第三章 数系的扩充与复数的引入教材分析

巴东一中高二年级数学组巴东一中高二年级数学组 1 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 教材分析教材分析 数系的扩充与复数的引入是选修 1 2 与选修 2 2 的内容 是高中生的共同数学基础之 一 数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程 同时了数学产生 发展的客观需求 复 数的引入襀了中学 阶段数系的又一次扩充 课标 将复数作为数系扩充的结果引入 体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩 充过程中的作用 以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化 这部分内容的学习 有 助于学生体会理论产生与发展的过程 认识到数学产生和发展既有来自外部的动力 也有来 自数学内部的动力 从而形成正确的数学观 有助于发展学生的全新意识和创新能力 复数的内容是高中数学课程中的传统内容 对于复数 课标 要求在问题情境中了解 数系的扩充过程 体会实际需求与数学内部的矛盾 数的运算规则 方程理论 在数系扩充 过程中的作用 感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系 理解复数的基本概念以及 复数相等的充要条件 了解复数的代数表示法及其几何意义 能进行复数代数形式的四则运 算 了解复数代数形式的加 减运算的几何意义 本章内容分为 2 节 教学时间约 4 课时 第一节第一节 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念 复数的几何意义 几何表示和向量表 示 教学目标教学目标 1 在问题情境中了解数系的扩充过程 体会实际需求与数学内部的矛盾 数的运算 规则 方程理论 在数系扩充过程中的作用 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的 联系 2 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 3 了解复数的代数表示法及其几何意义 教学重点教学重点 1 数系的扩充过程 2 复数的概念 复数的分类和复数相等的充要条件 3 复数的几何意义 教学难点教学难点 1 虚数单位 的引进 i 2 复数的几何意义 教学时数教学时数 本节教学 建议用 2 课时 第 1 课时处理数系的扩充和复数的概念 第 2 课时研究复数 的几何意义 课标对本节内容的处理特点课标对本节内容的处理特点 数系的扩充和复数的概念 课标 与 大纲 教学内容相同 但在处理方式和目标定 位上存在差异 1 课标 将复数作为数系扩充的结果引入 大纲 教科书先安排复数的概念 再 研究复数的运算 最后介绍数系的扩充 课标 实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的 基础上引入复数的概念 力求还原复数的发现与建构过程 2 课标 强调在问题情境中了解数系的扩充过程 体会实际需求与数学内部的矛盾 在数系扩充过程中的作用 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 从这上点上 看 课标 要求提高了 3 在复数的代数表示法及其几何意义上 课标 的教学定位是 了解 而 大纲 巴东一中高二年级数学组巴东一中高二年级数学组 2 一一对应 要求 掌握 从这上点上看 课标 要求降低了 教学建议教学建议 1 关于 数系的扩充的复数的概念 的教学建议 1 课题的引入 教学时 可从方程在给定范围内是否有解提出问题 在自然数集 N 中 方程10 x 有解吗 在整数集 Z 中 方程有解吗 21x 在有理数集 Q 中 方程 2 有解吗 2 x 在实数集 R 中 方程 有解吗 2 回顾从自然数集 N 扩充到实数集 R 的过程 帮助学生认识数系扩充的主要原因和 共同特征 可让学生思考如下问题 从自然数集 N 扩充到实数集 R 经历了几次扩充 每一次扩充的主要原因是什么 每一次扩充的共同特征是什么 然后师生共同归纳总结 扩充原因 满足实际问题解决的需要 满足数学自身完善和发展的需要 扩充特征 引入新的数 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展 3 提出新的问题 如何对实数集进行扩充 使方程在新的数集中的解 2 10 x 4 引入虚数单位 i 5 学习复数的概念 6 规定复数相等的意义 7 研究复数的分类 8 告诉学生 两个复数只能说相等或不相等 不能比较大小 的理由 在两式中 只要有一个不成立 则 abicdiacbd acbd abicdi 如果两个复数都是实数 则可以比较大小 否则 不能比较大小 不能比较大小 的确切含义是指 不论怎样定义两个复数之间的一个关系 都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质 对于任意实数 来说 这种情况有且只有一种成立 abab ab ba 如果 那么 abbc ac 如果 那么 ab acbc 如果 那么 0abc acbc 2 关于 复数的几何意义 的教学建议 1 帮助学生认识复数的几何表示 复数的几何表示就是指用复平面内的点 Z a b 来表示复数 zabi 明确 复平面 的概念 建立复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系 即 复数 复平面内的点 Z a b zabi 2 帮助学生认识复数的向量表示 复 巴东一中高二年级数学组巴东一中高二年级数学组 3 一一对应 数的向量表示就是指用复平面内的向量来表示复数 OZ zabi 认识复平面内的点 Z a b 与向量的一一对应关系 OZ 在相互联系中把握复数的向量表示 复数zabi 一一对应 一一对应 点 Z a b 向量OZ 3 用数形结合的思想方法 强化对复数几何意义的认识 在复平面内 实数与实轴上的点一一对应 纯虚数与虚轴上的点 原点除外 一一对应 非 纯虚数的虚数与象限内的点一一对应 可通过一组练习题来强化这一认识 第二节第二节 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算 本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义 复数代数形式的乘除运 算 教学目标教学目标 1 掌握复数代数形式的加减运算法则 2 了解复数代数形式的加减运算的几何意义 3 理解复数代数形式的乘除运算法则 4 体验复数问题实数化的思想方法 教学重点教学重点 1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 2 复数代数形式的乘除运算 3 复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用 教学难点教学难点 1 复数代数形式的加减运算的规定 2 复数代数形式的加减运算的几何意义的理解 3 复数代数形式的乘除运算法则的运用 教学时数教学时数 本节教学 建议用 2 课时 第 1 课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义 第 2 课时研究复数代数形式的乘除运算 课标对本节内容的处理特点课标对本节内容的处理特点 复数代数形式的四则运算 课标 与 大纲 教学内容与要求基本相同 但在目标定 位上存在差异 1 课标 要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义 对复数的向量表示提出了 要求 强化了数形结合思想方法 2 课标 明确强调 淡化烦琐的计算和技巧性训练 突出了复数问题实数化的思想 方法 教学建议教学建议 1 复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定 要让学生理解其合理性 这种 合理性应从数系扩充的角度来理解 这种规定与实数加法 乘法的法则是一致的 而且实数 加法 乘法的有关运算律在这里仍然成立 2 复数的减法 除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算 要让学生按照这种规定 自主得出复数减法和除法的运算法则 巴东一中高二年级数学组巴东一中高二年级数学组 4 3 复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的 合并同类项 分母有理化 利 用 将它们