初三数学旋转相似讲义

专题 旋转相似专题 旋转相似 模型 手拉手相似模型 旋转相似成双对 模型 手拉手相似模型 旋转相似成双对 条件 条件 CD AB 本质即为 OCD OAB 将 OCD 绕点 O 旋转到图 1 和图 2 的位置 结论 结论 OCD OAB OAC OBD 即连接对应点所得的一对新三角形相似 延长 AC 交 BD 于点 E 则 AEB BOA 用蝴蝶形图证明 能得到点 A O E B 四点共圆 模型特例 模型特例 共直角顶点的直角三角形相似 当 AOB COD 90 时 除 OCD OAB OAC OBD 延长 AC 交 BD 于点 E 则 AEB BOA 90 用蝴蝶形图证明 外 还有结论 OABOCD OA OB OC OD AC BD tantan 因为 AC BD 于点 E 那么 若连 AD BC 则四边形 ABCD 对角线互相垂直 则 BDACS ABCD 2 1 四边形 2222 CDABBCAD D E O F E O B C A D A B F C 例题讲解例题讲解 例例 1 1 已知 ABC 与 DEF 都是等腰三角形 AB EF 的中点均为 O 且顶角 ACB EDF 1 如图 1 若 ACB 900 探究 BF 与 CD 间的数量关系 2 如图 2 若 tan ACB 求的值 4 3 BF CD 3 如图 3 若 ABC 中 AC BC a 将 DEF 绕点 O 旋转 设直线 CD 与直线 BF 交于点 H 则最大 BCH S 值为 用含 a 的式子表示 分析 分析 1 连 OC OD OBF OCD BF CD 2 构造手拉手旋转相似 可证 OBC OFD ODC OFB tan BF CD OB OC ACB 2 1 问题转化为已知 tan ACB 求 tan的问题 必须 4 3 ACB 2 1 熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法 由右图提示可得 tan ACB 2 1 3 1 3 由 2 OBC OFD ODC OFB 蝴蝶形图易得 CHB COB 90 又 BC a 定边定角 点 H 在以 BC 为直径的圆上 易求 2 max 4 1 2 1 2 1 aaaS BCH 例例 2 2 如图 已知在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中 求证 AG CE 求的值 AG DF 分析 分析 如图 2 证 AG CECBEABG 如图 2 连接 BD BF DF 易证 2 BE BF BC BD 45FBEDBC CBE DBF CBEDBF 2 BC BD CE DF CE AG 2 CE DF AG DF 变式 变式 如图 3 正方形 ABCD 和 EFGH 中 O 为 BC EF 中点 1 求证 AH DG 2 求的值 CF AH A E D B C 分析 分析 1 连接OG OD OH OA 易证 DOGAOH DGAH 5 COFBOE 5 2 1 2 CF AH CFBE BO AO BE AH OAHOBE OA OH OB OE BOEAOH HOEAOB HEOABO AB OB EH OE 易证 又 例例 3 3 如图 ACB DCE 90 ABC CED CAE 30 AC 3 AE 8 求AD的长 分析 分析 连接BE 由基本图形易得 可证 ACD BCE AD BE BAE 90 在 Rt ABE作 由勾股定理求得BE 10 则AD 练习练习 1 1 如图 点 A 是 DBC 内一点 求 BD 12060 8 32 00 ACADDACABCBCAB 得长 分析 分析 构造旋转相似 由基本图形可得出以下几种方法 求出 BD 10 A E D B C 练习练习 2 2 如图 在 ABC中 ACB 90 BC 2AC F G分别为AC BC的中点 将 CFG绕点C顺时针 旋转 直线AF与直线BG交于点I 1 求证 AF BG 2 当旋转角小于 90 时 求的值 CI BIAI 2 3 若AC 4 直接写出 ACI面积的最大值 分析 分析 3 需分析出 I 点轨迹 由 A C I B 四点共圆可得 AIC ABC 又 AC 4 定边定角得 I 轨迹为圆弧 A D B C E P 练习练习 3 3 将等腰 Rt ABC 和等腰 Rt ADE 按图 1 方式放置 A 90 AD 边与 AB 边重合 AB 2AD 4 将 ADE 绕点 A 逆时针旋转 旋转角不超过 180 BD 的延长线交直线 CE 于点 P 1 如图 2 BD 与 CE 的数量关系是 位置关系是 2 在旋转的过程中 当 AD BD 时 求 CP 的长 3 当点 D 落在 BA 的延长线上时 求点 P 所经过的路径的长 分析 分析 1 BD CE BD CE 2 BD CE AD BD ADP DPE 90 又 DAE 90 AD AE 四边形 ADPE 为正方形 AB 2AD 4 PE AD 2 CE BD 2 AB 2 AD 23 CP 2 2 3 3 取 BC 中点 O 连接 OA OP 在旋转过程中 BD CE BPC 90 OP BC 2 1 22 AE D B CA E B C 图 1图 2 D A E B C D O P 点 P 的运动路径是以 O 为圆心 半径为 2的一段圆弧 2 即 ABC 外接圆的一部分 则 AOP 2 ABP 易知点 D 在以 A 为圆心 半径为 2 的半圆上运动 当 BP 与半圆 A 相切于点 D 时 ABP 最大 从而 AOP 最大 AD AB ABP 30 AOP 60 1 2 即当 ADE 从初始位置旋转 60