应用弹塑性力学习题解答

1 应用弹塑性力学习题解答应用弹塑性力学习题解答 目目 录录 第二章 习题答案 2 第三章 习题答案 6 第四章 习题答案 9 第五章 习题答案 26 第六章 习题答案 37 第七章 习题答案 49 第八章 习题答案 54 第九章 习题答案 57 第十章 习题答案 59 第十一章 习题答案 62 2 第二章 习题答案 2 62 6 设某点应力张量的分量值已知 求作用在过此点平面上 的应力矢量 并求该应力矢量的法向分量 解解 该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 2 72 7 利用上题结果求应力分量为时 过 平面处的应力矢量 及该矢量的法向分量及切向分量 解解 求出后 可求出及 再利用关系 可求得 最终的结果为 3 2 82 8 已知应力分量为 其特征方程 为三次多项式 求 如设法作变换 把该方程变为形 式 求以及与的关系 解解 求主方向的应力特征方程为 式中 是三个应力不变量 并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式 可令代入 正好项被抵消 并可得关系 代入数据得 2 92 9 已知应力分量中 求三个主应力 解解 在时容易求得三个应力不变量为 特征方程变为 求出三个根 如记 则三个主应力为 记 4 2 102 10 已知应力分量 是材料的屈服极限 求及主应力 解解 先求平均应力 再求应力偏张量 由此求得 然后求得 解出 然后按大小次序排列得到 2 112 11 已知应力分量中 求三个主应力 以及每 个主应力所对应的方向余弦 解解 特征方程为记 则其解为 对应于的方向余弦 应满足下列关系 a b c 由 a b 式 得 代入 c 式 得 由此求得 5 对 代入得 对 代入得 对 代入得 2 122 12 当时 证明成立 解解 由 移项之得 证得 6 第三章第三章 习题答案习题答案 3 53 5 取为弹性常数 是用应变不变量 表示应力不变量 解 由 可得 由 得 3 63 6 物体内部的位移场由坐标的函数给出 为 求点处微单元的 应变张量 转动张量和转动矢量 解 首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 7 转动矢量的分量为 该点处微单元体的转动角度为 3 73 7 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置 同常利 用它可以量测得到一点的平面应变状态 如图 3 1 所示 在一点的 3 个方 向分别粘贴应变片 若测得这 3 个应变片的相对伸长为 求该点的主应变和主方向 解 根据式先求出剪应变 考察方向线元的线应变 将 代入 其中 可得 则主应变有 解得主应变 由最大主应变可得 上式只有 1 个方程式独立的 可解得与轴的夹角为 于是有 同理 可解得与轴的夹角为 8 3 83 8 物体内部一点的应变张量为 试求 在方向上的正应变 根据式 则方向的正应变为 3 93 9 已知某轴对称问题的应变分量具有的形式 又设材料是不可压 缩的 求应具有什么形式 解 对轴对称情况应有 这时应变和位移之间的关系为 应变协调方程简化为 由不 可压缩条件 可得 可积分求得 是任意函数 再代回 可得 3 103 10 已知应变分量有如下形式 由应变协调方程 试导出 应满足什么方程 解 由方程 得出必须满足双调和方程 9 由 得出 由 得出 由此得 其它三个协调方程自动满足 故对没有限制 第四章第四章 习题答案习题答案 4 34 3 有一块宽为 高为的矩形薄板 其左边及下边受链杆支承 在右边及上 边分别受均布压力和作用 见题图 4 1 如不计体力 试求薄板的位移 题图 4 1 解 解 1 设置位移函数为 1 因为边界上没有不等于零的已知位移 所以式 中的 都取为零 显然 不论式 1 中各系数取何值 它都满足左边及下边的位移边界条件 但不一定能满足应力 边界条件 故只能采用瑞兹法求解 2 计算形变势能 为简便起见 只取 两个系数 2 10 3 3 确定系数和 求出位移解答 因为不计体力 且注意到 式 4 14 简化为 4 5 对式 4 右端积分时 在薄板的上下边和左边 不是 就是 故 积分值为零 在右边界上有 6 同理 式 5 右端的积分只需在薄板的上边界进行 7 将式 3 式 6 式 7 分别代入式 4 式 5 可解出和 8 9 4 分析 把式 8 代入几何和物理方程可求出应力分量 不难验证这些应力分 量可以满足平衡微分方程和应力边界条件 即式 8 所示位移为精确解答 在一 般情况下 这是一个特殊情况 在位移表达式中只取少数几个待定系数 是不 可能得到精确解答的 11 4 44 4 设四边固定的矩形薄板 受有平行于板面的体力作用 坐 标轴如题图 4 2 所示 求其应力分量 题图 4 2 解 解 1 本题为平面应力问题 可用瑞兹法求解 由题意知位移分量在边 界上等于零 所以 所以式中的 都取 为零 且将位移函数设置为如下形式 1 把或代入上式 因为 或 所以 位移边界条件是满足的 2 把式 1 代入式 9 16 得薄板的变形势能为 2 3 确定系数和 由于位移分量在边界上为零 所以 方程式 4 14 简化 为 3 式 2 代入式 3 得 12 4 由于 从式 4 的第一式得 由第二式得 当和取偶数时 和都为零 当和取奇数时 和都为 2 因此 当取偶数时 当取 奇数时 将和代入式 1 得位移分量为 4 利用几何方程和物理方程 可求出应力分量 和取奇数 13 4 54 5 有一矩形薄板 三边固定 一边上的位移给定为 见 题图 4 3 设位移分量为 式中 为正整数 可以满足位移 边界条件 使用瑞兹法求维持上述边界位移而要在处所施加的面力 题图 4 3 解 解 1 平面应力问题时的变形势能为式 其中 14 2 确定待定系数 按题意三边固定 一边只存在 而面力待求 所以 2 将式 1 代入式 2 得 15 当体力分量为零时 得 当时 所以 此时有 而 3 位移和应力解答为 16 4 求上边界施加的面力 设 在处 4 64 6 用伽辽金法求解上例 解 解 应用瑞兹法求解上例时 形变势能的计算工作量较大 由于此问题并没有 应力边界条件 故可认为上例题意所给的位移函数不但满足位移边界条件 而且也满足应力边界条件 因此 可以用伽辽金法计算 对于本题 方程可以写成 将上题所给的表达式代入 积分后得 17 当体力不计时 此时 而由下式确定 当时 即 当时 上式成为 由此解出及位移分量如下 求出的位移和应力分量 以及上边界的面力 都有上例用瑞兹法求得结果相同 4 74 7 铅直平面内的正方形薄板边上为 四边固定 见题图 4 4 只受重力作 用 设 试取位移表达式为 用瑞兹法求解 在的表达式中 布 置了因子和 因为按照问题的对称条件 应该是和的奇函数 18 题图 4 4 解 解 1 位移表达式中仅取和项 1 2 由得变形势能为 2 其中 代入式 2 得 3 3 确定系数和 因板四周边界上位移为零 面力未知 板的 体力分量为 所以得 将式 3 代入式 4 得 19 5 注意 有以下对称性 式 5 积分后成为式 6 由此可求得 和位移 应力分量 6 7 8 20 9 4 84 8 用伽辽金法求解上题 解 解 1 位移表达式仍取上题式 1 其两阶偏导数为 1 2 确定和 因为 所以伽辽金方程简化为 2 将以及式 1 代入 2 得 由此解出和 3 21 与瑞兹法求出结果一样 由此可见 用伽辽金法计算较为简单 4 94 9 悬臂梁自由端作用一集中力 梁的跨度为 见题图 4 5 试用端兹法求 梁的挠度 题图 4 5 解 解 1 设梁的挠度曲线为 1 此函数满足固定端的位移边界条件 梁的总势能为 由得 代入式 1 得挠度为式 2 最大挠度为式 3 2 3 4 104 10 有一长度为 的简支梁 在处受集中力作用 见题图 4 6 试用瑞 兹法和伽辽金法求梁中点的挠度 题图 4 6 22 解一解一 用瑞兹法求解 设满足梁端部位移边界条件的挠度函数为 1 梁的变形能及总势能为 由得 2 以上级数的收敛性很好 取很少几项就能得到满意的近似解 如作用于中点 时 跨中挠度为 只取一项 这个解与材料力学的解 相比 仅相差 1 5 解二 解二 用伽辽金法求解 1 当对式 1 求二阶导数后知 它满足 亦即满足支承处弯矩为 零的静力边界条件 因此 可采用伽辽金求解 将式 1 代入伽辽金方程 注 意到 且作用在处 可得 求出的挠度表达式与 2 一致 23 4 114 11 图 4 7 所示的简支梁 梁上总荷重为 试用瑞兹法求最大挠度 题图 4 7 解 解 设满足此梁两端位移边界条件的挠度为 1 则总势能为 代入式 1 得 梁上总荷重为 因此有 4 124 12 一端固定 另一端支承的梁 其跨度为 抗弯刚度为常数 弹簧系数 为 承受分布荷载作用 见题图 4 8 试用位移变分方程 或最小势能 原理 导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件 24 题图 4 8 解 用位移变分方程推导 1 梁内总应变能的改变为 2 外力总虚功为 3 由位移变分方程式得 1 对上式左端运用分部积分得 代入式 1 经整理后得 2 由于变分的任意性 上述式子成立的条件为 3 4 25 5 4 式 3 就是以挠度表示的平衡微分方程 下面讨论边界条件 由于梁的左 端为固定端 因此有 6 梁的右端为弹性支承 则有 7 注意到式 4 能满足 而欲使式 5 成立 必须满足 8 式 6 和式 8 即为题意所求的边界条件 5 由于最小势能原理与位移变分方程式等价的 所以 从最小势能原理出发 也能得到所求的表达式 略 第五章第五章 习题答案习题答案 5 35 3 矩形薄板具有固定边 简支边及自由边和 角点处有链 杆支撑 板边所受荷载如题图 5 1 所示 试将各板边的边界条件用挠度表示 题图 5 1 解 解 1 各边界条件如下 1 26 2 或 3 或用挠度表示为 4 或用挠度表示为 5 5 45 4 矩形薄板的和边为简支边 和边是自由边 在点有一个 向上位移 且由链杆拉住 如题图 5 2 所示 试证能满足一切条件 其中 为待定常数 并求出挠度表达式 弯矩和反力 题图 5 2 解 解 1 挠曲面方程为 边界条件为 边 边 边 边 2 将挠度表达式代入后 可知满足以上各式 由角的位移条件确定 从而 求出挠度 内力和反力 27 3 分析 给定的角点的位移沿轴反向 故为负值 四个角点反力的数值 虽然相同 但 的方向向上 则向下 这些反力由外界支承施加 于板 5 55 5 题图 5 3 所示矩形板在点受集中力作用 和两边简支 和 两边自由 试求挠度 内力和反力 提示 为任意常数 题图 5 3 解 解 1 本题的挠曲面方程及边界条件为 28 2 不难验证能满足以上方程和条件 有角点的补充条件可确定 进而可求出挠度 内力和反力 的方向向上 则向下 沿轴正方向 5 65 6 有一块边长分别为和的四边简支矩形薄板 坐标系如题图 5 4 所示 受 板面荷载作用 试证能满足一切条件 并求出挠度 弯矩和反力 题图 5 4 解 解 不难验证能满足所有简支边的边界条件 由挠曲面方程式可确 定 从而求出挠度 弯矩和反力 29 5 75 7 有一矩形薄板的与边是简支边 其上作用有均布弯矩 和 边为自由边 其上作用有均布弯矩 若设能满足一切条件 试求出挠度 弯矩和反力 板面无横向荷载作用 坐标取题图 5 5 题图 5 5 解 解 将代入挠曲面方程 得 30 弯矩 反力的表达式为 由边界条件确定常数 从而求得挠度和内力 能满足 所以 能满足一切条件 其余内力和反力为零 5 85 8 有一四边简支矩形板 板面荷载如题图 5 6 所示 求该薄板的挠度 题图 5 6 解 解 采用纳维解法 挠度表达式为 荷载表达式为 31 由式求出 式中 5 95 9 题图 5 7 所示的矩形薄板 周边简支 板面无垂直均布荷载作用 只在 的板边受均布弯矩作用 求板的挠度 题图 5 7 解 解 1 采用李维解法 因为板面荷载为零 故式 右端积分为零 即特解为 零 再考虑变形的对称性 板内挠度应是的偶函数 所以 则挠度表达式为 32 2 利用的边界条件确定系数 等式两端同乘以 对积分 且注意到三角函数的正交性 得 5 105 10 半径为的固定边圆形薄板 板面荷载为 如题图 5 8 求其挠 度和内力 题图 5 8 解 解 1 板中无孔 满足挠曲面微分方程的挠度可取为 1 式中 特解设为 代入挠曲面方程后 得 2 2 由边界条件求得常数 进而求出挠度和内力 33 3 4 5 3 分析 1 取半径为的板中部分圆板的平衡 也可求得 2 若固定边圆板受荷载作用 题图 5 9a 该荷载可分解成题 图 5 9b 和题图 5 9c 所示两种荷载 题图 5 9b 的解答很容易得到 题图 5 9c 状 态下的解答则可将代换本题的式 4 式 5 中的而求得 题图 5 9b 和题图 5 9c 状态下的解答叠加起来便可求得题图 5 9a 状态下的解答 不难证明 题图 5 9a 情况下的挠度为 题图 5 9 5 115 11 有一半径为的固支圆板 板中心受集中力作用 见题图 5 10a 求其 挠度和内力 34 题图 5 10 解 解 1 这是轴对称弯曲问题 板面无均布载荷 故特解为零 则其挠度表达 式为 1 板中心无孔 挠度应是有限值 应为零 该板的边界条件为 2 3 取半径为的部分圆板的静力平衡条件 得 4 2 由式 2 式 3 式 4 求得常数 进而求出挠度和内力 5 35 6 3 分析 题图 5 10b 所示固支圆板 当版中心链杆支座发生沉陷时 可以用 本题的式 5 求解 其中第三项在板中心为零 7 将代入式 5 式 6 求得题图 5 10b 情况时的挠度和内力为 8 9 5 125 12 有一半径为的简支圆板 板面无荷载 但在周边受均布弯矩作用 见 题图 5 11 所示 求圆板的挠度和内力 题图 5 11 解 1 因板面无荷载 板中心无孔 故特解和常数 取为零 挠度 转角 内力表达式如下 1 2 3 36 边界条件为 4 5 2 求出 后代回式 1 式 2 式 3 得 第六章第六章 习题答案习题答案 6 3 在拉伸试验中 伸长率为 截面收缩率为 其中 和为试件的初始横截面面积和初始长度 试证当材料体积不变时有如 下关系 证明 将和的表达式代入上式 则有 6 46 4 为了使幂强化应力 应变曲线在时能满足虎克定律 建议采用以下应 力 应变关系 1 为保证及在处连续 试确定 值 2 如将该曲线表示成形式 试给出的表达式 解 1 由在处连续 有 37 a 由在处连续 有 b a b 两式相除 有 c 由 a 式 有 d 2 取形式时 当 即 当 应力相等 有 解出得 代入值 代入值 6 56 5 已知简单拉伸时的应力 应变曲线如图 6 1 所示 并表示如下 问当采用刚塑性模型是 应力 应变曲线应如何表 示 图 6 16 1 38 解 刚塑性模型不考虑弹性阶段应变 因此刚塑性应力应变曲线即为 曲线 这不难由原式推得 而在强化阶段 因为这时 将都移到等式左边 整理之即得答案 其中 6 66 6 已知简单拉伸时的曲线由 6 1 式给出 考虑横向应变与轴向 应 变的比值 在弹性阶段 为材料弹性时的泊松比 但进入塑性阶段后值 开始增大最后趋向于 试给出的变化规律 解 按题设在简单拉伸时总有 a 左边为体积变形 不论材料屈服与否 它要按弹性规律变化 即有 b 比较 a b 两式 得 39 将表达式代入 即可得 6 76 7 如图所示等截面直杆 截面积为 且 在处作用一个逐渐增 加的力 该杆材料为线性强化弹塑性 拉伸和压缩时性能相同 求左端 反力和力的关系 解 1 弹性阶段 基本方程 平衡方程 a 几何方程 b 本构方程 c 联立求出 显然 段先屈服 取 得 当时 值如上述表达式 2 弹塑性阶段 a 段塑性 b 段弹性 平衡方程和几何方程仍为 a b 式 40 本构方程 且设 将本构方程代入几何方程 即 两侧同乘面积 并利用平衡方程 a 得 解出 令 则得 e 本阶段结束时 由几何方程 且 利用平衡方程 f 当时 为 e 式 41 3 塑性阶段 平衡方程和几何方程同上 本构方程 g 与 2 弹塑性阶段同样步骤 可得 6 86 8 如图所示等截面直杆 截面积为 且 在处作用一个逐渐增 加的力 该杆材料为理想弹塑性 拉伸和压缩时性能相同 按加载过程 分析结构所处不同状态 并求力作用截面的位移与的关系 解 基本方程为 平衡方程 a 几何方程 b 本构方程 1 弹性阶段 由前题知 因 故 42 截面位移 本阶段终止时 2 弹塑性阶段 此时 截面位移由段变形控制 且本阶段终止时 3 塑性阶段 无限位移 为不定值 4 图线斜率比较 段 43 段 6 96 9 如图所示三杆桁架 若 杆件截面积均为 理想弹塑性材 料 加载时保持并从零开始增加 求三杆内力随的变化规律 解 基本方程为 a 几何方程 b 协调关系 本构方程 c 1 弹性阶段 利用 a b 及 c 第一式 联立求解得 44 即 可看出 结构弹性极限 令 有 2 弹塑性阶段 取 结构成为静定 由平衡方程 解得 若取 即 此时 45 即当时 内力为上列值 当时 杆 1 和杆 2 已 进入塑性阶段 当时 两杆为无线变形 结构已成为 机构 故 此结构 6 116 11 如图所示三杆桁架 理想弹塑性材料 杆件截面面积均为 求下述两 种加载路径的节点位移和杆件应变 1 先加竖向力 使结构刚到达塑性极限状态 保持不变 开 始 加力 使桁架再次达到塑性极限状态 2 先加水平力 使结构刚到达塑性极限状态 保持久不变 开 始 加力 使桁架再次达到塑性极限状态 解 此结构的基本方程为 a 几何方程 b 且有 46 本构方程 c 将基本方程用其相应的增量表示为 几何方程 且有 本构方程 1 加载路径见 1 教材 2 加载路径见 2 第一阶段 先加 由基本方程可得 显然 1 杆 3 杆同时屈服 此时 d 第二阶段 在保持不变的情况下施加力 这是由相应改变 此时 节点位移增量为 47 由增量形式几何方程 这说明杆 1 2 3 均伸长 即杆 3 卸载 由增量形式平衡方程 说明保持不变 增加时 必须减小 当取 即 杆 2 进入拉伸屈服 此时 将各项增量与 d 式相应初始值叠加 有 e 第三阶段 保持不变 继续增加力 此时 即 与第二阶段相似 必须减少 当 即时 结构达到极限状态 这时 48 将各增量与 e 式相应初始值叠加 有 f 第七章第七章 习题答案习题答案 7 3 设为应力偏量 试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时 其 形式为 证明 Mises 屈服条件为 49 故有 7 4 试用应力张量不变量和表示 Mises 屈服条件 解 Mises 屈服条件 故有 7 5 试用 Lode 应力参数表达 Mises 屈服条件 解 由定义 50 即 Mises 屈服条件为 将上式代入 得 即 7 6 物体中某点的应力状态为 该物体在单向拉伸 时 试用 Mises 和 Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹 性状态还是塑性状态 如主应力方向均作相反的改变 即同值异号 则 对被研究点所处状态的判断有无变化 解 1 Mises 屈服条件判断 故该点处于弹性状态 2 Tresca 屈服条件判断 故该点处于塑性状态 如果各应力均作为变号 则以上各式不变 所作判断没有变化 7 8 已知薄壁圆球 其半径为 厚度为 受内压的作用 如采用 Tresca 屈服条件 试求内壁开始屈服时的内压值 解 研究半球的静力平衡 51 内球面 外球面 由 Tresca 条件 内壁先开始屈服 此时 7 9 薄壁管受拉扭联合作用 只有正应力和切应力 试用表示 Mises 和 Tresca 和双剪应力三种屈服条件 解 1 Mises 由 得 2 Tresca 由 得 3 双剪应力 由此 得出 52 可以写成 当时 三种屈服准则得出的值有所不同 7 10 在平面应力问题中 取 试将 Mises 和 Tresca 和双剪应 力 屈服条件用三个应力分量表示 引进 解 1 Mises 屈服准则 引进下列量纲为一的量 则上式成为 2 Tresca 屈服准则 记 根据的大小 将由下列值 a 屈服准则对应的为 53 量纲化为一后得答案结果 3 双剪应力屈服准则 将 a 式代入上式中得到 6 个式子 可合并成 4 个关系 进一步化简为 量纲化为一后即得答案结果 第八章第八章 习题答案习题答案 8 38 3 分析 本题中是由塑性体积变形为零 且单向拉伸时 推出 单向拉伸时 有 体积应变服从弹性定律 即 54 将以上两式联等 得 依次将代入 则得 弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 8 48 4 分析 在方向的主应力分别为 则 从而求得应力偏量 再根据增量理论 得最终结果为 1 1 0 8 58 5 分析 设扭转剪应力 主应力为 代入 Mises 屈服条件 得 8 68 6 证明 将对求偏导 可得 同理可得 所以 用同样的方法求得 8 78 7 分析 1 开始屈服时 代入 Mises 屈服准则 得 2 屈服后对应的塑性应变增量为 55 由 及屈服条件的微分形式 联列可得 代入 式子得到答案结果 8 88 8 解 1 单向拉伸应力状态 有 则 2 纯剪切应力状态 有 故 8 98 9 证明 有 Coulomb 剪破条件 所在平面为滑移面 如图 56 从图中可以看出 滑移面与所在主平面所成角为 12 1 开始屈服时 代入 Mises 屈服条件准则 得 2 屈服后对应的塑性应变增量为 由 a 及屈服条讲的微分形式 b 可得 c 由 a c 两式 得 代入式子得答案结果 57 第九章第九章 习题答案习题答案 9 19 1 分析 设剪切屈服极限为 则可以依次求得弹性极限扭矩为 塑性极限扭矩为 设弹塑性区分界线半径为 则 9 29 2 计算结果为 9 39 3 分析 在本题中 根据公式 卸载后残余应变曲率为 结合 9 49 4 分析 根据公式 分别将代入便可求的 当 12 6时 9 59 5 分析 二端封闭在处 代入 Mises 屈服条件 化简可得 用同样的方法可求得二端自由 时 58 二端约束时 9 69 6 分析 由弹性力学 筒内各应力值为 将这些值代入 Mises 屈服条件得 化简后的 在和处同时屈服 即 化简得计算结果为 第十章第十章 习题答案习题答案 10 210 2 分析 设为缺口处因摩擦作用而产生的剪应力 是均布压力区 在 边上 是均布压力区 在边上 因为是同一条线 有 化简得 则单位长度上的极限载荷为 59 10 410 4 分析 由于形状对称 滑移线场对称 故只取右半部进行分析 分别写出 边上应力分量值 列平衡方程 求得 因为沿同一条线 由可得 在 边上的点 所以 得 代入 式可得弯矩 10 510 5 分析 是均布压力区 在边上点 由 得 是均布压力区 在边上点 可计算出 由于沿同一条 线 故 化简后 则单位长度的极限荷载为 10 810 8 当时 在弹性阶段有 得 平均应力 60 因此在弹性阶段有 进入塑性后有 对平均应变 刚进入塑性时 由上式导出 因此进入塑性 后还满足 由于 得出 故实际独立变量 只是与 在塑性应变增量方面 由于 而 则有 并可得出 最后得到答案结果 10 910 9 1 Mises 屈服条件 由流动法则 现在 将得出 2 Tresca 屈服条件 在平面内求得主应力如下 a 由于 而 即即 b 由流动法则 这要求应力点处在屈服面上 即 61 c 并要求 或 d 由 代入 d 式 得 由代入 得 第十一章第十一章 习题答案习题答案 11 311 3 使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷 解解 1 1 静力法 62 首先该超静定梁 化为静定结构 分别求出其弯矩图 然后 叠加 得该超静定梁的弯矩图 在极限情况下 设点支反力为 则 由上二式得 当值达到上述数值时 结构形成破坏机构 故为该梁的完全解 2 机动法 设破坏机构如图 并设点挠度为 则 外力功 内力功 由 可得极限载荷上限为 由于在作用下 故上式所示载荷为完全解的极限载荷 63 解解 2 1 静力法 先将该超静定梁化为静定梁 分别作弯矩图 叠加得该超静定 梁的弯矩图 设点为坐标原点 此时弯矩方程为 在极限状态时 有 令得 1 而 2 3 联立解 1 2 3 得 解得 取较大的值 可得 在以上值作用下 梁已形成破坏机构 故其解为完全解 2 机动法 如图 g 64 设在 两点形成塑性铰 内力功为 外力功为 由虚功原理 得 该解与完全解的误差为 解解 3 1 静力法 设坐标原点在点 此时弯矩方程为 段 段 在处 为极大值 设在段 由 得 1 在极限情况下 65 即 2 3 联立解 1 2 3 得 取正号 由于此时形成破坏机构 故值完全解 2 机动法 如图 g 设此梁在和处形成塑性铰 则 内力功为 外力功为 由虚功原理 得 由极值条件得 代入的表达式 则得的极小值 由于此结果满足 故所得的值为完全解的极限载荷 11 411 4 试用机动法求下列图示板的极限载荷 66 1 四边简支 边长为的正方形板 载荷作用在板的中点 2 三边简支一边自由的矩形板 在自由边中点承受集中力的作用 3 四边简支矩形板 在板上任意点 承受集中力的作用 解解 a 外力功 如破坏时四角可以翘起 内力功 其中 代入上式后 得 由虚功原理得 其中值由确定即 由此得 因此 b 外力功 67 内力功 由得 而 故 c 外力功 内力功 其中 由得 11 511 5 使用机动法求图示连续梁的极限载荷 解解 1 次梁为一次超静定梁 可能的破坏机构有两种 如图 b c 68 若塑性铰在 处形成 此时 外力功 内力功 由得 若塑性铰在 处形成 设到得距离为 此时有 外力功 内力功 由得 令得 将代入的表达式 比较以上两种可知该梁的极限荷载为 解解 2 该连续梁形成破坏机构有如下三种形式 1 形成两个塑性铰产生局部破坏有两处可能 图 b 形成塑性铰 69 故 由得 图 c 两点形成塑性铰 此时有 故 由得 2 形成三个塑性铰 产生局部破坏有三种可能 图 d 在 三点形成塑性铰 此时有 由得 图 e 在 三点形成塑性铰 此时 70 由得 图 f 在 三点形成塑性铰 此时 由得 3 形成三个塑性铰 产生整体破坏 只有一种可能性 如图 g 此时 由得 比较上述六种情况 以 g 的情况为最小 而且此载荷满足 的塑性弯矩条件 故破坏载荷为 解解 3 该梁的可能破坏结构与第一题完全相同 若塑性铰在 处形成 若塑性铰在 处形成 71 比较可知梁的极限载荷为 解解 4 此梁为一次超静定结构 当形成两个塑性铰时 梁即成为破坏机构 其 破坏形式有 b c d 三种可能 按图 b 形式破坏时 由得 按图 c 形式破坏时 同上得 按图 d 形式破坏时 由得 比较得 11 611 6 试求图示刚架的极限载荷 72 解解 a 设如图在四点形成塑性铰 由得 得 且此值满足 条件 所以 解解 2 如图设在四点形成塑性铰 由点到点的距离待定 73 由得 化简得 令得 故 解解 3 如图设在等处形成塑性铰 外力功 内力功 由得 故 11 711 7 简支圆板半径为 受半径为轴对称均布载荷作用 试求其极限载荷 74 解解 圆板的平衡方程为 当 对应于条件的点 当时 对 应于条件的 B 点 圆板从 0 到对应图上的线 即 故 平衡方程可写为 在处 存在如下平衡关系 即 平衡方程为 积分上式得 由处 所以 因此有 在处 即 故此时区域的平衡方程为 积分上式得 在处连续条件 可得 75 如 因此有 当时 如 得 此式即为所求的极限载荷 11 811 8 对图所示的连续梁 利用上限定理求极限载荷 q 题图 11 6 解解 1 对破损机构 a 76 可得 由 得代入上式 得 a 2 对破损机构 b 由 得 代入上式得 b 当 a 式和 b 式相等时 故有 11 911 9 图示宽度 b 不变 高度 h 线性变化的矩形截面梁 简支座截面高为 固 定端处截面高为 集中力据简支端距离为 对两种情况用上限 方法求塑性极限载荷 P 值 题图 11 7 解解 由于各截面的值不同 因此除集中力 77 作用点能形成铰外 另一铰距点距离 为 而不一定总在固定端 如图所示 由外力功率 内力功率 得 令 得 a 上式中是定值 调整使最小 由 得 b 1 当时 即 代入 b 式 得 因为 而现在 故最小值的只能取在固定端处 将代入 a 式 得 78 2 当时 即 代入 b 式 得 因为 这表明 铰不在固定端 将代入 a 式 得 11 1011 10 用上限和下限方法求图示刚架的极限载荷 P 解解 1 上限法 图示破损机构 a b c d 都是分别由一个 外载荷引起的 机构 a 点 8 10 11 成铰 a 机构 b 点 4 5 6 成铰 b 机构 c 点 1 4 6 9 11 12 成铰 c 79 机构 d 只上层刚架倾斜 点 3 8 11 12 成铰 d 对比之下 方案 c 对应的值最小 为要进一步减小 值应减小内力功率 而增加外力功率所相应的速度项 在图示机构 e 中 与机构 c 时一样 但较小 点 1 6 9 10 转角为 而点 4 10 12 转角为 由此得出 e 这比机构 c 有了进一步改进 是否最小的上限值还可用下限法作进一步检验 3 下限法 从机构 e 出发 规定杆内表层受拉时弯矩为正 这 时有 未知的弯矩是 可 列出平衡方程来求出这些未知弯矩 由结点的平衡 得 得 由机构 b 得平衡方程 得 由机构 c 得平衡方程