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文档简介

文正实验学校高二数学学案 选修 4 2 第五节 特征值与特征向量 2013 6 19 1 2 5 2 5 特征值与特征向量特征值与特征向量 学习目标 1 理解特征值与特征向量的含义 2 掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法 能从几何变换的角度加以解释 3 能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果 学习重点 特征值与特征向量的概念 学习难点 求矩阵的特征值和特征向量 学习过程 一 问题情境一 问题情境 已知伸压变换矩阵M 向量 和 在 M 对应的变换作用下得 0 1 2 1 0 1 0 0 1 到的向量 和 分别与 有什么关系 对伸压变压矩阵N 呢 20 01 二 建构数学二 建构数学 1 矩阵的特征值和特征向量的定义 2 2 特征多项式 3 矩阵M 的特征值和特征向量的计算方法 ab cd 1 2 3 三 数学应用三 数学应用 例例 1 1 从几何变换的角度对问题情境中的两个矩阵 M N 的特征值与特征向量加以解释 文正实验学校高二数学学案 选修 4 2 第五节 特征值与特征向量 2013 6 19 2 变式 从几何变换的角度写出矩阵的特征向量与特征值 1 A 2 B 3 C 4 D 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 1 2 1 1 0 0 思考 1 属于一个特征值的特征向量唯一吗 如何解释 思考 2 不同特征值下的特征向量是否共线 思考 3 并非所有的变换都是我们熟悉的常见变换 那若不是常见变换 又该如何求特征值 与特征向量呢 有没有更一般的方法呢 例例 2 2 求出变式 1 中矩阵 A B C D 的特征值和特征向量 变式 1 求下列矩阵的特征值和特征向量 1 2 12 21 1 4 2 1 文正实验学校高二数学学案 选修 4 2 第五节 特征值与特征向量 2013 6 19 3 变式 2 已知 是矩阵 M 属于特征值 3 的特征向量 其中 M 且 2 am b 1 5 a b m 3 求 a b m 例 3 已知矩阵 A 1 0 0 2 1 求出 A 的特征值与特征向量 并从几何的直观角度加以解释 2 求 1 3 20 A 变式 1 已知M 计算M50 12 21 1 7 变式 2 若矩阵 A 有特征向量和 且它们所对应的特征值分别为 1 0 i 0 1 j 12 2 1 1 求矩阵 A 及其逆矩阵 2 求逆矩阵的特征值与特征向量 1 A 1 A 3 对任意向量 求 x y 100 A 文正实验学校高二数学学案 选修 4 2 第五节 特征值与特征向量 2013 6 19 4 四 课堂练习四 课堂练习 1 下列对于矩阵 A 的特征值的描述正确的是 A 存在向量 使得 B 对任意向量 有 A A C 对任意非零向量 成立 D 存在一个非零向量 有 A A 2 矩阵 A 其特征多项式为 特征值为 1 2 2 3 3 已知 是矩阵 A 属于特征值 2 的特征向量 其中A 求a b 1 1 a b 2 3 4 求投影变换矩阵的特征值和特征向量 并计算的
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