzz 且 现在内任取一点过该点作平行于轴的直线 这直线通 21 yxzyxz xy D yxz 过穿入 然后通过穿出 穿入点和穿出点的竖坐标分别为和 1 2 1 yxz 2 yxz 于是先对固定的 在区间上作定积分当 xy Dyx 21 yxzyxz 2 1 yxz yxz dzzyxf 点在内变化时 该定积分是上的二元函数 即 yx xy D xy D 然后 将在上作二重积分 可以证明 该二 2 1 yxz yxz dzzyxfyx yx xy D 重积分就为三重积分的积分值 即 xy D dxdyyx xyxy D yxz yxz D dxdydzzyxfdxdyyxdxdydzzyxf 2 1 上式右端的二重积分 可视的类型再化成二次积分 如若为型域 即 xy D xy Dx 21 bxaxyxyxDxy 则 称此式右端为三次积分 2 1 2 1 yxz yxz yx yx b a dzzyxfdydxdxdydzzyxf 例 1 计算 其中是由三个坐标面及平面所围成的有界 xdxdydz 12 zyx 闭区域 解 将作为型空间区域 如图所示 xy 则 210 xy Dyxyxzzyx 其中 如图所示 为型平面区域 即 12 0 0 yxyxyxDxy xy Dx 由公式得 1 0 2 1 0 x x yyxDxy 48 1 1 4 1 21 1 0 2 2 1 0 1 0 21 0 2 1 0 1 0 dxxxdyyxxdxxdzdydxxdxdydz x yx x 如果将空间区域向轴作投影得一投影区间 且能表示成 z fe 其中是过点且平行于面的平行截 fzeDyxzyx xy z D 0 0 zxOy 所得的平面区域 则称是型空间区域 其特点是 当时 竖坐标为的 zfze z 平面截所得的是一个平面区域 如图所示 z D 当是型空间区域时 对固定的 我们先在截面区域上作二重积分 z fez z D 而在区间上变动时该积分为的函数 即 Z D dxdyzyxf z fez 然后将在区间上求定积分 Z D dxdyzyxfz z fe 可以证明 该定积分值就是三重积分的值 即dzdxdyzyxfdzz f e D f e Z dzdxdyzyxfdxdydzzyxf f e DZ 如果二重积分能较容易地算出 其结果对积分也比较方便 那么 Z D dxdyzyxf z 就可以用公式来计算三重积分 例 2 计算 其中为椭球 dxdydzz 2 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 解 将视为型空间区域 如图所示 故可表示成 z 其中 czcDyxzyx z 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x yxDz czc 则 其中表示的面积 由椭 c c z D c c dzDzdxdyzdzdxdydzz Z 222 z D z D 圆面积的公式得 2 2 2 2 2 2 111 c z ab c z b c z aDz 于是得 32 2 2 2 15 4 1abcdzz c z abdxdydzz c c 二 柱面坐标系下三重积分的计算方法 设为空间一点 点在面上的投影点的极坐标为 则这样 zyxMMxOyPr 的三个数 就称为点记为的柱面坐标 如图所示 这里规定 r zM zrM r 的变化范围为 z r0 20 z 三组坐标面分别为 常数 即以轴为中心的圆柱面 rz 常数 即过轴的半平面 z 常数 即与面平行的平面 zxOy 显然 点的直角坐标与柱面坐标的关系为M zz ry rx sin cos 现在讨论怎样把三重积分中的变量从直角坐标变换成柱面坐标 为此 dVzyxf 用三组坐标面 常数 常数 常数 把区域分成几个小闭区域除了含的边界r z 点的一些不规则小区域外 其余的小区域都是小柱体 先考虑由 各取得微小增r z 量 所构成的小柱体的体积 如图所示 dr ddz 这个体积等于底面积与高的乘积 现在高是 底面积在不计高阶无穷小时为dz 即极坐标系中的面积元素 于是得 这就是柱面坐标系中的体积 rdrddzrdrddV 元素 再由关系式就可以将三重积分化为柱面坐标形式 即 dzdrdzrrfdVzyxf sin cos 对于上式右端的柱面坐标系下的三重积分的计算 则可化为三次积分来进行 化为三 次积分时 积分限可根据 在积分区域中的变化范围来确定 r z 例 3 利用柱面坐标计算三重积分 其中是由曲面与平面 zdxdydz 22 yxz 所围成的闭区域 4 z 解 把闭区域投影到面上 得半径为的圆形闭区域 将用极坐标表示为 xOy2DD 在内任取一点 过该点作平行于轴的直线 20 20 rrDD rz 此直线通过曲面即穿入内 然后通过平面穿出外 如图所 22 yxz 2 rz 4 z 示 因此闭区域可表示成 20 20 4 2 rzrzr 则 3 64 42 0 2 0 2 r zdzrdrddzzrdrdzdxdydz 三 球面坐标系下三重积分的计算方法 设为空间内一点 则点也可用这样三个有次序的数 来确定 zyxMM 其中为原点到点的距离 为有向线段与轴正向的夹角 为从轴正向 OM OMz z 来看 自轴正向按逆时针方向转到有向线段的转角 其中为点在面上的xOPPMxOy 投影 如图所示 这样的三个数 称为点的球面坐标 这里 的变 M 化范围是 0 0 20 三组坐标面分别为 常数 即以原点为心的球面 常数 即以原点为顶点 以轴为中心轴的圆锥面 z 常数 即过轴的半平面 z 则点的直角坐标与球面坐标的关系为M cos sinsin cossin z y x 现在讨论怎样把三重积分中的变量从直角坐标变换成球面坐标 现 dVzyxf 用三组坐标面 常数 常数 常数把积分区域分成许多小闭区域 考虑由 各取得微小增量 后所成的六面体 如图所示 不计高阶无穷小 可 d d d 把这个六面体近似地看作长方体 其经线方向的长为 纬线方向的宽为 d dsin 向径方向的高为 于是得 这就是球面坐标系中的体积元素 d ddddVsin 2 再由关系式就可将三重积分化为球面坐标形式 即 dddfdVzyxfIsin cos sinsin cossin 2 对于式中右端的球面坐标系下的三重积分 可把它化成对 对及对的三次积分来计 算 若积分区域的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面 其球面坐标方程为 则式子右端的三重积分化为 0 2 0 2 0 sin dFddI 其中 特别地 在上式中 cos sinsin cossin fF 时 则为球的体积 即 1 FI 3 0 2 0 2 0 3 4 sinadddV a 例 4 计算三重积分 其中是由半径为的球面与半顶角为的内接锥面 zdV a 所围成的闭区域 如图所示 解 由图知 球心在轴上的点处 锥面的顶点在原点 其轴与轴重合 z 0 0 aAOz 则球面方程为 锥面方程为 可表示成 cos2a a 2 0 0 cos20 a 则 cos1 3 4 sincos 6 4 cos2 0 2 0 2 0 a dddzdV aa 第四节 曲线积分 一 对弧长的曲线积分 1 对弧长的曲线积分问题举例 引例 1 柱面的面积 设是一张母线平行于轴 准线为面上的曲线的柱面的 zxOyL 一部分 其高度是上的连续函数 如图所示 现在来计算的面积 yxh Lyx L A 如果的高度是常数 那么的面积就等于它的准线的长度与它的高的乘积 而 L 现在它的高在上的各点处各不相同 因此 不能用上述方法来计算 仿照计算曲边梯hL 形面积的方法 我们用上的点 把划分成个小段 在每一个分点L 0 M 1 M n MLn 处做轴的平行线 这样就把分成条小柱面 现在小弧段上任取一点z n ii MM 1 用作为相应小柱面的底边各点的高 从而得到该小柱面面积的近似值 ii ii h iii sh 其中表示弧的长度 于是柱面的面积 2 1 ni i s ii MM 1 n i iii shA 1 记 取上式时的极限 就得所求柱面面积的精确值 max 1 i ni s 0 即 iii shA lim 0 引例 2 曲线形构件的质量 为了合理使用材料 有时在设计曲线形构件时 应根据构 件各部分受力情况 把构件各点处粗细程度设计的不完全一样 这样得到的曲线形构件的 线密度是一个变量 如果把构件看成是面上的曲线弧 并设的线密度为xOyLL yx 如图所示 则可按如下方法来计算构件的质量 Lyx LM 如果构件的线密度是常量 那么它的质量就等于线密度与构件长度的乘积 然而当线 密度是变量时 这方法就不适用了 于是与上例相类似 我们用上的点 L 0 M 把划分成个小弧段 在线密度连续变化的条件 1 M 1 i M i M n MLn yx 下 可在小弧段上任取一点 如图所示 并以代替这小弧段上 ii MM 1 ii ii 其他点处的线密度 得到该小弧度质量的近似值为 其中 iii s 2 1 ni 表示弧的长度 由此得到整个构件的质量的近似值 即 i s ii MM 1 n i iii sM 1 记 取上式时的极限 就得到整个构件质量的精确值 即 max 1 i ni s 0 iii sM lim 0 2 对弧长的曲线积分的定义及其性质 以上两个问题虽然涉及的学科领域不同 但都可归结为同一类和式的极限 我们有 定义 1 设是面内以 为端点的光滑曲线弧 函数在上有界 LxOyAB yxfL 在上任意插入一个点列 把分成个小弧段 设第 个小LA 0 M 1 M n MBLni 弧段的长度为 在上任取一点作和 ii MM 1i s ii MM 1 ii 2 1 ni 记 如果当时 这和式的极限存在 则称此极限 n i iii sf 1 max 1 i ni s 0 为函数在上的对弧长的曲线积分 记作 即 yxfL L dsyxf 其中称为被积函数 称为积分曲线弧 n i iii L sfdsyxf 1 0 lim yxfL 称为弧长元素 此时也称在曲线弧上是可积的 否则 称在曲线弧ds yxfL yxf 上是不可积的 L 对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 如果是闭曲线 即的两个端点重合 则在上的第一类曲线积分记为LL yxfL L dsyxf 如果是分段光滑曲线 即是由有限条光滑曲线连接而成 则规定在上LL yxfL 的一类曲线积分等于在各段光滑曲线弧上一类曲线积分的和 yxf 与定积分存在条件相类似 当在光滑曲线上连续 或者在上有界 yxfL yxfL 且只有有限个间断点时 第一类曲线积分一定存在 即在上可积 L dsyxf yxfL 根据第一类曲线积分的定义 前述柱面的面积可以表示为 L dsyxhA 曲线形构件的质量可以表示为 L dsyxM 3 对弧长的曲线积分的性质 由对弧长的曲线积分的定义 可推得该积分有如下性质 设所涉及的曲线积分都存在 1 若 则 表示的长度 1 yxf L L sds L sL 2 线性性质 对任意的 则R LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf 3 对弧长的可加性 设由与连接而成 则L 1 L 2 L 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf 另外 对弧长的曲线积分的概念 可推广到三元函数在空间曲线弧上的 zyxf 形式 即 其中为空间曲线弧长元素 n i iiii sfdszyxf 1 0 lim ds 4 对弧长的曲线积分的计算方法 对弧长的曲线积分可按下述定理将其转化成定积分来计算 定理 1 设函数在曲线弧上连续 曲线弧的参数方程为 yxfLL ty tx t 其中 在上具有一阶连续导数 且 则曲线积分 t t 0 22 tt 存在 且 L dsyxf dtttttfdsyxf L 22 证明略 由上述公式表明 计算第一类曲线积分时 只要把 依次换为 L dsyxf xyds 然后从到计算定积分就可以了 这里必须注 t t dttt 22 意 定积分的下限一定要小于上限 这是因为在上述公式的推导中 小弧段的长度 总是正的 从而 所以必须在时才能保证 i s 0 i t 0 i t 如果曲线的方程为 则可将其写成参数式L xyy bxa tx tyy bta 代入公式中便可求积分值 如果曲线的方程为 则可将其写成参数式 yxx dyc ty txx dtc 代入公式中便可求积分值 在具体解题时 曲线选择什么样的方程形式是解题的关键 选择不当可能会给求值L 带来不必要的麻烦 例 1 计算 其中是抛物线介于点与点之间的一段 L dsyL 2 xy 0 0 O 1 1 A 如图所示 解 现在积分曲线的参数方程可表示成由公式得L 2 ty tx 10 t 12 155 41 2 1 1 0 2 1 0 22 dtttdtttdsy L 该积分值恰表示图中阴影部分柱面的面积 例 2 计算 其中为圆周闭曲线 L dsyxR 222 LRxyx 22 0 R 解 如图所示的 以极角为参数得到的参数方程为L L 代入公式得 sincos cos2 Ry Rx 22 2 2 2 22222 2 2cos 2sin sinRdRRRdsyxR L 本题若用的直角坐标方程来计算将相当繁杂 L 如果空间光滑曲线弧由参数方程 给出 txx tyy tzz t 函数在上连续 则有 zyxf dttztytxtztytxfdszyxf 222 例 3 计算 其中为螺线 上相应 dszyxf 222 txcos tysin tz 于 从到的一段弧 t0 2 解 将螺线参数方程得 43 3 22 1cos sin sin cos 2 2 0 22222222 dttttttdszyxf 二 对坐标的曲线积分 1 对坐标的曲线积分之产生背景是物理学中变力沿曲线所作的功的计算 因此先来研 究如何计算变力沿曲线所作的功 设一个质子在面内从点沿光滑曲线弧移动到点 在移动过程中 这质点xOyALB 受到力 的作用 其中 在上连续 现计jyxQiyxPyxF yxP yxQL 算在上述移动过程中变力所作的功 如图所示 yxF 如果力是常力 且质点从沿直线移动到 那么常力所作的功等于两个向FABFW 量与的数量积 即 现在力是变力 且质点沿曲线移动 故FABABFW yxFL 功不能直接按上述公式来计算 解决此问题的关键是如何将变力化为常力 将曲线化为W 直线 我们用前面处理构件质量的方法来解决这个问题 在有向线段弧上依次选取若干个点 将分成个小弧段 取其中一个有向小弧段LLn 来分析 如图所示 ii MM 1 由于光滑而且很短 可以用有向线段来近似代替 ii MM 1 jyixMM iiii 1 该弧段 其中 又由于 在上连续 1 iii xxx 1 iii yyy yxP yxQL 现任取一点 用点的力来近 iiii MM 1 ii jQiPF iiiiii 似代替上每一点的力 这样 变力沿所作的功可以近似地 ii MM 1 yxF ii MM 1i W 等于常力沿所作的功 ii F ii MM 1 iiiii MMFW 1 即 则 iiiiiii yQxPW n i iiiiii n i i yQxPWW 11 用表示个弧段的最大长度 令取上述和的极限 所得到的极限自然为变力 n0 沿有向曲线弧所作的功 即 yxFL n i iiiiii yQxPW 1 0 lim 这种和式的极限在研究其他问题时也会时常遇到 我们抛开这类问题的实际背景来研 究这种和式的极限 从而引出下面关于对坐标的曲线积分的定义 定义 2 设为面内起点为 终点为的一条有向光滑曲线弧 函数 ABLxOyAB 在上有界 在上沿的方向任意插入一点列 yxP yxQLLL 将分成ByxMyxMyxMyxMyxMA nnniiiiii 111111000 L 个有向小弧段 设 任取n ii MM 1 2 1 ni 1 iii xxx 1 iii yyy 如果当各小弧段长度的最大值时 和式的极 iiii MM 1 0 n i iii xP 1 限总存在且其值不变 则称此极限值为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积 yxPLx 分 记为 类似地 如果总存在且其值不变 则称此极 L dxyxP n i iii yQ 1 0 lim 限值为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分 记为 即 yxQLy L dyyxQ 其中 n i iii L xPdxyxP 1 0 lim n i iii L yQdyyxQ 1 0 lim yxP 称为被积函数 称为积分弧段 及称为被积表达式 yxQLdxyxP dyyxQ 以上两个对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分 与第一类曲线积分相类似 若 在有向光滑曲线弧上连续 则对坐 yxP yxQL 标的曲线积分及都存在 为了叙述问题方便 以后总假设 L dxyxP L dyyxQ 在上连续 yxP yxQL 应用上经常出现的是 这种合并起来的形式 为简便起见 LL dyyxQdxyxP 常把它写成 dyyxQdxyxP L 有了对坐标的曲线积分定义 变力沿曲线所作的功可表示成 dyyxQdxyxPW L 如果有向曲线弧为分段光滑有向曲线连接而成 我们规定函数沿着有向曲线弧的LL 对坐标的曲线积分等于在各段光滑有向曲线上对坐标的曲线积分之和 对坐标的曲线积分有时用向量式表示比较简单 记 jyxQiyxPyxF 则式中所表示的对坐标的曲线积分可表示成 其中jdyidxdr L dryxF 被积表达式为二向量的数量积 根据对坐标的曲线积分定义 可得出对坐标的曲线积分有如下性质 1 如果可分成和两段曲线弧的和 则L 1 L 2 L 21 LLL dryxFdryxFdryxF 2 为常数 LL dryxFRdryxkF k 3 设为有向曲线弧 为与方向相反但曲线相同的有向曲线弧 ABL BALL 则 LL dryxFdryxF 上述对坐标的曲线积分定义可类似地推广到积分弧段为空间有向光滑曲线弧的情形 n i iiii xPdxzyxP 1 0 lim n i iiii yQdyzyxQ 1 0 lim n i iiii zRdxzyxR 1 0 lim 若记 kzyxRjzyxQizyxPF kdzjdyidxdr 则 为空间有向曲线弧上的对坐标走曲线积分的向量式 drFRdzQdyPdx 当或为闭曲线时 对坐标的曲线积分记为 或 L L dryxf drzyxf 2 对坐标的曲线积分的计算方法 定理 2 设 在有向曲线弧上连续 的参数方程为当参 yxP yxQLL ty tx 数 单调地由变到时 点从的起点沿移动到终点 在t yxMLALB t t 以和为端点的区间上具有一阶连续导数 且 则曲线积分 0 22 tt 存在 dyyxQdxyxP L 且 dttttQtttPdyyxQdxyxP L 公式表明 计算对坐标的曲线积分时 只要把 依次换为 xydxdy t 然后从的起点所对应的参数值到的终点所对应的参数 t dtt dtt L L 值求定积分即可 如果的方程是以直角坐标形式或给出 则其参数方程可表示成 L xfy ygx 或再确定的起终点对应的参数值和 代入公式即可 tx tfy ty tgx L 公式可推广到空间曲线由参数方程 给出的情形 这 tx ty tz 样便得到 dzzyxRdyzyxQdxzyxP dtttttRttttQttttP 例 1 计算 其中曲线是上半椭圆 由dyxdxy L 22 Ltaxcos tbysin 到 0 aA 0 aB 解 如图所示 当时对应起点 当时对应终点 于是 由公式得L0 tA tB 2 0 222222 3 4 coscos sin sin abdttbtatatbdyxdxy L 例 2 计算 其中为 1 圆心在原点 半径为的上半圆周由到 L dxy 2 LOa 0 aA 2 从点沿轴到点的直线段 0 aB 0 aAx 0 aB 解 如图所示L 1 的参数方程为 时对应起点 时对应Ltaxcos taysin 0 tA t 终点 于是 由公式得 B 2 0 222 3 4 sin sinabtdtatadxy L 2 的参数方程为 由沿轴到 于是 由公式得 L0 ytx taxa 002 2 a aL dtdxy 由例 2 的结果可以看出 虽然两个曲线积分的被积函数相同 起点和终点也相同 但 所走的路径不同 得出的值并不相等 例 3 计算 其中dyxxydx L 2 2 1 抛物线上从到的一段弧 2 xy 0 0 O 1 1 B 2 抛物线上从到的一段弧 2 yx 0 0 O 1 1 B 3 有向折线 这里 分别是点 OABOAB 0 0 O 0 1 A 1 1 B 解 如图所示L 1 的参数方程为 从变到 所以得 L 2 ty tx t0112 2 dyxxydx L 2 的参数方程为 从变到 所以得 L 2 tx ty t0112 2 dyxxydx L 3 dyxxydxdyxxydxdyxxydx ABOAL 222 222 的参数方程为 从变到 于是得 OA0 ytx t0102 2 dyxxydx OA 的参数方程为 从变到 于是得 AB1 xty t0112 2 dyxxydx OA 故 1102 2 dyxxydx L 由例 3 的结果可以看出 同一被积函数 的起 终点相同 虽然沿不同的路径 但L 曲线积分的值都相等 例 4 计算 其中是从点到点的直线段 ydzxdyzydxx 223 3 1 2 3 A 0 0 0 B AB 解 直线的方程为 故其参数方程为 AB 123 zyx tx3 ty2 tz 从 变到 由公式得t10 4 87 2 3 2 2 33 3 3 1 0 223223 dttttttydzxdyzydxx 三 两种曲线积分的关系 设有向曲线弧的参数方程为 起点 终点分别对应参数 ABL ty tx AB 不妨设 即沿 增加的方向 函数 在以和为端点的区间上具 Lt t t 有一阶连续导数 且 又设 在上连续 于是 0 22 tt yxP yxQL 由对坐标的曲线积分计算公式有 dttttQtttPdyyxQdxyxP L 又因为曲线的切向量为 它的方向余弦为L ttt 由对弧长的曲线积分的计算 22 cos tt t 22 cos tt t dttttQtttP dttt tt t ttQ tt t ttP dsyxQyxP L cos cos 22 2222 由此可见 平面曲线上的两类曲线积分之间有如下关系 L dsQPQdyPdx LL coscos 其中 为有向曲线弧上点处切线向量的方向角 yx yx L yx 当时 由于切向量 此时 在式子 ttt 0cos 0cos 两边同乘以 式子仍然成立 1 类似地可知 空间曲线上的两类曲线积分之间仍有如下的关系 其中 dsRQPRdzQdyPdx LL coscoscos zyx zyx 为有向曲线弧上点处的切线向量的方向角 zyx zyx 两类曲线积分之间的关系也可用向量的形式表达 例如 空间曲线上的两类曲线积 分之间的关系可写成如下形式 或 其中 dstFdrF 0 dsFdrF t0 为有向曲线弧上点处单位切向量 RQPF cos cos cos 0 t zyx 称为有向曲线元 为向量在向量上的投影 0 dzdydxdstdr 0 t FF 0 t 第五节 曲面积分 一 对面积的曲面积分 在定义对面积的曲面积分之前 我们先对空间曲面作一些说明 所谓曲面是光滑曲面 是指曲面上各点处都具有切平面 且当点在曲面上连续移动时 切平面也连续转动 对于 空间有界曲面 其上任意两点距离的最大值称为曲面的直径 有界曲面的边界闭曲线总假 定为光滑或分段光滑的曲线 在此前提下来定义对面积的曲面积分 1 对面积的曲面积分的概念与性质 在本章第四节关于如何计算曲线形构件的质量的讨论中 如果把曲线改为曲面 并相 应地把线密度改为面密度 小曲线弧段的长度改为小块曲面的面积 yx zyx i s 把第 小段弧上的任一点改为第 小块曲面上任一点 那么 当 i S i ii i iii 面密度连续时 曲面的质量就是下列和的极限 zyx M 其中表示小块曲面的直径的最大值 n i iiii SM 1 0 lim n 定义 1 设是一片光滑有界曲面 函数在上有界 将任意划分成个 zyxf n 小块曲面 记第 小块小曲面的面积为 任取一点 1 2 n i i i S 作和 如果当各小块曲面直径的最 iiii 2 1 ni n i iiii Sf 1 大值时 这和式的极限总存在 则称此极限为函数在曲面上的对面积0 zyxf 的曲面积分 记为 即 其中 dSzyxf n i iiii SfdSzyxf 1 0 lim 称为被积函数 称为积分去面 称为曲面面积元素 zyxf dS 对面积的曲面积分又称为第一类曲面积分 对于分片光滑曲面 我们规定函数在上的对面积的曲面积分等于函数在上的各 光滑片上对面积的曲面积分的和 若为闭曲面 常将写成 dSzyxf dSzyxf 可以证明 当函数在光滑曲面上连续时 对面积的曲面积分一定存在 zyxf 由定义可直接推得对面积的曲面积分有下列性质 1 当时 为曲面的面积 1 zyxf dS 2 为常数 则 dSzyxgdSzyxfdSzyxgzyxf 3 若由与两部分构成 记则 1 2 21 21 dSzyxfdSzyxfdSzyxf 根据对面积的曲面积分的定义 面密度为连续函数的光滑曲面的质量 zyx M 可表示为在上的对面积的曲面积分 zyx dSzyxM 2 对面积的曲面积分的计算方法 对面积的曲面积分可转化为二重积分来计算 为了推导这一转化公式 我们先来推导 曲面面积元素的直角坐标形式 dS 设光滑曲面由方程给出 为曲面在面上的投影区域 函数 yxzz D xOy 在上具有一阶连续偏导数和 yxzD yxzx yxzy 在闭区域上任取一直径很小的闭区域其面积记为 在上任取一点DD dD 对应曲面上有一点 点在面上的投影点为 yxP yxzyxM MxOyP 点处曲面的切平面设为 以小闭区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面 M TD z 这柱面在曲面上截下一小片曲面 由于的直径很小 则就近似等于 如 D S dA 图所示 设点处曲面的法向量指向与轴成锐角 则 由于法向量M z cos d dA 故 所以 1 yx zzn 222 1 1 cos yx zz dzzdA yx 222 1 即 dzzdAdSS yx 222 1 上式即为曲面面积元素在直角坐标系下的形式 有了这一形式 就可以将曲面积dS 分转化为二重积分 dSzyxf 定理 1 设光滑有界曲面的方程为 在面上的投影区域为 yxzz xOy xy D 若在上存在一阶连续偏导数 且在上连续 则 yxzz xy D zyxf xy D yx dzzyxzyxfdSzyxf 222 1 证明略 如果积分曲面是由方程或给出 也可类似地将对面积的曲面 zyxx xzyy 积分化成面或面上的二重积分 yOzzOx 例 1 计算曲面积分 其中是球面被平面 dS z 1 2222 azyx 截出的顶部 如图hz 0 h 解 的方程为 在面上的投影区域为圆形区域 222 yxaz xOy xy D 又由于 由公式得 2222 hayx 222 22 1 yxa a zz yx xy D dxdy yxa a dS z 222 1 由极坐标 得 h a adr ra ar ddS z ha ln2 1 22 0 22 2 0 例 2 计算曲面积分 其中为球面上的半球面 如 yd 2222 azyx 0 y 图所示 解 的方程为 在面上的投影域为圆形域 222 zxay zOx zx D 又由于 由公式的变形得 222 azx 222 22 1 zxa a yy zx 3 222 222 adxdy zxa a zxayd zx D 二 对坐标的曲面积分 1 对坐标的曲面积分的概念及性质 由于对坐标的曲面积分的定义与曲面的侧有关 故在将定义之前先对曲面的定侧 或 定向 作一点说明 空间曲面有双侧与单侧之分 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如将面置于水xOy 平位置 由表示的曲面存在上侧与下侧 一张包围空间有界区域的闭曲面 如 yxzz 球面 存在内侧与外侧 以后我们总假定所考虑的曲面是双侧曲面 在讨论对坐标的曲面积分时 需要指定曲面的侧 我们可以通过曲面上各点的法向量 的指向来定出曲面的侧 例如 对于曲面 如果取它的法向量的指向朝上 yxzz n 我们就认为取定了曲面的上侧 此时也可用法向量与轴正向的夹角余弦来定曲面的侧 z 若 则取曲面下侧 若 则取曲面上侧 又如 对于闭曲面如果取它0cos 0cos 的法向量的指向朝外 我们就认为取定了曲面的外侧 这种取定了法向量的指向亦即选定 了侧的曲面 就称为有向曲面 设是有向曲面 在上取一小块曲面 其面积记为 把投影到面 S xOy 上得一投影区域 该区域的面积记为 假定上各点处的法向量与轴的夹角 xy z 的余弦有相同的符号 即在上不变号 我们规定在面上的投影 cos cos xOy 为 xy S 0cos 0 0cos 0cos xy xy xy S 其中 也就是的情形 在面上的投影实际上就是给0cos 0 xy xOy xy S 在面上的投影区域的面积赋予一个正负号 类似地可定义在面和面 xOy yOzzOx 上的投影和 yz S zx S 引例 流向曲面一侧的流量 设稳定流动 即流速与时间 无关 的不可压缩流体 设t 密度为 1 的速度场由给出 是速度kzyxRjzyxQizyxPzyxv 场中的一片有向有界曲面 都在上连续 求在单位 zyxP zyxQ zyxR 时间内流向曲面指定侧的流体的质量 称其为流量 记为 如果流体流过平面上面积为的一个闭区域 且流体在这闭区域上各点处的流速为常A 向量 又设为该平面的单位法向量 如图所示 那么在单位时间内流过这闭区域的流vn 体组成一个底面为 斜高为的斜柱体 如图所示 Av 当时 这斜柱体的体积为 这也就是通过闭区域 2 nvnAvvA cos 流向所指一侧的流量 因为密度 当时 显然流体通过闭区域An1 2 nv 流向所指一侧的流量为零 而 故 An 0 nAvnAv 当时 这时我们仍把称为流体通过闭区域流向所指一侧的流量 2 nvnAv An 它表示流体通过闭区域实际上是流向所指一侧的流量为 因此 不论当An nAv 为何值 流体通过闭区域流向所指一侧的流量均为 nv AnnAv 由于现在考虑的不是平面区域而是一片曲面 且流速也不是常向量 因此所求流量v 不能直接用上述方法来计算 解决此问题的关键在于如何化曲面为平面 化变向量为常向 量 处理这类问题最有效的方法就是我们引入各种积分概念的引例中一再使用的方法 微 元法 将曲面任意分成个小块曲面 用表示它的面积 在是光 n i i S 2 1 ni 滑的在上连续的前提下 只要的直径很小 我们就可以用上任意一点v i i 处流速代替上任一点处的流速 以点处曲面 iii iiii vv i iii 的单位法向量代替上任一点的单位法向量 此时可将近似视为平面 即用点 i n i i 的切平面代替 则通