求随机变量函数的概率密度函数的教学方法

浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法 摘要 针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一 在借鉴前人研 究成果的基础上 提出求概率密度的四步教学法 概率论与数理统计是一门很有特色的数学分支 无论是综合类大学还是高职 高专院校 都将它作为一门必修课 在大学 概率论与数理统计 中 随机变量函数是一个重点也是 一个难点 尤其是连续性随机变量函数的概率密度 教材中只是一般给出两种方法 一种 是先求其分布函数 然后对分布函数求导 来得概率密度函数 二是教材中的定理 1 1 关键字 随机变量函数 概率密度 一 定义 1 如果存在一个函数 使得随机变量满足 则称随机 g x X Y Yg X 变量是随机变量的函数 那么随机变量的概率密度函数称为随机变量函数的概YXY 率密度函数 二 经典公式法 定理 1 设随机变量具有概率密度 又X X fxxR 设出处可导且恒有则是一个连续性 yg x 0 0 gxgx 或 Yg X 随机变量 其概率密度函数 1 1 11 0 X Y fgygyy fy 其他 该定理中给出的求解方法要求函数必须是一对一的单射 然而 在我 yg x 们实际教学中 学生经常会遇到这样的问题 设随机变量的概率密度函数为X 求随机变量函数的概率密度函数 显然在这情况下 使用定 X fx 2 1 2 YX 理 1 的求法是不满足其使用条件的 定理 2 2 3 设连续型随机变量的概率密度函数X 0 f xaxb p x 其他 为区间上连续的函数 若每一个对应唯一 的表达式记为 yg x a byx 且均连续可导 对应的定义域 123 n h yh yh yhy 记作 则随机变量函数的概率密度函数为 123 n IIII Yg X 1 1 2 3 0 n Xiii i Y fh yhyyIin fy 其他 该方法基于熟悉的公式法 拓宽了求解连续性随机变量函数的概率密度的方法 弥补了定理 1 中的缺陷 解除了初学者使用时的困惑 针对三本院校学生基 础知识薄弱 我们在教学中在严格遵守教学规律的同时 坚持以用为本 淡化 概念定理的推到证明 从而融合定理 1 定理 2 的思想方法归纳总结出以下结 论 三 求概率密度函数的四步法 1 反解得 yg x 11 xh y 11 ya b 22 xh y 12 ya b nnnn xhyya b 2 使用数轴以 为端点将 分割成互不重合 i a i b1 2 3in ii a b1 2 3in 的子区间 1122 mm ababab mn 3 确定每个区间上的并求出该区间上概率密度函 jj ab i h y1 2 j in 数 1 1 2 3 j n YjXii i ffh yhyjm 4 确定概率密度函数 111 222 0 Y Y Y fyab fyab fy 其他 四 举例 例 1 设 求的概率密度 04 8 0 X x x Xfx 其他 28YX 解 1 由反解得 28YX 8 2 Y X 当时 04x 816y 2 分割区间 816 3 该区间上 1 188 822 Y yy fy 816y 4 概率密度函数 8 816 32 0 Y y y fy 其他 例 2 设随机变量的概率密度函数为 X 2 01 0 xx p x 其他 求的概率密度函数 2 1 3 YX 解 1 由得 2 1 3 yx 1 1 3 h yy 1 4 0 9 I 2 1 3 hyy 2 1 0 9 I 1 0 9 y 2 利用分割区间 0 194 9 3 当 时 1 0 9 y 11122 YXX fyfh yhyfhyhy 整理得 1 2 3 Y fy y 1 0 9 y 当 时 14 99 y 211 YX fyfh yhy 1 1 3 y 4 1122 11 1 0 9 14 99 0 XX YX fh yhyfhyhyy fyfh yhyy 其他 整理得 21 0 93 114 1 993 0 Y y y fyy y 其他 例 3 设连续性随机变量的概率密度函数为 分布函数为 求随X f x F x 机变量的概率密度 YX 解 1 反解 yx 1 h yy 0y 2 h yy 0y 2 分割区间 0 1 当时 0y 11122 YXX fyfh yhyfhyhy fyfy 2 概率密度函数为 0 0 Y fyfyy fy 其他 五 小结 本文在熟悉教材基本公式的情况下 将连续性随机变量函数的 概率密度求法做了推广和总结 通过融合两个定理的核心思想 提出求解 概率密度的四步教学法 在基本理论的前提下采用数形结合借助图形直观 形象的特点给出具体操作步骤 对于数学基础薄弱抽象思维匮乏的学生极 大地降低了学习这部分知识的难度 同时 该方法也适合于将该门课作为 基础理论课 以用为目的的院校 参考文献 1 吴赣昌 概率论与数理统计 经管类 简明版 M 第四版 北京 中 国人民大学出版社 2011 年 2 程开敏 连续性随机