初三相似三角形复习提高(含答案)

学高为师 身正为范 专注个性化教 育 华贤书院 教学过程补充表 知识要点 知识要点 1 比例线段的有关概念 在比例式 中 叫外项 叫内项 叫前项 a b c d abcdadbcac b d 叫后项 d 叫第四比例项 如果 b c 那么 b 叫做 a d 的比例中项 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 使 AC2 AB BC 叫做把线段 AB 黄金分割 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 2 比例性质 基本性质 a b c d adbc 合比性质 a b c d ab b cd d 等比性质 a b c d m n bdn acm bdn a b 0 3 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 如图 l1 l2 l3 则 AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比 例 定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那 么这条直线平行于三角形的第三边 4 相似三角形的判定 两角对应相等 两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对 应成比例 那么这两个直角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原 三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5 相似三角形的性质 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 典型例题典型例题 例 1 1 在比例尺是 1 8000000 的 中国行政区 地图上 量得 A B 两城市的距离是 7 5 厘米 那么 A B 两城市的实际距离是 千米 2 小芳的身高是 1 6m 在某一时刻 她的影子长 2m 此刻测得某建筑物的影长是 18 米 则此建筑物的高是 米 例 2 如图 已知 DE BC EF AB 则下列比例式错误的是 A AD AB AE AC B CE CF EA FB C DE BC AD BD D EF AB CF CB 例 3 如图 在等边 ABC 中 P 为 BC 上一点 D 为 AC 上一点 且 APD 60 BPCDABC 1 2 3 求 的边长 例 4 如图 四边形 ABEG GEFH HFCD 都是边长为 a 的正方形 1 求证 AEF CEA 2 求证 AFB ACB 45 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 例 5 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AC BD 交于点 O EF 经过点 O 且和两底平行 交 AB 于 E 交 CD 于 F 求证 OE OF 例 6 已知 如图 ABC 中 AD BC 于 D DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 AE AF AC AB 分析 分析 观察 AE AF AC AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决 因此 可根据图中直角三角形多 因而相似三角形多的特点 可设法寻求中间量进行代 换 通过 可得 于是得到 同理ABDADE AB AD AD AE ADAEAB 2 可得到 故可得 即ADAFACAEABAFAC AE AF AC AB 2 例 7 如图 D 为 ABC 中 BC 边上的一点 CAD B 若 AD 6 AB 8 BD 7 求 DC 的长 分析 分析 本题的图形是证明比例中项时经常使用的 公边共角 的基本图形 我们可以由 基本图形中得到的相似三角形 从而得到对应边成比例 从而构造出关于所求线段的方程 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 使问题得以解决 例 8 如图 在矩形 ABCD 中 E 是 CD 的中点 BE AC 于 F 过 F 作 FG AB 交 AE 于 G 求证 AG2 AF FC 例 9 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 若 BCD 的平分线 CH AB 于点 H BH 3AH 且四边 形 AHCD 的面积为 21 求 HBC 的面积 分析 分析 因为问题涉及四边形 AHCD 所以可构造相似三角形 把问题转化为相似三角形的 面积比而加以解决 巩固练习巩固练习 一 填空题 1 已知 则 ab ab 2 2 9 5 ab 2 若三角形三边之比为 3 5 7 与它相似的三角形的最长边是 21cm 则其余两边之和是 cm 3 如图 ABC 中 D E 分别是 AB AC 的中点 BC 6 则 DE ADE 与 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 ABC 的面积之比为 4 已知线段 a 4cm b 9cm 则线段 a b 的比例中项 c 为 cm 5 在 ABC 中 点 D E 分别在边 AB AC 上 DE BC 如果 AD 8 DB 6 EC 9 那么 AE 6 已知三个数 1 2 请你添上一个数 使它能构成一个比例式 则这个数是3 7 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC EF BC 若 AD 12cm BC 18cm AE EB 2 3 则 EF 8 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC A 90 BD CD AD 6 BC 10 则梯形的面积为 二 选择题 1 如果两个相似三角形对应边的比是 3 4 那么它们的对应高的比是 A 9 16B 23 C 3 4D 3 7 2 在比例尺为 1 m 的某市地图上 规划出长 a 厘米 宽 b 厘米的矩形工业园区 该园区 的实际面积是 米 2 A B C D 104m ab 104 2 m ab abm 104 abm2 4 10 3 已知 如图 DE BC EF AB 则下列结论 AE EC BE FC AD BF AB BC EF AB DE BC CE CF EA BF 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 其中正确的比例式的个数是 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 4 如图 在 ABC 中 AB 24 AC 18 D 是 AC 上一点 AD 12 在 AB 上取一点 E 使 A D E 三点为顶点组成的三角形与 ABC 相似 则 AE 的长是 A 16B 14C 16 或 14D 16 或 9 5 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 D 是 BC 的中点 AE AD 交 CB 的延长线于点 E 则下列结论正确的是 A AED ACBB AEB ACD C BAE ACED AEC DAC 三 解答题 1 如图 AD EG BC AD 6 BC 9 AE AB 2 3 求 GF 的长 2 如图 ABC 中 D 是 AB 上一点 且 AB 3AD B 75 CDB 60 求证 ABC CBD 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 3 如图 BE 为 ABC 的外接圆 O 的直径 CD 为 ABC 的高 求证 AC BC BE CD 4 如图 Rt ABC 中 ACB 90 AD 平分 CAB 交 BC 于点 D 过点 C 作 CE AD 于 E CE 的延长线交 AB 于点 F 过点 E 作 EG BC 交 AB 于点 G AE AD 16 AB 4 5 1 求证 CE EF 2 求 EG 的长 答案 答案 例一 例一 这是两道与比例有关的题目 都比较简单 1 应填 600 2 应填 14 4 例二 例二 由 可知 都正确 而不能得到 DEBCEFABABD DE BC AD BD 故应选 C 利用平行线分线段成比例定理及推论求解时 一定要分清谁是截线 谁是被截 线 中很显然是两平行线段的比 因此应是利用三角相似后对应边成比C DE BC 例这一性质来写结论 即 DE BC AD AB AE AC 例三 例三 ABC 是等边三角形 C B 60 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 又 PDC 1 APD 1 60 APB 1 C 1 60 PDC APB PDC APB PC AB CD PB 设 PC x 则 AB BC 1 x x x x 1 2 3 1 2 AB 1 x 3 ABC 的边长为 3 例四 例四 因为 AEF CEA 有公共角 AEF 故要证明 AEF CEA 只需证明两个三角形中 夹 AEF CEA 的两边对应成比例即可 证明 证明 1 四边形 ABEG GEFH HFCD 是正方形 AB BE EF FC a ABE 90 AEaECa 22 AE EF a a EC AE a a 2 2 2 2 2 AE EF EC AE 又 CEA AEF CEA AEF 2 AEF CEA AFE EAC 四边形 ABEG 是正方形 AD BC AG GE AG GE ACB CAD EAG 45 AFB ACB EAC CAD EAG AFB ACB 45 例五 例五 AD EF BC OE BC AE AB OE AD EB AB OE BC OE AD AE AB EB AB AB AB 1 111 BCADOE 同理 111 BCADOF 11 OEOF OE OF 从本例的证明过程中 我们还可以得到以下重要的结论 ADEFBC ADBCOE 111 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 ADEFBCOEOFEF 1 2 ADEFBC ADBCOE 111 1 1 2 2 EF OF 即 112 ADBCEF 这是梯形中的一个性质 由此可知 在 AD BC EF 中 已知任何两条线段的长度 都可 以求出第三条线段的长度 例六 例六 在 ABD 和 ADE 中 ADB AED 90 BAD DAE ABD ADE AB AD AD AE AD2 AE AB 同理 ACD ADF 可得 AD2 AF AC AE AB AF AC AE AF AC AB 例七 在 ADC 和 BAC 中 CAD B C C ADC BAC AD AB DC AC AC BC 又 AD 6 AD 8 BD 7 DC AC AC DC 7 3 4 即 DC AC AC DC 3 4 7 3 4 解得 DC 9 例八 在矩形 ABCD 中 AD BC ADC BCE 90 又 E 是 CD 的中点 DE CE Rt ADE Rt BCE AE BE FG AB AE BE AG BF AG BF 在 Rt ABC 中 BF AC 于 F Rt BFC Rt AFB 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 AF BF FB FC BF2 AF FC AG2 AF FC 例九 例九 延长 BA CD 交于点 P CH AB CD 平分 BCD CB CP 且 BH PH BH 3AH PA AB 1 2 PA PB 1 3 AD BC PAD PBC SS PADPBC 19 SS PCHPBC 1 2 四边形 SS PADAHCD 27 四边形 S AHCD 21 S PAD 6 S PBC 54 SS HBCPBC 1 2 27 巩固练习参考答案巩固练习参考答案 一 填空题 1 19 132 243 3 1 4 4 65 12 6 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可 如 等 2 2 2 2 7 14 48 16 6 二 选择题 1 C2 D3 B4 D5 C 三 解答题 1 解 解 AD EG BC 在 ABC 中 有 EG BC AE AB 在 ABD 中 有 EF AD BE AB AE AB 2 3 BE AB 1 3 EGBCEFAD 2 3 1 3 BC 9 AD 6 学高为师 身正为范 专注个性化教 育 EG 6 EF 2 GF EG EF 4 2 解 解 过点 B 作 BE CD 于点 E CDB 60 CBD 75 DBE 30 CBE CBD DBE 75 30 45 CBE 是等腰直角三角形 AB 3AD 设 AD k 则 AB 3k BD 2k DE k BE 3k BCk 6 BD BC k k 2 6 2 3 BC AB k k 6 3 2 3 BD BC BC AB ABC CBD 3 连结 EC BCBC E A 又 BE 是 O 的直径 BCE 90 又