第二节-定积分的基本性质---2012-2-4

1 6 2 6 2 定定积积分的基本性分的基本性质质 教学目的 教学目的 理解定积分的性质 了解性质的证明 能熟练正 确运用性质进行相关判断 计算和证明 重点 能熟练正确运用性质进行计算和证明 难点 性质的灵活运用 教学方法 教学方法 以讲为主 讲练结合 教学过程 教学过程 一 定积分的性质一 定积分的性质 假设以下各函数都是所讨论区间上的可积函数 且假设以下各函数都是所讨论区间上的可积函数 且 ab 1 4 1 4 对对也成立也成立 则 则ab 性质性质 1 1 为常数为常数 bb aa kf x dxkf x dx k 常数因子可以提到积分符号外常数因子可以提到积分符号外 证明证明 0 1 lim n b ii a i kf x dxkfx 0 1 lim n b ii a i kfxkf x dx 性质性质 2 2 bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx 即代数和的积分等于积分的代数和即代数和的积分等于积分的代数和 证明证明 0 1 lim n b iii a i f xg x dxfgx 0 0 11 lim lim nn iiii ii fxgx bb aa f x dxg x dx 注注 1 2 1 2 可合并为可合并为 bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx 其中 其中为常数 为常数 性质性质 3 3 定积分的可加性 即若积分区间 定积分的可加性 即若积分区间被点被点 a b 分割成两个小区间分割成两个小区间 则 则c a c c b 其中不论其中不论在在 bcb aac f x dxf x dxf x dx c 2 外 还是在外 还是在内都不影响结论内都不影响结论 a b a b 证明证明 1 1 先假设先假设 设设与与是是与的与的分分acb 1 2 a c c b 割割 那么那么与与联合起来构成了联合起来构成了的分割的分割 1 2 a b 于是于是 0 1 lim n b ii a i f x dxfx 12 12 1122 0 0 11 lim lim nn iiii ii fxfx cb ac f x dxf x dx 2 2 若若 有有abc cbc aab f x dxf x dxf x dx 于是于是 bcc aab f x dxf x dxf x dx cb ac f x dxf x dx 3 3 若若 同同 2 2 可证可证 cab 由此可知由此可知 如图由定积分的几何意义知如图由定积分的几何意义知 132 b a f x dxSSS cdb acd f x dxf x dxf x dx 性质性质 4 4 若被积函数若被积函数 则 则 1f x 1 bb aa dxdxba 证明证明 0 0 11 lim lim nn b iii a ii dxfxx 0 lim baba 性质性质 5 5 若若 则则 0 f xxa b 0 b a f x dx 3 注注 若若在在连续 非负且不恒为零连续 非负且不恒为零 则则 f x a b 0 b a f x dx 证明证明 因因 而而 0 f xxa b 0 i x 于是于是 1 0 n ii i fx 所以所以 0 1 lim 0 n b ii a i f x dxfx 推论推论 1 1 若若 f xg xxa b 则则 bb aa f x dxg x dx 证明证明 因因 于是于是 0 F xg xf xxa b 0 bbb aaa g x dxf x dxF x dx 所以所以 bb aa f x dxg x dx 注注 若若 上连续且上连续且 f xg xxa b f xg xa b使 使 与与不恒等不恒等 则则成立成立 f x g x bb aa f x dxg x dx 2 2 估值不等式估值不等式 bb aa f x dxf xdx ab 证明证明 因 于是 f xf xf xxa b bbb aaa f xdxf x dxf xdx 所以 bb aa f x dxf xdx 性质性质 6 6 设设与与为为在在Mm f x 上的最大值与最小值上的最大值与最小值 则则 a b b a m baf x dxM ba 证明证明 因因 所以所以 mf xM xa b 4 bbb aaa m bamdxmdxf x dx b a MdxM ba 性质性质 6 6 的几何意义的几何意义 由连续曲线由连续曲线 轴与两条直线轴与两条直线 yf x x 所围成的曲边梯形面积介于以区间所围成的曲边梯形面积介于以区间为底 为底 xa xb a b 分别以分别以 为高的矩形面积之间为高的矩形面积之间 mM 性质性质 7 7 积分中值定理 积分中值定理 1 1 定理 设定理 设 则则 f xC a b a b s t b a f x dxfba 证明 因证明 因 在在上存在最大值上存在最大值与与 f xC a b f x a bM 最小值最小值 使得使得 m b a m baf x dxM ba 即即 1 b a mf x dxM ba 由连续函数介值定理知 由连续函数介值定理知 a b s t 1 b a ff x dx ba 即即 b a f x dxfba 2 几何意义几何意义 在区间在区间上至少存在一个点上至少存在一个点 使得以区间使得以区间为底为底 a b a b 边 以曲线边 以曲线为曲顶的曲边梯形的面积等于同一底边为曲顶的曲边梯形的面积等于同一底边 yf x 而高为而高为的一个矩形的面积的一个矩形的面积 f 3 函数的平均值函数的平均值 设设 那么那么 称为函数称为函数 f xC a b 1 b a yf x dx ba 在区间在区间上的平均值上的平均值 yf x a b 例如例如 速度为速度为的物体在时间间隔的物体在时间间隔上的平均速上的平均速 vv t 12 T T 度为度为 a x y O xfy b f 5 2 1 21 1 T T vv t dt TT 二 性质应用二 性质应用 例例 1 1 比较积分值的大小比较积分值的大小 1 1 和和 1 2 0 x dx 1 3 0 x dx 解解 因因 23 xx 0 1 x 11 23 00 x dxx dx 2 2 和和 1 0 x e dx 2 1 0 x e dx 解解 因因 2 xx ee 0 1 x 2 11 00 xx e dxe dx 3 3 和和 2 0 xdx 2 0 sin xdx 解解 因因 sin 0 2 xxx 22 00 sinxdxxdx 4 4 和 1 ln e xdx 2 1 ln e xdx 解解 因因 2 ln ln 1 xxxe 11 2 00 ln ln xdxx dx 5 5 与d 1 0 x ex d 1 0 1 xx 解解 令令 则则 1 x f xex 10 0 1 x fxex 所以所以在在上单调递增上单调递增 所以所以 f x 0 1 1 0 1 x ex x 又又 1 0 1 x ex x 所以所以 dd 11 00 1 x exxx 6 6 与d 1 0 x x d 1 0ln 1 xx 解解 令 则则 ln 1 f xxx 1 10 0 1 1 fxx x 所以所以在在上单调递增上单调递增 则则 f x 0 1 0 1 x 0 0f xf 6 即即 又在又在上上 ln 1 xx 0 1 ln 1 xx 所以所以 dd 11 00ln 1 x xxx 2011 3 4 设 设 44 00 lnsin lncot Ixdx Jxdx 则 则的大小关系是 的大小关系是 B 4 0 lncosKxdx I J K A IJKB IKJC JIKD KJI 提示 提示 时 时 0 4 x 0sincos1cotxxx lnsinlncos0lncotxxx 例例 2 2 估计积分值估计积分值 1 1 3 0 1 3sin dx x 解解 3 1 3sin f x x 0 x 3 0sin1 x 3 111 43sin3x 3 000 111 43sin3 dxdxdx x 3 0 1 43sin3 dx x 2 2 1 4 1 2 x dx 解解 设设上单调递增 上单调递增 4 1 1 2 f xxf x 使 使使 使 11 1 1 162 ff xf 7 所以由性质所以由性质 6 6 知知 1 4 1 2 111 1 1 1 1622 x dx 故故 1 4 1 2 11 322 x dx 3 3 3 2 1 32 xxdx 解解 设设则在则在上上 2 32 f xxx 1 3 2 31 24 f xx 所以所以 13 3 2 42 ff xf 所以由性质所以由性质 6 6 知知 3 2 1 1 31 32 2 31 4 xxdx 故故 3 2 1 1 32 4 2 xxdx 4 4 d 2 0 2 xx ex 解解 因为因为 22 11 24 xxx 所以所以 其中其中 2 1 2 4 xx 0 2 x 所以所以 从而 2 1 2 4 0 2 xx eee x d 2 1 2 2 4 0 22 0 2 xx eexex 故故 d 2 1 0 2 4 2 22 0 2 xx eexex 例例 3 3 设设在在上连续且上连续且 试证试证 在在 f x a b 0 b a f x dx 8 上至少存在一点上至少存在一点 使使 a bc 0f c 证明证明 因为因为在在上连续上连续 由积分中值定理至少存在一由积分中值定理至少存在一 f x a b 点点 又又且且 ca bf x dxf c ba b b a a 使 使 0 b a f x dx 所以 所以 ab 0f c 练习练习 91 1 91 1 设设在在上连续且上连续且在在内可内可 7 f x 0 1 f x 0 1 导导 且且 试证试证 在在内至少存在一点内至少存在一点 1 2 3 3 0 f x dxf 0 1 使使 0f 证明证明 因为因为 所以所以在在上连续上连续 由积分由积分 2 1 0 1 3 f x 2 1 3 中值定理知至少存在一点中值定理知至少存在一点 使使 0 2 1 3 即即 1 2 0 3 1 3 f x dxf 2 2 0 3 3 ff x dx 1 1 2 2 又又 所以所以 1 2 3 3 0 f x dxf 0 0 ff 从而从而在在上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件 所以存在所以存在 f x 0 0 使使 又又 故在故在内至少内至少 0 0 0f 0 0 0 1 0 1 存在一点存在一点 使使 0f 例例 4 4 94 3 94 3 设设在在上连续且递减上连续且递减 9 f x 0 1 01 试证试证 1 00 f x dxf x dx 证明证明 因为因为 所以所以 01 0 1 0 1 由积分中值定理知由积分中值定理知 存在存在 当当时有时有 12 12 01 1 12 0 1 f x dxff x dxf 11 12 00 1 f x dxf x dxf x dxff 9 又又在在上递减上递减 f x 0 1 所以所以 当当时时 12 01 12 ff 从而从而 1 12 00 1 0f x dxf x dxff 故故 1 00 f x dxf x dx 练习练习 05 8 05 8 设设在在上的导数连续上的导数连续 且且 f xg x 0 1 0 0 0 0ffxg x 证明证明 对任何对任何 有有 0 1 a dd 1 00 1 a g x fxxf x g xxf a g 证证 对任何 由条件知 0 1 a 1 d d 1 00 gafxxgxfxxfxg a dd 00 aa g x fxxf x g xx d 1 1 a f x g xxf a g dd 1 0 1 a a f x g xf x g xxf a g d 1 0 0 1 a f a g afgf a gf x g xx 1 d 1 a xxgxfaggaf 111 d d d aaa xxgafxfxxgafxxgxf 1 d a xxgafxf 因 那么在内 有0 0 xgxf 1 a0 afxf 0d 1 a xxgafxf 所以 1 d d 1 00 gafxxgxfxxfxg a 10 例例 5 5 96 3 96 3 设设在在上可微且上可微且 f x 0 1 1 2 0 2 1 xf x dxf 试证试证 在在内至少存在一点内至少存在一点 使使 0 1 0ff 证明证明 设设由积分中值定理知由积分中值定理知 F xxf x 至少至少使使 1 0 2 11 22 00 1 2 xf x dxF x dxF 所以所以 1 1 fFF 因为因为在在上可微 所以上可微 所以在在在在上上 f x 0 1 F xxf x 0 1 可微可微 从而从而在在上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件 所以存在所以存在 F x 1 使使 1 0 1 0 1 Fff 使 使 所以所以 0 1 故故 在在内至少存在一点内至少存在一点 使使 即 即 0 1 0F 0ff 提问提问 99 3 99 3 函数函数上的平均值为上的平均值为 3 2 2 1 x y x 1 13 3 使 使 2 22 2 13 12 解解 3 232 sin 2 2 1 26 12 sin 3131 1 22 xt x ydxtdt x 3 6 311 31 sin2 26212 t 练习练习 96