暑期数学综合试卷二

S 9 i 1 While S 0 S Si i i1 End While Print i 第 4 题 暑期数学综合试卷二暑期数学综合试卷二 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应位分 请把答案填写在答题卡相应位 置上 置上 1 已知集合 A 1 1 2 3 B 1 0 2 则 A B 2 若复数 z 满足 z 1 i 2i i 为虚数单位 则 z 3 命题 的否定是 024 0 2 xxx 4 右图是一个算法的伪代码 则输出的 i 的值为 5 一位篮球运动员在最近的 5 场比赛中得分的 茎叶图 如 图 则他在这 5 场比赛中得分的方差为 6 从字母 a b c d e 中任取两个不同字母 则取到字母 a 的概率为 7 若 tan 1 tan 4 则 sin2 8 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形 则该圆柱的体积为 9 椭圆上的点到一条准线距离的最小值恰好等于该椭圆半焦距 则此椭圆的离心率是 10 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 an 2 2an 1 an a5 4 a3 则 S7 11 直线 上恰有两个点 A B 到点 2 3 的距离为 2 则线段 的l03 yx 长为 12 设为实常数 是定义在 R 上的奇函数 且当时 a y f x 0 x 若对一切成立 则的取值范围是 2 97 a f xx x 1f xa 0 x a 13 已知菱形 ABCD 的边长为 2 BAD 120 点 E F 分别在边 BC DC 上 BC 3BE DC DF 若 1 则 的值为 AE AF 14 已知函数与轴相切 若直线与分别交 2 f xxaxb a bR x yc 5yc 的图象于四点 且四边形的面积为 25 则正实数的值为 f x A B C D ABCD c 0 89 1 012 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c 向量 m sinA 1 n 1 cosA 且 m n 3 1 求角 A 2 若 b c a 求 sin B 的值 3 6 16 本小题满分 14 分 如图 四棱锥中 分别PABCD 1 2 APPCD ADBC ABBCAD E F 平面 为线段的中点 AD PC 求证 APBEF 平面 II 求证 BEPAC 平面 17 本小题满分 14 分 在路边安装路灯 灯柱与地面垂直 灯杆与灯柱所在平面与道路垂直 ABBCAB 且 路灯采用锥形灯罩 射出的光线如图中阴影部分所示 已知 120 ABCC 路宽米 设灯柱高 米 60 ACD24 ADhAB ACB 4530 1 求灯柱的高 用表示 h 2 若灯杆与灯柱所用材料相同 记此用料长度和为 求关于的函数表BCABSS 达式 并求出的最小值 S 18 本小题满分 16 分 已知圆M的方程为 22 2 1xy 直线l的方程为20 xy 点P在直线l上 过P点作圆M的切线 PA PB 切点为 A B 1 若 60APB 试求点P的坐标 2 若P点的坐标为 2 1 过P作直线与圆M交于 C D两点 当2 CD时 求直 线CD的方程 3 经过 A P M三点的圆是否经过异于点 M 的定点 若经过 请求出此定点的坐标 若不经过 请说明理由 C B A D 19 本小题满分 16 分 已知数列 n a中 3 1 a前n和1 1 1 2 1 nn anS 求证 数列 n a是等差数列 求数列 n a的通项公式 设数列 1 1 nna a 的前n项和为 n T 是否存在实数M 使得MTn 对一切正整数 n都成立 若存在 求M的最小值 若不存在 试说明理由 20 本小题满分 16 分 已知函数 函数 2 f xaxbx a bR lng xx 当时 函数的图象与函数的图象有公共点 求实数的最大值 0 a xf xgb 当时 试判断函数的图象与函数的图象的公共点的个数 0b xf xg 函数的图象能否恒在函数的图象的上方 若能 求出的取值范 xf ybg x a b 围 若不能 请说明理由 暑期数学综合试卷二暑期数学综合试卷二参考答案参考答案 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 1 2 3 4 5 5 12 6 7 1 2 2 1 2 2 0 420 xxx 2 5 8 9 10 14 11 12 13 2 14 4 2 2 15 8 2 3 8 7 a 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 15 本题满分 14 分 15 解 1 因为 m n 所以 m n 0 即 sinA cosA 0 2 分 3 所以 sinA cosA 得 tanA 4 分 33 又因为 0 A 所以 A 6 分 3 2 解法 1 因为 b c a 由正弦定理得 sinB sinC sinA 8 分 33 3 2 因为 B C 所以 sinB sin B 10 分 2 3 2 3 3 2 化简得 sinB cosB 12 分 3 2 3 2 3 2 从而sinB cosB 即 sin B 14 分 3 2 1 2 3 2 6 3 2 解法 2 由余弦定理可得 b2 c2 a2 2bccosA 即 b2 c2 a2 bc 8 分 又因为 b c a 3 联立 消去 a 得 2b2 5bc 2c2 0 即 b 2c 或 c 2b 10 分 若 b 2c 则 a c 可得 B 若 c 2b 则 a b 可得 B 12 分 3 23 6 所以 sin B 14 分 6 3 2 16 本小题满分 14 分 16 证明 1 设AC BE O 连接OF EC 由于E为AD的中点 AB BC AD AD BC 1 2 所以AE BC AE AB BC 所以 O 为 AC 的中点 3 分 又在 PAC中 F为PC的中点 所以AP OF 又OF 平面BEF AP 平面BEF 所以 AP 平面 BEF 7 分 2 由题意知 ED BC ED BC 所以四边形BCDE为平行四边形 所以 BE CD 9 分 又AP 平面PCD 所以 AP CD 所以 AP BE 11 分 因为四边形ABCE为菱形 所以BE AC 又AP AC A AP AC 平面PAC 所以 BE 平面 PAC 14 分 17 1 因为 ABC 120 ACB 所以 BAC 60 因 为 BAD 90 所以 CAD 30 因为 ACD 60 所以 ADC 90 2分 在 ACD中 因为sin AD ACD sin AC ADC 所以 AC 24cos sin60 16 3 cos 5分 在 ABC中 因为sin AB ACB sin AC B 所以AB sin sin120 AC 16sin2 即h 16sin2 7分 2 在 ABC中 因为sin BC BAC sin AC B 所以BC sin 60 sin120 AC 32cos sin 60 8 3 8 3 cos 2 8sin 2 9分 则S AB BC 8 3 8 3 cos 2 8sin 2 8 3 16sin 2 60 12分 因为30 45 所以120 2 60 150 所以当 45 时 S取得最小值为 8 3 8 m 14分 18 解 1 设 2 Pm m 由题可知2MP 所以 22 2 2 4mm 解之得 4 0 5 mm 故所求点P的坐标为 0 0 P或 8 4 5 5 P 5 分 2 设直线CD的方程为 1 2 yk x 易知k存在 由题知圆心M到直线CD的 距离为 2 2 所以 2 212 2 1 k k 7 分 解得 1k 或 1 7 k 故所求直线CD的方程为 30 xy 或790 xy 10 分 3 设 2 Pm m MP的中点 1 2 m Q m 因为PA是圆M的切线 所以经过 A P M三点的圆是以Q为圆心 以MQ为半径的圆 故其方程为 2222 1 1 22 mm xmym 12 分 化简得 0 22 2 22 yxmyyx 此式是关于m的恒等式 故 14 分 解得 0 2 x y 或 5 2 5 4 y x 所以经过 A P M三点的圆必过异于点 M 的定点 5 2 5 4 16 分 19 本小题满分 16 分 解 1 1 1 2 1 nn anS 11111 121 211 11 2 1 1 2 1 1 1 22 1 1 1 2 1 1 2 1 nnnnnnn nnnn nnnn SnaaSSnana nananana nananana 整理得 1212 2 1 1 2 nnnnnn nanaaaaa 数列 n a为等差数列 1 1 3 11 nn annaa 2121 2152aaaa 即公差为 2 1 1 3 1 221 n aandnn 32 12 11 1 nnaa nn 111 2 2123nn 1 1111111 111 2 355721232 3236 nn TnNT nnn 又当时 要使得MTn 对一切正整数n恒成立 只要M 6 1 所以存在实数M使得MTn 对一切正整数n都成立 M的最小值为 6 1 20 本小题满分 16 分 解 bxxfa 0 由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时取最大值 1 分b 设切点横坐标为 0 x 1 fxb g x x 即实数的最大值为 4 分 0 0 00 1 1 ln b xxeb e bxx b 1 b e 2 ln 0 0 x bxf xg xa x 即原题等价于直线与函数 2 ln x r x x 的图象的公共点的个数 5 分ya 43 2 ln12ln xxxx r x xx r x 在 0 e递增且 1 2 r x e r x在 e 递减且 1 0 2 r x e 时 无公共点 1 2 a e 时 有一个公共点 1 0 2 a e 时 有两个公共点 9 分 1 0 2 a e 函数的图象恒在函数的图象的上方 xf ybg x 即 f xbg x 在时恒成立 10 分0 x 0a 时 f x图象开口向下 即 f xbg x 在时不可能恒成立