计算方法实验一

计算方法计算方法 实验报告实验报告 学号 姓名班级 计算机科学与计 术三班 实验项目名称 一 实验名称 实验一实验一 插值与拟合插值与拟合 1 实验目的 1 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点 2 编程实现拉格朗日插值算法 分析实验结果体会高次插值产生的龙格现象 3 理解最小二乘拟合 并编程实现线性拟合 掌握非线性拟合转化为线性拟合的方法 4 运用常用的插值和拟合方法解决实际问题 二 实验内容及要求 1 给定函数 2 三 实验原理及算法描述 1 Lagrange 插值法的基本原理插值法的基本原理 2 Lagrange 插值算法描述 插值算法描述 也可以是算法流程图也可以是算法流程图 步骤步骤 1 构造处的插值基函数 其中 插值节点处的插值 01 n x xxL 01 n lx l xlxL i x 基函数为 i l x 011 011 iin i iiiiiin xxxxxxxx l x xxxxxxxx LL LL 步骤步骤 2 以作为的系数 使得通过插值点 i y i l x i i yl x ii x y 步骤步骤 3 把所有的 把所有的线性叠加 得到通过所有插值点的插值函数 i i yl x 0 1 ii x yin L 0 n ni i i L xyl x Lagrange 插值伪代码 插值伪代码 给定给定个插值点个插值点的情况下 求插值函数的情况下 求插值函数在点在点 处的函数值 处的函数值 n 0011 nn xyx yxyL n L xt 输入参数 x x0 x1 xn 插值节点 y y0 y1 yn 被插函数 f x 在插值节点处的函数值 t 求插值函数 Ln x 在 t 处的函数值 返回值 插值函数 Ln x 在 t 处的函数值 四 程序代码及实验结果 计算机科学与工程学院 2 1 主程序主程序 int main float X N Y N x int num ifstream in input txt in num for int i 0 i X i in Y i in x float result largerange X Y num x cout 我们想要的结果为 result endl return 0 2 Lagrange 插值子程序插值子程序 function y lagr1 x0 y0 x x0为插值点的向量 y0为插值点处的函数值向量 x为未知的点 float largerange float X float Y int n float x float res 0 结果 int j 0 float Lbase N 基函数 float up down for int k 0 k n k up 1 0 down 1 0 for j 0 j n j if j k continue 是乘 非 K 的数 so contiue up up x X j down down X k X j Lbase k up down 所有插值的 base 上米娜这个 循环实现了 基函数的运算 计算机科学与工程学院 3 for int i 0 i num for int i 0 i X i 计算机科学与工程学院 4 in Y i in x float jingque 1 1 x x float result fenduan X Y num x cout 我们求 x 的近似值 endl cout 分段线性结果为 result endl cout 精确值为 jingque endl cout 误差为 abs jingque result endl return 0 结果 牛顿 子程序 求插上 float chashang float X float Y int n float res 0 float temp 0 for int i 0 i n 1 i temp Y i for int j 0 j n 1 j if i j temp temp X i X j 就是把 他们的 积 球出来 res res temp 求和 return res float niudun float X float Y float x int n double res 0 for int i 0 i n i 计算机科学与工程学院 5 float temp 1 float f chashang X Y i for int j 0 j i j temp temp x X j res res f temp return res 主程序 int main float X N Y N int num cout 请输入插值的节点数 num cout 请输入对应的插值结点 X Y endl for int i 0 i num i cout 第 i 1 X i cout 第 i 1 Y i float x cout 请输入待求解的插值节点的X值 x float res niudun X Y x num cout 插值结果为 res endl 结果 计算机科学与工程学院 6 如图一所示 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 值 值 值 Lagrange值 值 Newton值 值 图1 2 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 Lagr 3 Lagr 5 Lagr 7 Lagr 9 Lagr 11 Lagrange Largr值 值 f x 值 值 计算机科学与工程学院 7 五 实验总结 1 拉格朗日插值在高次插值时同原函数偏差大 存在龙格现象 高次插值